专题09-2022年北京高考数学满分限时题集2

专题09大题限时练91．如图，在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）【详解】（Ⅰ）证明：因为、，、，所以、，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；（Ⅱ）证明：因为平面，由（Ⅰ）知，所以平面，又因为平面，所以，因为是正方形，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以；（Ⅲ）因为平面，所以，，又因为是正方形，所以，于是、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量为，1，，，1，，，，，设平面的法向量为，，，则，令，则，，，所以二面角的余弦值为．2．已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的单调递增区间；（Ⅱ）在区间的取值范围．条件①：；条件②：；条件③：．【答案】见解析【详解】函数，选条件①时，，（Ⅰ）由于，令，，所以函数的单调递增区间为，．（Ⅱ）当时，，，所以函数的值域为，．选条件②时，，（Ⅰ）由于，令：，解得：，所以函数的单调递增区间为．（Ⅱ）由于，故，所以，故函数的值域为．选条件③时，．（Ⅰ）由于，令，解得，所以函数的单调递增区间为．（Ⅱ）由于，所以，故．故的值域为：．3．在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动．为了解某区教师对，，，，五类线上教育软件的使用情况（每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件），从该区教师中随机抽取了100人，统计数据如表，其中，．教育软件类型选用教师人数101530假设所有教师选择使用哪类软件相互独立．（Ⅰ）若某校共有300名教师，试估计该校教师中使用教育软件或的人数；（Ⅱ）从该区教师中随机抽取3人，估计这3人中至少有2人使用教育软件的概率；（Ⅲ）设该区有3000名教师，从中随机抽取1人，记该教师使用教育软件或的概率估计值为；该区学校有600名教师，其中有200人使用教育软件，100人使用教育软件，从学校中随机抽取1人，该教师使用教育软件或的概率值为；从该区其他教师（除学校外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件或的概率估计值为．试比较，和之间的大小．（结论不要求证明）【答案】见解析【详解】（Ⅰ）由统计表知：，若某校共有300名教师，则估计该校教师中使用教育软件或的人数为：（人．（Ⅱ）设“从该地区教师中随机抽取3人．至不有2人使用教育软件”为事件，由题意，样本中100名教师使用教育软件的人数为30人，频率为，由频率估计概率，从该地区教师中随机抽取一名教师，该教师使用软件的概率为，记被抽取的3人中使用软件的人数为，则符合事件的的可能取值为2，3，估计这3人中至少有2人使用教育软件的概率为：．（Ⅲ）设该区有3000名教师，从中随机抽取1人，记该教师使用教育软件或的概率估计值为，则，，，．，；该区学校有600名教师，其中有200人使用教育软件，100人使用教育软件，从学校中随机抽取1人，该教师使用教育软件或的概率值为，则是部分概率，；从该区其他教师（除学校外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件或的概率估计值为．则．4．已知椭圆的离心率为，其长轴的两个端点分别为，．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点为坐标原点，过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，求与的面积之比．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）由题意，，又，，则．椭圆的方程为；（Ⅱ）设，，则．直线的方程为，取，可得点，直线的斜率为，直线的方程为，又直线的方程为，联立直线与的方程，消去得，，①，，代入①解得点的横坐标，．故与的面积之比为．5．已知函数，其中．（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；（Ⅱ）若函数在定义域内单调递减，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），【详解】（Ⅰ）数的导数为，由切线与直线平行，可得（1），即，解得；（Ⅱ）函数在定义域内单调递减，可得在恒成立，所以，令，，由，可得，所以当时，，递减；当时，，递增，可得，故只需，所以的取值范围是，．6．定义满足以下两个性质的有穷数列，，，，为，4，阶“期待数列”：①；②．（Ⅰ）若等比数列为4阶“期待数列”，求的公比；（Ⅱ）若等差数列是阶“期待数列”，2，3，，，是正整数），求的通项公式；（Ⅲ）记阶“期待数列”的前项和为，2，3，，，是不小于2的整数），求证：．【答案】见解析【详解】（Ⅰ）依题意，等比数列为4阶“期待数列”，故数列满足①，②．易见，若公比为1，则①式即，不符合题意，故，故①式即，即，故，所以的公比为；（Ⅱ）依题意，等差数列是阶“期待数列”，设等差数列公差为，则数列满足①；②．故①式即，即，即．若时，有，，，，，，，，，则②式即，故，即，得，所以；若时，有，，，，，，，，，则②式即，故，即，