2024-2025学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其运算课后提升训练含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算课后篇巩固提升基础达标练1.下列命题中为真命题的是()A.向量AB与B.将空间中全部的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等答案A2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列选项中化简后为零向量的是()A.ABB.ABC.ABD.AC答案A3.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为()A.-6 B.6 C.3 D.-3解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.故选B.答案B4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AF的值为(A.a2 B.12aC.14a2 D.34解析AE=12(AB=14=14a×a×12+a×a×12=14a答案C5.(多选)已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是()A.PCB.DAC.PDD.PA解析PC·BD=(PA+AB+=PA·BA+AB·BA+BC·BA+PA·因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,即PA·CD又因为AD⊥AB,AD⊥PA,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,所以DA·PB=0,同理PD·AB=0,因此B,C,D中的数量积均为0答案BCD6.化简:(AB-CD)-(AC-BD)答案07.化简:12(a+2b-3c)+523a-12b+23c-3(答案56a+92b-8.如图,平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=1,AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,则AC'的长为.

解析|AC'|2=|AB+=AB2+BC2+CC'2+=12+12+22+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,则|AC'|=11答案119.在四面体ABCD中,E,F分别为棱AC,BD的中点,求证:AB+CB+AD证明左边=(AB+AD)+(=2AF+2CF=2(AF+CF)=4EF=右边,10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,正方体的棱长为1.(1)求<CE,AF>(2)求证:BD(1)解AF=因为AB·AD=0,AB·AA所以CE·AF=AA1-12AB·又|AF|=|CE|=52,所以cos<CE,AF(2)证明BD1=所以BD1·EF=实力提升练1.设点M是BC的中点,点A在直线BC外,BC2=16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|A.8 B.4 C.2 D.1解析由|AB+AC|=|AB-AC|=|CB又M为BC的中点,所以|AM|=12|AB答案C2.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则△ABCA.直角三角形 B.等腰三角形C.钝角三角形 D.锐角三角形解析因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(AB+AC)·(AB-AC)=|AB|2-|AC|2=0,答案B3.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于()A.62 B.6 C.12 D.144解析因为PC=PA+AB+BC,所以PC2=PA2+AB2+BC2+2PA·AB+2PA·BC答案C4.给出下列几个命题:①方向相反的两个向量是相反向量;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③对于随意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中正确命题的序号为.

解析对于①,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故①错误;对于②,若|a|=|b|,则a与b的长度相等,但方向没有任何联系,故不正确;只有③正确.答案③5.等边△ABC中,P在线段AB上,且AP=λAB,若CP·AB=PA·PB,解析设|AB|=a(a>0),由题知,0<λ<1.如图,CP=-AC=-AC+λAB,故CP·AB=(λAB-=λ|AB|2-|AB||AC|cosA=a2λ-12a2PA·PB=(-λAB)·(1-λ=λ(λ-1)|AB|2=λ(λ-1)a2,则a2λ-12a2=λ(λ-1)a2解得λ=1-22λ=1+22舍.答案1-26.如图,平面α⊥平面β,AC⊥AB,BD⊥AB,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB,AC,BD表示CD=,|CD解析∵CD=∴CD2=(AB-=AB2+AC2+BD2-2AB·AC+2AB·BD∴|CD|=229.答案AB-AC+7.已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,AA'的中点为E,点F为D'C'上一点,且D'F=23D'C'(1)化简:12(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC'B'对角线BC'上的34分点,设MN=αAB+βAD+γAA',试求α,β,γ解(1)由AA'的中点为E,得12又BC=A'D'因此23从而12(2)MN=MB+BN=12DB+34BC'=12(DA+AB)+34(BC+CC'8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设AB=a,AC=b,AA1=(1)试用a,b,c表示向量MN;(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.解(1)MN=1=13(c-a)+a+13(=13a+13b+(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12所以|a+b+c|=5,所以|MN|=13|a+b+c|=53,即MN=素养培优练1.如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,线段BD与α所成的角为30°,求CD的长.解由AC⊥α,可知AC⊥AB,过点D作DD1⊥α,D1为垂足,连接BD1,则∠DBD1为BD与α所成的角,即∠DBD1=30°,所以∠BDD1=60°,因为AC⊥α,DD1⊥α,所以AC∥DD1,所以<CA,DB>=60°,所以<CA,BD又CD=所以|CD|2=(CA+AB=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2CA·BD因为BD⊥AB,AC⊥AB,所以BD·AB=0,AC·故|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA=242+72+242+2×24×24×cos120°=625,所以|CD|=25,即CD的长是25.2.如图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方),则边BC上是否存在点Q,使PQ⊥QD?解假设存在点Q(点Q在边BC上),使PQ⊥连接AQ,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.又PQ=所以PQ·QD=又PA·QD=0,所以AQ·QD=即点