进阶04二项式定理必考点综合专练-2021-2022学年高二数学专题训练（2021选择性必修二）

编者小k君小注：本专辑专为2022年上海高中数学课改版沪教版2021必修二、选择性必修一、选择性必修二研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做58题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。进阶04：二项式定理必考点综合专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设，则的值为（）A． B．1 C．0 D．1【答案】C【分析】首先采用赋值法，令，代入求值，通分后即得结果.【详解】令，,，.故选C【点睛】本题考查二项式定理和二项式系数的性质，涉及系数和的时候可以采用赋值法求和，本题意在考查化归转化和计算求解能力，属于中档题型.2．（2021·上海市金山中学高二月考）设，满足约束条件，若的最大值为，则的展开式中项的系数为A．60 B．80 C．90 D．120【答案】B【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，故表示直线与截距的倍，根据图像知：当时，的最大值为，故.展开式的通项为：，取得到项的系数为：.故选：.【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3．若能被7整除，则x，n的值可能为（）A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5【答案】C【分析】由二项式定理可得，进而可判断x＝5，n＝4时，能被7整除.【详解】当x＝5，n＝4时，(1＋x)n－1＝64－1＝(62－1)(62＋1)＝35×37能被7整除.故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理和整除问题，考查了运算求解能力，属于中档题目.4．（2021·上海交大附中高三开学考试）已知，其中为展开式中项的系数，，则下列说法不正确的有（）A．， B．C． D．是中的最大项【答案】C【分析】依题意，写出的展开式，再一一判断即可；【详解】解：依题意所以由上式可知，选项，正确；展开式中，，的的系数和为：，而，故，故正确；由式子可得，，故选项不正确．故选：．5．（2021·上海市复旦中学高三月考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（）A． B． C． D．7【答案】D【分析】根据二项式系数的单调性，求得，再结合二项式展开式的通项公式，即可求得指定项的系数.【详解】因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以所以的展开式的通项令，得所以展开式中的系数为故选：D6．（2021·上海市建平中学高三月考）在的二项展开式中，系数最大的是第（）项A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，利用组合数的计算公式，求得该二项展开式中系数最大的项．【详解】在二项式的展开式中，通项公式为，故第r+1项的系数为，当时，系数为正，因为,所以当r＝4时，系数最大的项是第5项.故选：C7．（2021·上海师大附中高二期中）设n是偶数，，a､b分别表示的展开式中系数大于0与小于0的项的个数，那么（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二项式定理结合的幂的性质得展开式中系数为实根的项数，并确定正负项的个数，得出结论．【详解】展开通项公式通项公式为，因此当为偶数时，项的系数为实数，其项，又，，是偶数，所以正的项有，负的项有项．即，，所以．故选：B．8．（2021·上海奉贤·一模）已知的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据给定条件求出二项展开式的通项，再列式即可计算得的值.【详解】依题意，的二项展开式通项：，，于是有：，整理得，即，而，解得，所以的值为8.故选：B9．用表示个实数的和，设，，其中，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据等比数列前项和公式求，再利用二项式定理求解，之后根据的范围求极限即可.【详解】解：∵，∴，∴，∴，又∵，∴∴.故选：B.【点睛】本题考查等比数列前项和公式、二项式系数和、二项式定理和极限，考查数学运算能力.10．（2021·上海·位育中学高三开学考试）已知数列为有穷数列，共95项，且满足，则数列中的整数项的个数为（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】根据题意有均为整数，转化为，不难发现当时均为非负整数，验证当、时和是否为整数.【详解】解：由得，要使为整数，必有均为整数，所以，当时均为非负整数，所以为整数，共有14个，当时，，在中因数2的个数为，同理计算可得因数2的个数为82，因数2的个数为110，故中因数2的个数为，从而是整数，当时，，同理中因数2的个数小于10，从而不是整数，因此，整数项的个数为，故选：C.【点睛】利用二项式定理解决整除问题的思路：（1）要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开；（2）用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意：余数的范围，，其中余数是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负.二、填空题11．（2021·上海市西南位育中学高二期中）的二项展开式第4项的系数是_________.【答案】160【分析】直接利用二项展开式的通项公式即可求解.【详解】因为的展开式的通项公式为，所以当r=3时，有：.故答案为：16012．（2021·上海交大附中高三开学考试）下列五个命题中正确的是________（填序号）．①若为锐角三角形，且满足，则②在的二项展开式中，项的系数为③函数与函数关于直线对称④设等差数列的前n项和为，若，则⑤函数的最小值为2【答案】①④【分析】根据解三角形、二项展开式以及函数与数列的相关性质，逐项分析判断即可得解.【详解】根据题意可得，所以，由为锐角三角形，所以，所以，利用正弦定可得，故①正确；的二项展开式的通项为，令可得，项的系数为，故②错误；函数和函数关于对称，而函数与函数分别为函数与函数向左、向右平移一个单位，所以函数与函数依然关于直线对称，故③错误；，显然，所以，故④正确；而，此时，故函数的最小值为2错误，即⑤错误.