数学优化训练：3向量的减法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。1。3向量的减法5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.下面给出了四个式子,其中值为0的有(）①++②+++③-+—④++-A。①②B.①③C。①③④D。①②③解析：①中，++=+=0；②中，+++=(+)+(+）=+0=；③中，(—)+（-)=+=0;④中，（+）+（—）=+=0。答案：C2.如图2-1-12,已知ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心，其中=a，=b，=c，则等于（)图2—1—12A。a+bB.b-aC。c—bD。b—c解析：==b—c。答案:D3。若=a，则=_______________.答案：—a4。化简：--=_______________.解析：--=-=。答案：10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列命题中，正确命题的个数为()①｜a｜+|b|=｜a+b｜a与b方向相同②｜a|+｜b|=|a—b｜a与b方向相反③|a+b|=｜a-b｜a与b有相等的模④｜a|—｜b｜=|a—b|a与b方向相同A。0B.1C.2解析:当向量共线时，向量加法的平行四边形法则不适用，可考虑应用向量加法的三角形法则，其中①②是正确的;③由向量加减法的几何意义知|a+b｜=｜a—b｜等价于以a、b为邻边的平行四边形的对角线相等,即为矩形,此时a与b垂直，但a与b的模不一定相等;④错在｜a|-｜b｜不知符号正负，而|a—b|一定大于等于0，故不一定成立.答案：C2。下列等式中，正确的个数为（）①0-a=—a②—（-a)=a③a+（—a)=0④a+0=a⑤a—b=a+(—b）⑥a—（-a)=0A。3B.4C解析：①②③④⑤正确，⑥错误.答案：C3.如图2-1-13所示，D、E是△ABC中AB、AC边中点,M、N分别是DE、BC的中点,已知=a,=b,试用a、b分别表示、和。图2-1-13解：由三角形中位线定理知DEBC，故=，即=a.=++=—a+b+a=a+b。=++=++=a-b+a=a—b。4。如图2—1—14所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则AF—等于(）图2—1—14A。B。C.D。解析：由图可知=，则-=-=。又由三角形中位线定理知=。答案：D5。若｜|=8，||=5，则|｜的取值范围是_______________.解析：由题中所给向量之间的关系=—，再根据向量不等式｜|a|-｜b｜|≤｜a±b|≤|a+b|，问题迎刃而解.即｜||-||｜≤｜｜=｜—|≤||+|｜.∴3≤｜｜≤13.答案：[3，13］6.已知两个向量a和b,求证:若｜a+b|=｜a-b｜，则a的方向与b的方向垂直；反之也成立。证明：①如图所示.若a与b方向垂直,设=a，=b，∵a与b方向垂直,∴OA⊥OB.以OA、OB为邻边作矩形OACB，则|a+b｜=｜｜,|a—b|=|｜,∵AOBC为矩形，∴|｜=|｜。∴｜a+b|=｜a—b｜.②反之,若|a+b|=|a-b|，设=a，=b，以、为邻边作平行四边形OACB，则|a+b|=||,|a-b|=｜|，又|a+b|=|a—b｜，∴||=|｜，即平行四边形OACB对角线相等.∴平行四边形OACB为矩形.∴a的方向与b的方向垂直.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后）1。若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且=a，=b，用a、b表示向量为()A.a+bB.-a-bC。—a+bD.a—b解析：由平行四边形对角线互相平分的性质知=-，即=—a,=-=—a—b。答案：B2.对于任意向量a，b,恒有（）A.｜a+b|=｜a｜+|b|B。｜a-b|=|a|—｜b|C。|a-b|≤|a|+|b|D.｜a—b|≤|a｜—｜b|解析：利用｜｜a|—|b|｜≤｜a±b｜≤|a|+｜b|。答案：C3。在平行四边形ABCD中,-与—分别等于（)A。,B。，C.，D.,解析：—=；-=+=.答案：C4。△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，=a，则-等于(）A。aB.-aC。0D。解析：=a，=2a,∴—2a=-a.答案:B5。已知平行四边形ABCD，O是ABCD所在平面外任意一点,=a，=b，=c，则向量等于（)A。a+b+cB。a—b+cC。a+b-cD。a—b-c解析：如图，有=+=+=+—=a+c-b。答案:B6。O是四边形ABCD所在平面上任一点,∥,且｜—｜=｜—|，则四边形ABCD一定为(）A.菱形B。任意四边形C。矩形D。平行四边形解析:由|—｜=｜—｜知｜｜=｜|，且∥,∴四边形ABCD一定为平行四边形。答案：D7。(2006高考全国卷Ⅰ，理9)设平面向量a1,a2,a3的和a1+a2+a3=0。如果平面向量b1，b2，b3满足｜bi|=2|ai｜，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1,2,3,则()A.—b1+b2+b3=0B.b1—b2+b3=0C。b1+b2-b3=0D。b1+b2+b3=0解析:如图.在平行四边形OACB中，令=a1,=a2,=—a3，则++=0,a1，a2，a3满足a1+a2+a3=0。将向量，,绕点O顺时针旋转30°且模扩大2倍后，得到的是与原四边形相似的平行四边形，这时仍有++=0，同时=b1，=b2,=b3，故有b1+b2+b3=0.答案：D8。计算：(1)a+b—(a-c）+（-b）=_______________;（2)（p+q-r)+（q+r—p)+(r+p—q）=________________；（3)（i-j)+（j—h）+(h-i)=__________________.解析：（1）原式=a+b-a+c—b=c；（2）原式=p+q—r+q+r—p+r+p-q=p+q+r；（3）原式=i-j+j-h+h-i=0.答案：（1）c(2）p+q+r（3）09.｜a｜=8，｜b｜=6，则|a+b｜的最小值为______________，此时，a与b的方向______________;|a-b｜的最大值为______________；此时a与b的方向______________。解析：|a+b｜≥|｜a|-|b||,∴｜a+b|的最小值为2,此时a、b反向，同理|a—b｜的最大值为8+6=14，此时a、b也反向。答案：2反向14反向10。化简：(—）-(-)=_______________.解