2021年高二数学暑期集训教材教师版

目录

专项一数列...........................................................................2

第一讲等差数列、等比数列........................................................2

第二讲数列前n项和与数列的通项.................................................14

第三讲数列的求和...............................................................22

第四讲数列秒杀技巧..............................................................33

专项二三角函数与解三角大题.........................................................33

专项三立体几何.....................................................................53

储备知识空间几何体的三视图与直观图(自学).....................................53

第一讲空间几何体的平行和垂直关系................................................65

第二讲空间几何体的求角、求距离..................................................65

(I)求证：A81_L平面A8O；..........................................................68

(II)求二面角A-AO-8的大小；......................................................68

第三讲空间几何体的表面积和体积.................................................71

专项四圆锥曲线.....................................................................86

储备直线与圆的相关知识(复习).................................................86

第一、二讲椭圆及其性质.........................................................92

第三、四讲双曲线及其性质......................................................103

第五讲抛物线..................................................................112

第六、七讲直线与圆锥曲线的位置关系............................................120

专项一数列

第一讲等差数列、等比数列

知识梳理

等差数列等比数列

｛凡｝为等比数列O'包=q（q=0,为常数）

定义｛。“｝为等差数列-二d（常数）

=(n—1)d=即+(n—k)d=d〃+"i—

通项公式%=%qZ=a©i

d

〃(q+a〃)n(72-l)

!

S=-------=na.+------anai(q=1)

n212

求和公式斗=4(1一=")="一可"(#1)

\-q\-q

a+b

中项公式G2=ab推广：an=an-mX

A二2推广：2%=°+a“+nto

性

1

质1

右m+n=p+q则"Pg若m+n=p+q,则°

2

若伏"成等差数列（其中心$N）,贝「4“｝若伙"成等比数列（其中勺wN）,则｛%」成

2

也成等差数列。等比数列。

3sn,s2n-sn>s3n-s2ll成等差数列。S”'S2n-S〃,S3n-S2n成等比数列（4工7）。

,Q,,—Cl,Cl.一。”，、尸=幺g"F=3_

4d=」——L=，n——二（m工n）

a\am（加工〃）

n-1tn-n9

补

充

典例剖析

题型一基本量法在等差数列中的运用

例1设S〃为等差数列｛〃“｝的前〃项和，若幻=3,59-56=27,则该数列的首项可等于.

3

答案5

m+2d=3,勾+2d=3,

解析由得

9m+36d-（6m+15J）=27,〃1+7d=9,

解得。1=亍

9

-

例2已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S”2

答案1或一受

39

一

-7一

解析设数列的公比为4，.；。32,S3

3

两式相除得1+；1夕=3,即为2—q—I=0.

.I1

..47=1或q=_].

变式训练1等差数列｛〃”｝的前〃项和为孔，已知的=8,S3=6,则So—S7的值是.

答案48

as=ai+4d=8[ai=0

解析设等差数列｛〃”)的公差为d，由题意可得＜，解得＜，则Sio—57=。8+。9+〃10=3〃1+244

用=30+34=6(d=2

=48.

式训练2在等比数列｛如｝中，“2=3,U5=81,则

答案3G

设⑷的公比为,依题意得|：：二；«1=I

解析解得，

0=3.

n1

因此an—3.

题型二利用等差数列的性质解题

例3(1)设数列｛知｝,｛儿｝都是等差数列.若ai+bi=7,s+历=21,则.

(2)等差数列｛m｝中，。]+〃5=数，权=7,则数列｛斯｝的公差为.

答案⑴35(2)2

解析(1)・・・｛。〃｝，｛6｝为等差数列，・♦・｛斯+&｝为等差数列，

.,・(ai+〃i)+(65+45)=2(03+63)=42,；・45+65=42—7=35.

(2)+的=2。3=10，**•O3=5,

又.：。4=7,••d=cu—。3=2.

