2024学年广东省海德双语高二数学上学期期中考试卷附答案解析

学年广东省海德双语高二数学上学期期中考试卷2024.11一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知点为椭圆上一点，为该椭圆的两个焦点，若，则（

）A．1 B．5 C．7 D．133．已知点到直线的距离为，则等于（

）A． B． C． D．4．圆心为且过原点的圆的一般方程是（）A． B．C． D．5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（

）A． B．C． D．6．若抛物线（）的焦点到准线的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．7．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．8．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．的最大值2 D．的最小值10．已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（

）A．，曲线都不表示圆B．，曲线表示焦点在轴上的椭圆C．，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线D．当时，曲线的焦距为定值11．如图，棱长为1的正方体中，则下列说法正确的是（）A．若点P满足，则点到平面的距离等于B．若点满足，则的最小值是C．若点满足，则的最小值是D．若点满足，则的最小值是三、填空题（本大题共3小题）12．抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为．13．双曲线的两条渐近线的方程为.14．如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，球，的半径分别为1、4，则椭圆的长轴长为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知.(1)求直线BC的方程;(2)求的外接圆的方程.16．已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值．17．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，点E在线段AB上，且.(1)求证：平面PBD；(2)求二面角的余弦值.18．已知双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，与椭圆有相同的焦点，双曲线C的左右焦点分别为，，直线l过且与双曲线C相交于A，B两点.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长；(3)若的面积是12，求直线AB的方程.19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离；(3)设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值．

参考答案1．【答案】A【详解】直线的斜率，所以直线的倾斜角为.故选：A2．【答案】B【详解】因为椭圆方程为，所以，又所以，故，故选：.3．【答案】C【详解】解：由题意得．解得或．，．故选：C.4．【答案】B【详解】由题意知，在圆上，圆心为，所以圆的半径，所以圆的标准方程为，则一般方程为：，故选：B.5．【答案】A【详解】由题意可得：，解得，所以的取值范围为.故选：A.6．【答案】A【详解】由题意知，故抛物线的标准方程为：，所以抛物线的焦点坐标为0,1.故选：.7．【答案】A【详解】设，则，因在曲线上，故即，故选：A.8．【答案】C【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误；对C，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选C．9．【答案】AB【详解】A.若，则，得，故A正确；B.若，则，即，得，解得：，故B正确；CD.，当时，的最小值2，故CD错误；故选：AB10．【答案】ACD【详解】解：若方程表示圆，则，无解，所以，曲线都不表示圆，故A正确；若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，无解，所以不存在m，使得曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B错误；若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，无解，所以，曲线都不表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；D.当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，故曲线的焦距为定值，故D正确，故选：ACD11．【答案】BD【详解】对于A，如图，根据题意可得，点在线段上，平面平面，所以点到平面的距离即是平面与平面的距离，由正方体的性质可知，垂直平面和平面，并被这两个平面三等分，所求距离为，故A错误；对于B，如图，将对角面绕翻折与平面重合，此时中，，，故B正确；对于C，由得，平面上点的轨迹是阿波罗尼斯圆，空间中点的轨迹则是球面，球心在直线上，，半径为，所以的最小值为，故C错误；对于D，因为，所在平面上点的轨迹是椭圆，在空间中点的轨迹则是椭球，椭圆中心为的中点，焦距为，长轴长为2，短轴长也为，所以的最小值为，故D正确.故选：BD．12．【答案】【详解】由题意，解得，所以抛物线的准线为，故所求为.故答案为：.13．【答案】【详解】对于双曲线，，，所以，双曲线的渐近线方程为，即.故答案为：.14．【答案】【详解】如图，A、B为圆锥的一条母线与球的切点，连接、，则，连接，过作交于点D，则在直角中，，所以，解得，故在和中，，，为公共边，所以，有.同理可得，由椭圆的定义，得长轴+.故答案为：.15．【答案】(1)(2)【详解】（1）直线BC的方程为，化简，得.（2）设外接圆的方程为，将A，B，C的坐标代入，得,即,解得故所求圆的方程为.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得：，所以，点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的方程为：．（2）直线的方程为：联立，消去后，得关于的一元二次方程，化简得，由题意知，解得或，由韦达定理可得，，所以，所以，化简得，解得，即，经检验符合题意.17．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据线面垂直的性质可得，利用相似三角形的判定与性质可得，结合线面垂直的判定定理即可得出结果；(2)根据题意和线面垂直的性质可得两两垂直，建立如图空间直角坐标系，求出各点、各线段的坐标，进而求出平面和平面的法向量，利用空间向量的数量积表示即可求出结果.【详解】（1）因为平面，平面，所以.因为，，所以，.所以.所以，所以.又因为，，所以平面.（2）因为平面，平面，平面，所以，.又因为是矩形，，所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则，，，所以，.设平面的一个法向量为，则即令，则，.于是.因为平面，取平面的法向量为.则.由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值是.18．【答案】(1)(2)(3)或.【详解】（1）双曲线有相同的渐近线为，双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，所以，又因为双曲线C与椭圆有相同的焦点，所以，所以，又因为，所以，所以双曲线C的方程为：.（2）,直线l过且斜率为1，设直线l的方程为：，设，联立，消去得，由根与系数关系可得，所以.（3）若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，此时不构成三角形，矛盾，所以直线的斜率不为0，设，，联立，消去得，应满足，由根与系数关系可得，，,则，则，解得：或（舍去），则，直线AB的方程为.则直线AB的方程为：或.

19．【答案】(1)证明见详解(2)(3)【分析】（1）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可得证；（2）利用等体积法求出点到平面的距离；（3）连接，，取的中点，连接，确定直线与平面，平面，平面所成的角，再根据锐角三角函数得到，设，，利用换元法求出函数的最大值.【详解】（1）连接，取的中点，连接，因为底面为菱形，且，所以，为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，,又，，，所以，所以，又，所以，设点到平面的距离为，则，即，解得，即点到平