一元线性回归模型及其应用（第一课时）教学设计

一元线性回归模型及其应用（第一课时）教学设计一、教学内容构建一元线性回归模型，理解一元线性回归模型；依据最小二乘原理估计参数，得出经验回归方程；利用残差分析，判断回归模型拟合的有效性.二、教学目标1.结合具体实例，通过分析变量间的关系建立一元线性回归模型，并能说明模型参数的统计意义.2.通过用数学方法刻画散点与直线接近的程度，体会一元线性回归模型参数的最小二乘估计原理，能推导参数估计公式，发展数学运算能力.3.通过对残差和残差图的分析，能用残差判断一元线性回归模型的有效性，发展数据分析能力.三、教学重点和难点重点：一元线性回归模型的概念，模型参数的最小二乘估计，利用残差分析回归模型.难点:随机误差产生的原因与影响，参数估计公式的推导.四、教学过程设计通过前面的学习，我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等.进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测.下面我们研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测的问题.1.情境导入案例生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高相关.一般来说，父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表1所示.表1编号1234567891011121314父亲身高/cm174170173169182172180172168166182173164180儿子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182问题1由这组样本数据能否推断儿子的身高与父亲的身高有关系？关系的相关程度如何？是函数关系还是线性相关关系？为什么？学生活动要求学生整理和表示数据，通过分小组合作完成.以横轴表示父亲的身高，纵轴表示儿子的身高，建立平面直角坐标系，再将表中的成对样本数据表示为散点图.然后根据散点图作解读，回答问题.设计意图：通过一个具体案例，对前面学习的内容做系统回顾，同时又可以作为探究一元线性回归模型的例子.2.建立模型通过问题1，我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断父亲身高和儿子身高两个变量是正线性相关，且相关程度较高.进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的相关关系.问题2根据表1的数据，儿子身高与父亲身高这两个变量之间的关系，能用函数模型刻画吗？师生活动通过组织学生讨论问题，形成以下主要结论：由于有其他因素的存在，使得儿子身高和父亲身高有关系但不是函数关系.如果用表示父亲身高，表示儿子的身高，用表示各种其他随机因素影响之和，称为随机误差，由于儿子身高与父亲身高线性相关，假设没有随机误差，则儿子身高只受父亲身高影响，则，事实上，相关系数，故，也可以记作.教师引导学生写出称(1)式为的一元线性回归模型（simplelinearregressionmodel）.其中称为因变量或响应变量,称为自变量或解释变量，为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差；模型中的是随机变量，其值虽然不能由变量的值确定，但却能表示为与的和（叠加），前一部分由唯一确定，后一部分是随机的.如果，那么之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述.设计意图：了解随机现象，并尝试用数学语言描述随机现象.追问1为什么要假设而不假设为某个不为零的常数？师生活动：教师引导学生分析问题，并适时指出，随机误差通常服从正态分布，如果随机误差的均值为一个不为零的常数，则表示存在系统误差，在实际建模中，也不希望模型有系统误差，即模型不存在非随机误差.设计意图：理解研究随机问题的重要思想，即将一个随机变量表示成一个主要的确定性的量与一个次要的随机量之和，只要控制次要的随机量在一定的范围之内，那么随机问题就可以通过研究确定性问题得到理想的结果.追问2已知父亲身高，能用一元线性回归模型确定儿子身高吗？师生活动：教师引导学生分析问题，并得出结论：不能，因为随机误差不可事先设定.当父亲身高为，对应的儿子身高不是唯一确定的,而是有很多可能的取值，记作，它们的均值为：可以解释为父亲身高为的所有男大学生身高组成一个子总体，该子总体的均值为，即该子总体的均值与父亲的身高是线性函数关系.而对于父亲身高为的某一名男大学生，他的身高并不一定为，它仅是该子总体的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项.设计意图：通过具体实例，使学生了解一元线性回归模型的作用.设计意图：通过具体实例，加深学生对一元线性回归模型的理解.问题3你能结合具体实例解释产生模型(1)中随机误差项的原因吗？师生活动：组织学生展开讨论，形成共识，在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差的原因有：（1）除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等.（2）在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差.（3）实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似关系也是产生随机误差的原因.设计意图：通过具体实例，加深学生对随机误差的理解.3.估计参数问题4一元线性回归模型中参数a和b未知，如何根据成对样本数据进行估计？师生活动：教师引导学生分析问题，并适时指出：通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近.设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)．由，得.显然越小，表示点与点的“距离”越小，即样本数据点离直线的竖直距离越小.因此可以用这n个竖直距离之和来刻画各样本观测数据与直线的“整体接近程度”.在实际应用中,因为绝对值使得计算不方便,所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度”.所以我们取使Q达到最小的a和b的值,作为截距和斜率的估计值.师生合作解决这个问题，得出参数估计公式.最后，教师给出最小二乘估计的概念.设计意图：通过公式推导，加深对一元线性回归模型的理解，通过对残差平方和表达式的代数变形，突破推导的困难，并在公式推导过程中提升数学运算素养.4.公式应用师生活动：应用公式（2）求出父亲身高与儿子身高的经验回归方程，并在散点图中添加回归直线.设计意图：通过应用公式，完善建立一元线性回归模型的过程.5.残差分析对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的)称为预测值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.问题6：你能运用残差分析儿子身高Y关于父亲身高x的一元线性回归模型的有效性吗？师生活动:教师指出，根据最小二乘原理，如果残差比较稳定，残差绝对值比较小，说明回归模型拟合的精度比较高.教师引导学生计算残差，列出残差表，画出残差图.观察残差的散点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两边.说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为0、方差为σ2的随机变量的观测值.设计意图：理解残差分析的过程与意义.6.归纳小结教师引导学生回顾本节课所学内容，回答下列问题：（1）什么是一元线性回归模型？利用最小二乘法得到的参数估计公式是什么？（2）经验回归直线有什么性质？（3）如何用残差分析一