例4已知｛%｝为等比数列，0»+。7=2,。弘6=—8,则。1+〃10等于.

答案

4

〃4+。7=〃1炉+。闻6=2,

解析方法一由题意得「

05%=。"乂°炉=山夕9=-8,

••k-31==-12,或

，ai+aio=ai(l+/)=-7.

l«i=—8,

〃4+。7=2,

方法二由，解得或“

ciscie=a4s=-8

寸=-2,不=一=

e或

必=-8,

.,•41+。10=。1(1+/)=-7.

变式训练3（1）在等差数列｛知｝中，已知久+。8=16,则该数列前11项和S“等于

（2）已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S”H5io=10,S2o=3O,则Sjo=

答案(1)88(2)60

11（可+。8）

解析（1）〃=

22=88.

(2)VSio»S20—Sio，S30—S20成等差数列，且Sio=lO,§20=30,Sao-5io=2O,

AS3o-30=10+2X10=30,

・・・S3O=6O.

变式训练4在等比数列｛m｝中，若ma243a4=1，03040506=8,则441442443444=

答案1024

解析（2）方法一ma2a3。4=。「。1夕・。4&4=Hq6=1,①

m3alM15al6=。1/2.4q13.。同14agi5=同./4=8,(2)

②Q静=漕=8却6=2,

又a41a42443a44=。11°。间4%1/2.〃闻43

—dZ1v4q।—ci\*cz］>6，qc160

5

=(^)-(^,6),0=1-2,0=1024.

方法二由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p,

设T|=0匕2刈3"〃4=1，

。二。13，。14，。15，。16=8,

.*.74=7,|-/>3=l-p3=8=>p=2.

Til=。4「四七243&44=T「p")=2"'=1024.

题型三等差数列的前〃项和

例5设5〃为等差数列｛〃”｝的前〃项和，。12=—8,59=-9,则$6=.

答案T2

解析设等差数列｛小｝的首项为由，公差为d,

。12=。1+1ld=-8,

由已知，得〈9dX8

S9=9〃I+2=一9,

,16X15

/.SI6=16X3+-—X(-l)=-72.

例6若等比数列｛斯｝满足0+々4=10，。2+的=20,则｛知｝的前〃项和S”=

答案当(2"-1)

解析由题意。2+的=4(。1+44)，得20=qX10,故q=2,代入ai+〃4=ai+ad=10，得9。1=10,得ai=g.

¥(L2”)

_IP

故S“==~9(2"-1).

例7设等比数列｛小｝的前〃项和为S”若S6：S3=I：2,则为:S3等于.

答案3：4

解析由等比数列的性质知S3,56-S3,§9—$6仍成等比数列，于是(56-S3>=S3•(S9-$6)，

将$6=聂代入得

6

变式训练5在等差数列｛%｝中，0=1,43=-3.

⑴求数列〔小｝的通项公式；

(2)若数列｛⑶｝的前％项和&=一35,求欠的值.

解析(1)设等差数列｛为｝的公差为止则为=m+(〃-l)d.

由〃i=l,ay=~3,可得l+2d=-3,解得d=-2.

从而为=1+(〃-1)X(—2)=3—2〃.

(2)由⑴可知an=3—2n,所以Sn=-----1'=2〃—/r.

由&=一35,可得兼一3=—35,即好一2攵-35=0,

解得k=7或4=-5.又2WN*,故2=7.

变式训练6已知数列伍〃｝满足2斯+|+4=0,公=1,则数列｛诙｝的前10项和$o为

答案1(2-,()-1)

1

解析V2«i+a=0,：.—

n+M2,

又“2=1，，m=-2,，｛斯｝是首项为-2,公比为4=一义的等比数歹U,

y0(1一严)-2(1-2-10)=如。-1).

・・So=r

1+2

变式训练7等比数列｛“〃｝的首项卬=一1,前〃项和为S”若甯=粉则公比产

1

答案

2一

解析由3T=灵，3=—1知公比4#1，

则可得3户=一4.

