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文档简介

考研数学中求极限方法的总结1.引言19世纪建立的极限理论奠定了微积分的基础[1]，使数学这门古老的学科有了质的飞跃，由此建立起来的理论及其应用开创了一个崭新的数学时代。但是对于数列及函数极限的求解问题，看似简单，但实则方法过于多种多样，往往就是一个比较难一点的极限问题，就会导致学者因选错方法而浪费大量的时间或者根本做不出来。因此本文针对求极限的方法进行总结归纳，给学者梳理出了一些求极限的方法。2.利用几种已知公式求极限2.1.和差化积公式积化和差公式解题思路：此方法一般求解的比较简单的极限，比较明显的是两个三角函数相减或相乘的形式。2.2.伯努利不等式己知实数x

＞-1，当n

≥1时，有(1+x)n≥1+

nx；当0≤

n≤1，有(1+x)n≤1+

nx。解题思路：此种类型一般是在求解极限的过程中，所以在这里就不举例说明。2.3.泰勒公式[2]解题思路：对于型不定式中，如果运用洛必达则比较麻烦。此类题目比较明显的特征是含有

e

x，sin

x，cos

x，ln(1

+

x)等混在一起的混合运算，此类题大多数是用洛必达做不出来的，而用泰勒公式进行简单的替换就很容易求出来的。例1.3求极限解：由泰勒公式展开到第三项得：3.利用洛必达法则求极限[3]定理：对在数列

xn

与

yn

间有一定关系的商的极限，我们可以用序列的洛比达法则。满足4.利用单调有界性求极限单调有界定理[3]：在实数系中，有界的单调数列必有极限。有上界的递增数列必有极限，有下界的递减数列必有极限。5.利用迫敛性(两边夹定理)求极限迫敛性[3]：设收敛数列{an

}，{bn

}都是以a

为极限，则数列{cn

}满足，存在正数N

0，当n

＞N0时有

an

≤

cn

≤

bn

，则数列收敛，且满足。解题思路：一般适用于较复杂的通项。首先要把从

xn

的表达式写出来，然后通过放缩法找到两个有相同极限值的数列。例题4.1求极限解：因为由迫敛性得。6.利用积分法求极限[4]解题思路：有些数列通项中含有

n!的数列，极限很难直接利用一些公式去求，但是如果能转化成定积分形式的话，计算就相对比教简单了。注：对于一些乘积形式的数列或函数极限问题，通常是通过取对数的方法把乘积形式转化为和的形式，再求极限。7.利用级数收敛的必要条件求极限8.利用施笃兹(Stolz)定理求极限[4]9.通项公式法求极限110.利用压缩映射原理求极限[5](完备度量空间上的不动点定理)命题：完备距离空间上的压缩映射具有唯一不动点。解题此路：11.结论求数列和函数极限的方法并不局限于以上几种，方法是灵活多样的。而且求极限的

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