2024-2025学年北京某中学九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京五十五中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心

点火发射，中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航

天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

(为9D.

中国火箭

中国探火CLEP中国仃星探测CHINAROCKET

cME?Macs

2.下列各式中，y是％的二次函数的是()

Ir

A.y=B.y=2%-3C.y=x2-3D.y=J/—3

3.设%1，%2是一元二次方程久2-2%-3=0的两根，则第1+%2=()

A.-2B.2C.3D.-3

4.如图，将△A0B绕点。逆时针方向旋转60。得△COD,若=20。，贝此400的度数是（）

A.50°

B.40°

C.30°

D.20°

5.如图,在。。中，弦的长为4,圆心到弦的距离0C为2,则圆。的半径长是

()

A.1

B.V2

C.2"

D.4

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6.小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若

实心球运动的抛物线的解析式为y=-也-3尸+竽，其中y是实心球飞行

的高度，工是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即。2的长

度）是（）

A.8mB.7mC.6mD.5m

7.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：

X013

y-3131

则下列判断中正确的是（）

A,抛物线开口向上

B.抛物线与y轴交于负半轴

C.当x=4时，y>0

D.方程a/+bx+c=0的正根在3与4之间

8.如图，在平面直角坐标系中，RtaaoB的一条直角边。8在刀轴上，点

4的坐标为（一6,4）；Rt△C。。中，/.COD=90°,OD=4平,

ND=30。，连接BC,点M是BC中点，连接4M.将Rt△COD以点。为旋转

中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段4M的最小值是（）

A.3B.6^2-4C.2713-2D.2

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.在平面直角坐标系中，点（-6,3）关于原点对称的点的坐标是.

10.已知关于x的一元二次方程x2-2a久+3=0的一个根是1,贝l|a的值为

11.某小区新增了一家快递店，第一天揽件100件，第三天揽件144件.设该快递店揽件日平均增长率为x,

根据题意，可列方程为

12.若圆锥的高为8cm,母线长为10cm,则这个圆锥的侧面展开图的弧长是结果保留兀）

13.将抛物线y=/+1先向上平移3个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线解析式为

14.若点2（—3,月），8（—22）都在抛物线y=2（x+1）2上，请将%按从小到大的顺序用“<"连接:

15.如图，ABCD是。。的内接四边形，AD为直径，ZC=110°,贝IJNADB的度

数为.

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16.图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计)，碗口宽CD=12cm,此时面

汤最大深度EG=8cm.

(1)当面汤的深度E7为4c?n时，汤面的直径PQ长为；

(2)如图3,把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当N4BM=45。时停止，此时碗中液面宽度C”=

D

三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题6分)

解方程:

(1)%2-3%-4=0；

(2)3x(%—1)=x—1.

18.(本小题5分)

如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为

4(2,5),C(4,3).

⑴画出△ABC关于原点。成中心对称的图形△4中停1.

(2)求的面积.

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19.(本小题5分)

已知二次函数y=-2x2+bx+c的图象经过点力(0,4)和B(l,-2).

(1)求此函数解析式；

(2)求出该抛物线顶点C的坐标，并求出△C4。的面积.

20.(本小题5分)

已知二次函数y=—x2—(m—l)x+m+1.

(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点；

(2)若该函数图象的对称轴是直线x=2,求该函数的图象与y轴的交点坐标.

21.(本小题5分)

如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE=AB,将线段4c绕力点旋转到

4F的位置，使得"4F=乙BAE,连接EF,EF与4C交于点G.

(1)求证：EF=BC；

(2)若N&BC=63°,ZXCB=25°,求NFGC的度数.

22.(本小题5分)

已知二次函数y=ax2+bx+c(a力0)中，函数y与自变量工的部分对应值如表:

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X-2-102

y-3-4-35

(1)求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标;

(2)当—2<x<1时，y的取值范围是.

23.(本小题5分)

下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程.

已知：点4在。。上.

求作：直线P4和。。相切.