0532

由等比数列前〃项和的性质知S5,510-55,$5-&0成等比数列，且公比为炉,

7

,,<11

故夕5=_我，q=-y

题型四等差数列的前〃项和的最值问题

例8在等差数列｛斯｝中，已知m=20,前〃项和为S“，且So=$5,求当〃取何道时，S”取得最大值，并求出它的

最大值.

解析Vdi=20,Sio=5i5，J10X20+当％=15s20+"

565

法一:由a”=20+(〃-1)X一尹1于

得03=0.即当12时，,>0,时,4Vo.

・•・当〃=12或13时，S“取得最大值，

且最大值为$2=$3=12X20+号Ux(-1)=130.

・・.&=20〃+血尸(一号=一酎+脸=一的一舒+超菖

法二:

••・〃£N*,・•・当〃=12或13时.,S”有最大值，且最大值为Si2=Si3=13O.

当堂练习

I.在等差数列｛〃“｝中，若他=4,44=2,则46=.

答案0

解析由等差数列的性质，得06=244—42=2X2—4=0.

2.己知｛6｝是公差为1的等差数列，S”为｛%｝的前〃项和，若S8=4S4,则00等于

19

答案y

解析•・•公差为1,

8

,8X(8-1)

.••S8=8ai+------z-----"l=8〃i+28,S4=4ai+6.

•・，S8=4S4，，80+28=4(40+6),解得a尸;，

119

.•・00=。1+91=2+9=5.

3.等差数列｛斯｝的前〃项和为S〃，已知05=8,S3=6,则Sio-S?的值是.

答案48

。5=。|+44=8,(6(|=0,

解析设等差数列｛〃“｝的公差为d,由题意可得。.，解得」c则$0—S7=〃8+〃9+0O=30+

S=30+3d=6,[d=2,

24J=48.

4.设等差数列伍”｝的前〃项和为S”，若改=一9,〃3+〃7=—6,则当S”取得最小值时，〃=.

答案6

解析•.,43+47=245=-6,/.«5=—3»

•**d=2»*•Qfj=-1,。7=1,

・・・S6最小.

5.等差数列中，333+的)+2伍7+。1()+。13)=24,则该数列前13项的和是.

答案26

解析’.,43+45=244，47+aio+ai3=3aio，

6(04+010)=24,故。4+00=4.

.13i@+ai3)13(a»+aio)

••i132226.

6.已知等比数列｛如｝满足〃[=；,。3。5=4(。4-1)，则。2等于.

答案!

解析由｛斯｝为等比数列，得。35=病，所以届=4(内—1)，解得44=2,设等比数列｛m｝的公比为私则04=0^,

得2=聂，解得夕=2,所以

7.等比数列｛4｝的前〃项和为已知53=02+10。”的=9,则〃产.

9

1

答案-

9

解析设数列｛%｝的公比为q,若g=l,则由公=9,得0=9,此时§3=27,而〃2+10。1=99,不满足题意，因此

,1.

•・ZW1时，S3=]_r=0q+lOs，

，三日=q+10,整理得『=9.

•••的=4-。4=9,即81〃i=9,/•d\=a-

39

8.已知等比数列｛斯｝的前〃项和为S〃，6=2，S3=2»则公比4=.

答案1或一3

3939

=--0q2--

解析设数列的公比为q,2S3222

两式相除得1+g'9=3,即2寸一q—1=0.・・・夕=1或g=一去

9.已知等比数列｛"〃｝,且出+。8=2,则。6（。2+2«6+410）的值为.

答案4

解析。6（。2+2a6+00）=。6。2+2绮。6+。必10=届+2的。8+质=（〃4+=4.

10.若｛〃”）为等比数列，。2+的=1，。3+田=-2,则的+々6+。7等于

答案24

。同+0°2=],

解析由已知得

a\q1-\-a\qi=—2.

