《空间向量运算的坐标表示》同步学案(教师版)

高中数学精编资源2/2《空间向量运算的坐标表示》同步学案情境导入1.平面直角坐标系中的坐标运算能推广到空间直角坐标系中去吗?2.你能根据平面直角坐标系中两点间的距离公式|AB|=x1-自主学习自学导引1.空间向量运算的坐标表示设a=a(1)a+(2)a-(3)λa=_________,(4)a⋅2.空间向量的平行与垂直设a=a当b≠0时,a//b⇔3.空间向量的模设a=a1a4.空间向量的夹角公式设a=a1a5.空间两点间的距离公式设P1则P1所以P1答案:1.(1)a(2)a(3)λ42.a3.4.5.x预习测评1.已知向量a=-325,b=1A.3B.4C.5D.62.已知点A-423关于Ozx平面的对称点为A1,点A1关于z轴的对称点为点A.8B.12C.16D.193.在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是()A.向量AB的坐标与点A的坐标相同B.向量AB的坐标与点B的坐标相同C.向量AB与向量OB的坐标相同D.向量AB与向量OB-4.在空间直角坐标系中,已知点A102,B1-31,点M在y轴上,且点M到点A与到点答案1.C解析:因为a⋅b=-3×1+2x+5×-12.A解析:点A-423关于Ozx平面的对称点为A1-4-23,点A13.D解析:因为点A,B不一定为坐标原点,所以选项A,B,C都不正确.因为AB=OB-OA,4.0解析:设M0y0.由|MA|=|MB|得1-0新知探究探究点1空间向量运算的坐标表示知识详解设a=a(1)a+(2)a-(3)λa(4)a⋅特别提示1.空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.例如,一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.2.在确定了向量的坐标后,就可以用空间向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算了,还要熟练应用下列有关的乘法公式:(1)a+b2典例探究例1已知空间四点A,B,C,D的坐标分别是(-1,2,1),134,0-1(1)p+2(2)3p(3)p-(4)cosp解析:已知两点的坐标,根据公式表示由这两点构成的向量的坐标,再根据向量的加、减、数乘、数量积的坐标运算的法则求解即可.答案:因为A-121所以p=(1)p+2q=(2)3p-q(3)p-(4)cosp变式训练1已知a=2(1)a+b;(2)a-b;(3)(5)(a答案:1234因为2a=4-2-45探究点2利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题知识详解1.设a=a当b≠0时;a2.平行与垂直问题主要有两种题型:(1)平行与垂直的判断;(2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:(1)适当引入求参数(比如向量a,b平行,可设a=λb,λ∈R),典例探究例2已知空间中三点A-202,B-11(1)若|c|=3,且c//BC(2)若ka+b与ka-2b(3)若λa+b+μa-b与解析:答案:(1)因为c//BC,所以c=m所以|c所以m=±1,所以c=-2-1(2)由题意知ka+b所以k-1k所以k=2或k=-52,即ka+b与ka-2b互相垂直时(3)由题意知a+b=0由题意知2μλ+μ即当λ,μ满足λ-μ=0时,可使λa+b+μ变式训练2已知a=(1)若a//b,求实数λ与m(2)若|a|=5,且与c=2答案:(1)由a//b,得λ+112λ所以实数λ=1(2)因为|a|=5,所以λ+1化简,得5λ2+2λ=3,因此,a=探究点3利用空间向量运算的坐标表示求夹角与距离知识详解1.利用空间向量运算的坐标表示求向量夹角和空间两点间的距离.(1)利用|a|=a(2)利用cosa⋅b(3)利用P1P22.注意异面直线所成的角与向量的夹角不一致,它们可能相等,也可能互补.典例探究例3在长方体OABC-O1A1B1C1中,OA=2,AB=3,A(1)求直线AO1与B(2)作O1D⟂AC于D,求点O1到点解析:建系Oxyz→得各点的坐标→数量及运算→夹角、长度公式→几何结论答案:建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz(1)由题意得A200所以AO所以cosA所以AO1与B1(2)由题意得O1因为C030,所以O1所以-2x+3y=0,x-2-2所以D18所以O1变式训练3如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D(1)求证:EF⟂CF;(2)求EF与GC所成角的余弦值;(3)求CE的长.答案:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,由题可得D00所以EF(1)因为EF⋅所以EF⟂CF,即(2)EF⋅CG|所以cosEF(3)CE=|CE易错易混解读例在ΔABC中,已知AB=240,BC错解:因为AB=所以cosAB所以∠ABC=45错因分析:错解中忽视了向量的方向,事实上,∠ABC的大小不是向量AB,BC的夹角,而是向量BA正解:因为AB=所以BA=所以cosBABC=BA纠错心得:在利用向量求角时,一定要注意向量的方向,若AB与BC的夹角为θ,则BA与BC的夹角为π-θ