故答案为：①④13．（2021·上海·闵行中学高三开学考试）已知二项式的展开式中，中间项的系数为160，则展开式的各项系数和为______．【答案】729【分析】先写出展开式的通项，然后得到中间项的系数，由此可计算出的值，采用赋值法令可计算出各项系数和.【详解】因为展开式的通项为，中间项为，令，所以，解得，令，可得各项系数和为，故答案为：.14．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考）在二项式的展开式中，常数项的值为______．（结果用数字表示）【答案】28【分析】写出展开式的通项，，令，即得解【详解】由题意，令故常数项为故答案为：2815．（2021·上海·复旦附中高三开学考试）已知二项式的展开式中所有项的系数和为，则此展开式中含项的系数是________【答案】【分析】令可得，可得的值，求出二项式展开式的通项，令的指数位置等于，求得的值即可求解.【详解】令可得，解得：，展开式的通项为：，令可得，所以展开式中含项为，所以此展开式中含项的系数是，故答案为：.16．（2021·上海·曹杨二中高三期中）在的展开式中，二项式系数之和为256，则展开式中项的系数为___________.【答案】1120【分析】根据二项式展开式的二项式系数和为,求出n的值,再写出二项式的通项公式为,当时,即可求出的系数【详解】展开式的二项式系数之和为展开式的通项公式当时,,即则展开式中的系数为1120故答案为：112017．（2021·上海师大附中高二期中）在的展开式中，有理项的项数为___________项.【答案】338【分析】求出通项公式，令的系数为整数，找出符合的值即可.【详解】二项式的通项为，则，，，也符合，故有理项的项数为：338项.故答案为：33818．（2021·上海师大附中高二期中）设则的最小值是___________.【答案】或【分析】结合二项式的展开式的通项公式求得，记，结合函数的单调性以及二项系数的性质即可判断.【详解】结合二项式的展开式的通项公式可得，所以，当时，，记，单调递增，也单调递增，所以最小值为；当时，，故的最小值是；故答案为：.19．（2021·上海闵行·一模）若的二项展开式中的常数项为，则实数a=___________.【答案】【分析】由二项式可得其展开式通项为，结合已知常数项求参数a即可.【详解】由题设，二项式展开式通项为，∴当，常数项为，可得.故答案为：.20．（2021·上海徐汇·一模）设且，则的展开式中常数项为_______．【答案】【分析】据题意中的和展开式中的项相乘，与中的和展开式中的项相乘的结果相加，即可得到常数项.【详解】的通项公式为，，的常数项为：.故答案为：三、解答题21．（2021·上海·闵行中学高二期末）已知展开式中的项按的升幂排列依次为、、、、、.（1）若，求的值；（2）记，求和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，列出关于的方程，求解即可；（2）先求出的表达式，然后结合二项式展开式定理的逆用即可求出结果.【详解】（1）由题意得，所以，解得；（2）由题意得，所以，所以22．（2021·上海市复兴高级中学高二期中）在二项式的展开式中，（1）求该二项展开式中的常数项；（2）求该二项展开式中含项的系数；（3）求该二项展开式中系数最大的项.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可求得展开式中的常数项；（2）令的指数为，求出参数的值，代入通项即可求得展开式中即可得出结果；（3）利用二项式系数的对称性结合不等式组即可求出结果.【详解】（1）二项式的展开式通项为，令，可得，故展开式中的常数项为；（2）令，解得，故展开式中，含项的系数为；（3）第项的系数为，所以，解得，所以，该二项展开式中二项式系数最大的项为.23．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）（1）在的二项展开式中，已知的系数为20，求的值以及所有项系数之和；（2）求和：．【答案】（1）k=2，1；（2）.【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，由的系数为20，解出k；令x=1，即可得到所有项系数之和.（2）令，则，利用二项式定理，即可求出S.【详解】（1）的展开式的通项公式为：，所以的系数为，解得：k=2，所以的二项展开式中，令x=1，得到，即所有项系数之和为1.（2）令，则，所以.24．（2021·上海交大附中高二期中）在的展开式中，把，，，叫做三项式的次系数列．（1）求的值；（2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，请计算值；（3）我们都知道方程无实数解，对于正整数你能否计算：的值（上标，，为不超过的3的倍数，结果请用含有的代数式表示）．【答案】（1）13；（2）0；（3）．【分析】（1）由题知，在三项式中，把看做整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数，从而求得的值.（2）由知，，两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，对于，其展开式中不含，即系数为0，则右侧展开式该项的系数也应为0，从而证得结果.（3）根据题意列出杨辉三角形类似的表，找出规律，则，从而将问题转化为三项式的系数和，令，即可求得结果.【详解】（1）由题知，在三项式中，把看做整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数，从而，，故.（2）由知，，两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，对于，其展开式中不含，即系数为0，则右侧展开式该项的系数也应为0，即.（3）列出杨辉三角形类似的表，，，，则当n≥2时，即三项式的系数和，令，则

当n=1时，，满足条件，结论成立.25．（2021·上海师大附中高二期中）求的展开式中：（1）各项系数之和；（2）各项系数的绝对值之和；（3）系数最小的项.【答案】（1）1（2）（3）【分析】（1）设，令求解；（2）令，与令得到的两式相加减求解；（3）的展开式的通项公式为：，将问题转化为求系数的绝对值的最大值即可.（1）解：设，令，得；所以的展开式各项系数之和为1；（2）令，得，两式相减得：，两式相加得：，所以的展开式各项系数的绝对值之和为，；（3）的展开式的通项公式为：，系数的绝对值为，设第r+1项的系数绝对值最大，则，解得，则，即系数的绝对值的最大值为，因为13为奇数，所以，即第14项的系数最小，所以系数最小的项为26．（2021·上海交大附中高二期中）在的展开式中，把，，，…，