解得夕=-2,0==

，45+46+。7=45(1+g+片)=。©4(I+^+^2)=24.

课后作业

10

一、填空题

1.设S〃是等差数列｛为｝的前〃项和，若4I+的+。5=3,则S5等于.

答案5

解析,••｛。〃｝为等差数列，，。1+。5=〃3，

••・。|+43+。5=3。3=3,得。3=1，

.5（0+词

••c2•

2.设S“为等差数列｛斯｝的前〃项和，S»=4av仍=-2,则.9=.

答案一6

解析由，8=4。3知：。］+。8=。3，。8=。3—。1=2"=。7+0所以〃7=d=12.所以。9=。7+24=—2—4=—6.

3.在等差数列｛〃”｝中，42=2,410=15,则。18的值为.

答案28

解析为等差数列，••・42+。18=2?10，•,•〃18=2。10—42=28.

4.在等差数列｛m｝中，若勾+的=10,3=7,则数列｛斯｝的公差为______.

答案2

解析•.,。|+。5=10=2。3，，〃3=5.

故</=小一。3=7—5=2.

5.已知数列｛〃〃｝为等差数列，其前〃项和为S”若“3=6,S3=12,则公差d等于.

答案2

解析由已知得$3=3。2=12,即。2=4,，4=。3—。2=6-4=2.

6.已知等差数列｛〃”｝中，43+44—45+06=8,则$7=.

答案28

解析•；｛斯｝为等差数列，.,・《4+46=2的，•••43+44—05+46=43+05=244=8,・'・。4=4,，S7=7a4=28.

7.在等差数列｛“”｝中，若42+44+。6+48+01）=80,则“7—&8的值为.

答案8

11

解析•••。2+。4+。6+48+。10=5a6=80,，a6=16.

,22。7-〃846o

••Q1-2^8-一万'-o-

8.已知等差数列｛%｝满足0>0,5舞=803，则前〃项和Sn取最大值时，〃的值为.

答案21

解析由5〃8=8413得5(m+7</)=8(ai+12")n〃=一磊由a“=s+(〃-l)d=ai+(〃-1)(一总得〃W竽二

2耳，，数列｛〃”｝前21项都是正数，以后各项都是负数，故5〃取最大值时，〃的值为21.

9.已知数列｛%｝中，0=1,—+/22),则数列｛知｝的前9项和等于.

答案27

解析由已知数列｛小｝是以1为首项，以3为公差的等差数列.

9X81

.,.59=9X14—y-X2=9+18=27.

10.在等差数列｛斯｝中，若43+因+。5+46+。7=25,则。2+。8=.

答案10

解析因为｛〃"｝是等差数列，所以〃3+。7=〃4+。6=〃2+〃8=勿5，s+出+的+。6—〃7=5。5=25,即々5=5,公+制

=2675=10.

II.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015,则该数列的首项为.

答案5

解析由题意设首项为⑶，则0+2015=2X1010=2020,

/•d]=5.

12.已知各项为正的等比数列｛〃“｝满足ga9=4ag，。2=1，则0=.

答案\

解析•.•。3。9=足=4忌，又4>0,・••夕=2,

13.在等比数列｛斯｝中，若。]+。2=1，au+ai2=4,则。21+。22的值为.

12

答案16

解析设｛〃”｝的公比为小则。1|+。12=严他|+。2)，

所以4=7°,421+〃22=炉。(0+〃2)=16.

14.公比为2的等比数列｛”“｝的各项都是正数，且43。"=16,则log20O等于1

答案5

解析=16»

又・・,等比数列｛〃”｝的各项都是正数，・・・S=4.

又,.*t?io=i?7^=4X23=25»，log2〃io=5.

15.在等比数列｛〃“｝中，。|+。2=324,〃3+。4=36,则。§+。6=.

答案4

解析,门。”｝为等比数列，・・・0+。2,的+〃4,班+。6也成等比数列,

（内+田/362

:.的+〃6=

〃1+。2324

16.已知等比数列｛〃”｝满足m=3,〃1+〃3+。5=21,则々3+45+07=.

答案42

解析设等比数列｛斯｝的公比为幻则由小=3,〃1+6+的=21得3(1+/+/)=21,解得/=一3(舍去)或《2=2,

于是“3+05+47=^(41+43+45)=2x21=42.

17.各项均为正数的等比数列(仇｝的前"项和为S"，若S〃=2,53„=14,则S.等于.

答案30

解析设S2〃=mS产b,由等比数列的性质知：

2(14-a)=(fl-2)2,解得。=6或。=一4(舍去)，

同理(6—2)(6—14)=(14-6)2,所以b=S4“=30.

18.在等比数列｛斯｝中，s=7,前3项之和$3=21,则公比9的值为.

答案1或一3

13

a4=7,①1+〃+/

解析根据已知条件得:，2》分②?①得自上=3.

10+4q+。炉=21,②q

整理得切一4一1一0,解得“一1或4一一；.

19.已知等比数列｛斯｝的公比为正数，且a3s=2落欧=1，则ai=.

答案坐

解析因为的。9=竭，则由等比数列的性质有：aya9=al=2alt所以肾=2,即嗯＞=/=2.因为公比为正数，故,

=隹又因为&=1，所以0=/=t=除

20.己知｛为｝是等差数列，公差d不为零.若42,。3,。7成等比数列，且2ai+s=l，则m=,d=.

2

答案1-1

解析因为S，。3，成等比数列，所以m="2。7，即31+26/）2=（4[+431+6孙・，・0=一，，：20+〃2=1，，241

2

+ai+d=l即3ai+d=1,.9.ai=yd=—\.

21.若三个正数mb,c成等比数列，其中a=5+2，B,c=5—2疵，则b=.

答案1

解析•・•三个正数a,b,c成等比数列，

・•・b2=ac=（5+2班）（5—2班）=1.•"为正数，,。=1.

22.在数列｛%｝中，m=2,%+i=2a“,S”为｛的｝的前〃项和.若S”=126,则〃=.

答案6

解析由%+1=2/〃知，数列｛斯｝是以q=2为首项，公比q=2的等比数列，由&=1]_2，=126,解得“=6.

第二讲数列前n项和与数列的通项

知识梳理

1.数列｛分｝的前〃项和S”

14

S”=ai+s+a3+…

2.数列的通项处与前〃项和S〃的关系

51(〃=1)

a=]一

n$—S”-1(心2)

3.已知数列的前〃项和工,求为的方法

(1)第一步,令〃=1,求出0=S1；

(2)第二步，当〃22时，求a”=S〃-S〃一；

(3)第三步，检验m是否满足〃22时得出的小，如果适合，则将。〃用一个式子表示；若不适合，将用分段形式

写出。

4.已知小与S”的关系式，求的的方法

(1)第一步,令〃=1,求出0=S1；

⑵第二步，当〃22时，根据已有如与S〃的关系式，令〃=〃+1(或〃=〃-1),再写出一个4+1与&+|(或ai与S

T)的关系式，然后两式相减，利用公式为=S”一S"T消去S〃，得出a“与知+】(或为与知-。的关系式，从而确定数列

｛知｝是等差数列、等比数列或其他数列，然后求出通项公式。

5.根据小与a”+i(或〃"与斯-1)的递推关系求通项公式

当出现斯=a”-i+机时，构造等差数列；

当出现如=刈〃-1+)，时，构造等比数列；

当出现a〃=a〃-1+4〃)时，用累加法求解；

当出现.=A〃)时，用累乘法求解.

Cln-\

典例剖析

题型一已知数列的前〃项和S”求％

例1已知下面数列｛斯｝的前n项和Sa=2〃2—3〃，求｛a”｝的通项公式

解析tfi=Si=2—3=—1,

当“22时，a“=S“一工一|=(2〃2—3〃)一[2(〃-一3(〃-1)]=4〃-5,

由于S也适合此等式，•'•an=4n—b.

15

变式训练已知数列｛m｝的前〃项和*=3〃2—2〃+1,则其通项公式为

29n=l9

答案a=

n6〃—5,

解析当"=1时，0=Si=3X12-2X1+1=2；

当〃22时，

a“=S〃一Su-i=3〃2—2〃+1—[3(n—I)2—2(n—1)+1]

=6〃-5,显然当〃=1时，不满足上式.

2,〃=1,

故数列的通项公式为。〃=

6〃一5,n22.

151,〃=1,

解题要点数列的通项为与前〃项和S"的关系是小=cQ当〃=1时，41若适合S〃-SL1，则〃=1

⑸一S〃一1,心2.

的情况可并入〃22时的通项小；当〃=1时，m若不适合S”一S“T,则用分段函数的形式表示.

题型二已知an与S,,的关系式求a„

21

例2若数列｛斯｝的前〃项和5”=§斯+§,则｛〃“｝的通项公式是an—.

答案（一2）〃「

解析当打=1时，0=1；

==n1

当〃22时，anSn—S”一1=字?”一铲”-1，故^—~—2,故。“=（—2）.

当〃=1时，也符合曲=（一2）〃」

综上，分=（一2k.

变式训练已知数列｛〃”｝的前〃项和为工，0=1,S„=2a„^t求｛〃”｝的通项公式

解析当打22时，an=Sn—Sn-1=2a„+\—2an,

313

且

-=-羊-

222

n-2

•••｛“〃｝是从第2项开始的等比数列，当时，m=3乂像,|,“22,〃£N”.

16

1,〃=1,

1/3Y-2、*

,心2,.

解题要点已知。〃与S“的关系式求知时，需要分析所推出的递推式是对〃WN+成立，还是对〃22时成立。对于求

出的⑶也需进行检验，看m是否符合时小的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，

则应该分«=1与2两段来写.

题型三利用递推式求斯

例3(1)设数列仅〃｝中，3=2,a〃+i=a〃+〃+l,则通项即=.

(2)数列｛劣｝中，0=1,斯+|=3%+2,则它的一个通项公式为如=.

答案(1)“(〃”+1(2)2X3rt-,-l

解析(1)由题意得，当〃22时，

。"=41+(。2一。1)+(。3一。2)~1------\-(an—an-\)

।(〃一1)(2+〃)〃(〃+1)

1k7

=2+(2+3+・・・+〃)=2+————-=2+1.

又ai=2」xq+i)+i,符合上式，

因此如='2」+L

(2)方法一(待定系数法)

设4“।1+”=3(4“+2)，展开得4“11=3仇+22，

与““+1=3%+2比较可知：2入=2,2=1,

，斯"+1=33“+1),即=3,因为0=1,

%+1

所以数列4+1｝为以.+1=2为首项，3为公比的等比数列，

所以研i+l=2X3”,即知+i=2X3〃-l(〃21),

所以m=2X3“r-l(〃22),

又S=1也满足上式，

故数列｛〃”｝的一个通项公式为小=2X3〃」一L

17

方法二（迭代法）

斯+i=3。〃+2,

即知+|+1=3（如+1）=32（即一］+1）=33（如一2+1）=・・・=3"（。1+1）=2><3”（〃21）,

所以如=2X3〃）一1（〃22）,

又0=1也满足上式，

故数列｛小｝的一个通项公式为m=2X3"-i-L

变式训练已知数列｛%｝中，“1=1,若如=2«〃-i+l（〃22），则的的值是.

答案31

解析由题意得。2=20+1=3,43=2X3+1=7,04=2X7+1=15,“5=2X15+1=31.

解题要点形如47=E“+43,夕为常数）这类递推数列称为一阶线性递推数列，求解的基木策略是待定系数法，即

假设如+叶入="（。”+办，展开与原式小♦产p斯+4比较系数后求出参数4然后再转化为等差数列或等比数列求通

项。

当堂练习

I.设S”为等比数列｛的｝的前〃项和，若苗=1,且3&,2s2,S3成等差数列，则为=.

答案3门

解析由3S，2s2,S3成等差数列知，4S2=3SI+S3,可得。3=3公，・•・公比g=3,故等比数列通项小=四/,=3M

-1

2.已知数列｛4”｝满足41=1,%+|=2m+3（〃£N*）,则须等于.

答案2口一3

解析•.,。"+1=2。”+3,aM+）+3=2（a,t+3）>

・・・｛为+3｝是公比为2的等比数列，・・・知+3=（0+3）2门=2小，

・・・斯=2"+|—3,/.an=212-3.

3

3.如果数列｛册）的前〃项和S”=会〃一3,那么这个数列的通项公式是.

答案=2・3"

18

4.已知数列｛小｝的前〃项和为S”，0=1,Sn=2an+\t则Sn=.

答案(犷1

解析当n=l时，S\=2t?2»又因Si=4]=1,

1I3

所以。2=孑，S2=[+5=5・

5.设数列｛斯｝的前〃项和S〃=〃2,则/的值为.

答案15

解析G=SI=1,a”=S〃一S”T=/一(〃一1)2=2〃-1(〃22).々8=2X8—1=15.

课后作业

二、填空题

I.已知数列｛小｝的前〃项和为S”，且5=勿,一2,则公等于.

答案4

解析•:Sn=2an—2,・・・Si=ai=2ai—2.

即。1=2,又S2=ai+〃2=2fl2—2,；.42=4.

2.已知数列｛m｝中0=1,斯n/aLi+lseZ),则斯=.

答案2一各门

解析设易得c=-2,所以a〃一2=(ai—2)(；)"一|=-g)"

3.数列｛备｝的前〃项和为S”，若0=1,4“+]=3SH(〃21),则。6=.

答案3X44

解析Vfl；j+]=Sn+1—S〃,••・3Sa=S"+i—S”，则Sn+i=4S〃，又S]=ai=L

工数列｛SJ是公比为4的等比数列，・・.S“=lM〃」=4〃r,从而%=S6-S5=45-44=3X44.

4.若数列｛〃“｝的前〃项和为义=菰一3,则这个数列的通项公式册=.

答案2・3”

19

解析an=Sn—Sn-\^

5.数列｛%｝满足。1=2,cin=VT,其前〃项积为北，则4014=______.

。〃+|十1

答案一6

解析由斯=如噌得研产而m=2,所以°2=—3,43=—144=!，的=2,则数列是以4为周期，且

。〃+1十11Cln23

©a2a3火=1，所以72oi4=l5O3X2X(-3)=-6.

6.在数列｛〃“｝中，0=1,当〃22时，有4〃=3%-1+2,则〃”=.

答案231一1

解析设源+/=3(%-1+。，则恁=3为-|+2].

・・」=1,于是小+1=3(41T+1).・・・｛r+1｝是以。|+1=2为首项,以3为公比的等比数列.

••・斯=2・3厂|-1.

n

7.若数列｛〃〃｝满足。|=1,a„+\=2a,n则数列｛〃”｝的通项公式诙=.

〃|什1)

答案2^~

解析由于等=2〃，故?=2、詈=22,…，区=2门，将这〃一1个等式叠乘，得

册a\〃2an-\

■(一+1)-ST)

&=2"2++(”F=2k,故如=2丁.

a\

«.已知｛&｝满足〃1=1,且〃“+|=七+7(”£^),则数列｛〃”｝的通项公式为________.

JClni1

答案如二3〃-2

解析由已知，可得当时，知+|=尹％.

两边取倒数，得'-=四*=:+3.

。“+|Cln4”

即」一一：=3,所以｛十｝是一个首项为2=1,公差为3的等差数列.

an+\a”(inci]

则其通项公式为"，=,+(〃-l)Xd=1+(〃一l)X3=4〃-2.

Cln〃I

20

所以数列｛〃"｝的通项公式为斯=5口.

2I

9.若数列｛m｝的前n项和S〃=§a”+§,则｛m｝的通项公式是an=.

答案(一2广】

解析•.•&=多7“++①，当〃22时，S”1=多7〃1+/②

①一②，得0j=|an—|a“-i，即2.

4]=S]+g,£71=1.

・•・｛小｝是以1为首项，一2为公比的等比数列，。〃=(一2)〃1

10.在数列｛/｝中，a\=\,a”i—a“=2〃+l,则数列的通项a“=.

答案〃2

解析,・•知+]一%=2〃+1.

••・4“=(。”—4”-1)+(。”-1-4”-2)+~+(。3-。2)+(。2-〃1)+。1=(2〃—1)+(2〃-3)+―+5+3+1=层(〃22).当〃=1

2

时，也适用an=n.

11.已知数列｛小｝中，41=(。“+[=1—：(〃22),则。16=.

答案\

解析由题意知。。出=一十=；，，此数列是以为周期的周期数列，

2=1—：=-1，3=1—：=2,130603x5+1=

a\。2432

1

ai=2«

二、解答题

12.已知数列｛〃“｝满足卬=1,即+1=2。”+1(〃£*).

(1)求证：数列｛诙+1｝是等比数列，并写出数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列满足44,4&，心，….心门=〔如+1)〃，求数列｛儿｝的前〃项和S〃.

解析⑴证明：+

•••斯+[+1=2（即+1）,又0=1,

21

+1=2^0,m+IWO,

.a”+i+1c

,,■^+T=2,

工数列｛m+1｝是首项为2,公比为2的等比数列.

・・・。“+1=2”,可得斯=2"—1.

(2)解：•・•44T.牛，4々，…・43=(斯+1)",

•4(4+%+4+,・”+〃-")一2'，

:.2(bi+4+汁+…+儿)-2睚=〃2,

即2(6+岳+。3+…+仇)=〃2+2〃，

.,.Sn=bl+62+631---卜仇=呼2+〃.

13.设数列｛〃“｝的前〃项和为S“，其中小WO,内为常数，且一0,Sn，诙+1成等差数列.求｛“〃｝的通项公式;

解析依题意，得2S”=a”+i—0.

._2S”Cln+1t

当〃22时，有“两式相减，得出+1=3册(〃22).

2Sn-\=an-a\.

又因为O2=2Si+ai=3ai,。“#0,

所以数列｛斯｝是首项为⑶，公比为3的等比数列.

因此，^=ai-3"-,(n€N*).

第三讲数列的求和

知识梳理

1.公式法求和

常用的求和公式有：

(1)等差数列的前〃项和公式：5.=幽抖=〃M+迎言.

22

nu\9(j~19

="

(2)等比数列的前〃项和公式：Snai

i—g_Lq'"L

⑶1+2+3+…+,尸吟]

(4)"22+32+...+〃2=9+1*+1)：

(5)13+23+33+.・・+〃3=/£

(6)1+3+5+…+2〃­1=/；

(7)2+4+6+…+2〃=〃2+〃.

2.错位相减法求和

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

3.倒序相加法求和

适用于首末等距离的两项之和等于同一个常数这样的数列求和.

4.裂项相消法求和

方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和.

常用的裂项公式有：

(2)(2W-1X2n+l)=2(2w-1~2n+1);

]______jT1_______1

⑷n[n4-1)(n+2)-2_n(n+1)(〃+l)(