作法：如图，

①连接4。；

②以4为圆心，4。长为半径作弧，与O。的一个交点为B；

③连接B。；

④以8为圆心，B0长为半径作圆；

⑤作。B的直径。P；

⑥作直线P4.

所以直线P4就是所求作的。。的切线.

根据小亮设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明；

证明：在。。中，连接B4

0A—OB,A0—AB,

.・.OB=AB.

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.・•点a在08上.

•­-OP是G）B的直径,

•••/.OAP=90℃）（填推理的依据）.

0A1AP.

又,：点4在。。上,

P4是。。的切线（一）（填推理的依据）.

24.（本小题5分）

如图，△ABC中，AB=AC,以力B为直径作。。交BC于点D,作DE14C交4c于点E,延长ED交2B的延

长线于点工

（1）求证：DE是。。的切线;

（2）若△ABC为等边三角形，AE=3,求。。半径的长.

25.（本小题6分）

小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统

称为边.已知原作品的长为60cm,宽为24cm,在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且

均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的玲，那么装裱后左右两边的

边宽分别是多少？

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26.(本小题7分)

在平面直角坐标系％0y中，点(4,2)在抛物线y=ax2+bx+2(a<0)上.

(1)直接写出抛物线的对称轴；

(2)抛物线上两点P(xi,yi),Q(x2,y2),且tW比i<t+2,4-t<x2<6-t.

①当t=l时，直接写出外,>2的大小关系；

②若对于*1，尤2,都有力大於，直接写出t的取值范围.

27.(本小题7分)

如图，在△4BC中，AB=AC,Z.BAC=2a(00<a<90°),点E在射线BC上(不与点B,点C重合)，点、D

为线段BE的中点，连接4D将射线4。绕点4逆时针旋转a得到射线AM,过点。作OF14。交射线4M于点

F.

(1)如图1,点E在线段BC上，求证：Z-B="FD.

(2)如图2,a=45。，点E在线段BC的延长线上，点D在线段BC上，连接CF,EF.

①依题意补全图形；

②写出线段CE与CF之间是数量关系，并证明.

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28.(本小题7分)

给出如下定义：在平面内，把一个图形M上任意一点与另一个图形N上任意一点之间的距离的最小值，称

为这两个图形M,N之间的距离.已知，在平面直角坐标系中，点力(1,0),5(5,0).

(1)若点P(0,4),

①点尸到线段4B的距离为，点P到以线段4B为直径的圆的距离为；

②当线段A8绕48中点旋转时，则点P到线段A8距离心的取值范围为；

③以4B为边，在久轴下方作矩形力BCD,其中BC平行y轴，BC=2,当矩形绕着点(3,-1)旋转时，则点P到

矩形A8CD的距离d2的取值范围为；

(2)当点P在圆心C(m,8m)(0<m<3),半径为1的圆上运动时，求点P到线段力B的距离d3的取值范围？

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参考答案

l.D

2.C

3.5

4.B

5.C

6.B

l.D

8.i4

9.(6,-3)

10.2

11,100(1+x)2=144

12.12TT

13.y=x24-6%+13

14.y2<yi

15.20°

16.6^/2

17.解:(1)X2-3X-4=0,

(%—4)(%+1)=0,

%—4=0或汽+1=0,

解得：%=4或%=-1,

•••原方程的根为：%i=4,x2=-1;

(2)3x(x—1)=%—1,

3x(%—1)—(%—1)=0,

(3%-l)(x-l)=0,

3x—1=0或%—1=0,

1

解得：%=§或窕=1,

一1

二原方程的根为：%1=3,久2=L

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18.解:(1)如图，即为所求;

111

>

(2)S^1s1c1=3x4——x1x4——x2x2——x2x3=5.

19.解：(1)将点4(0,4)与8(1,-2)代入解析式，得:

Cc=4

[-2+b+c=-2，

解得:{"I，，

则此函数解析式为y=-2X2-4X+4；

(2)y=-2X2—4X+4=—2(%+l)2+6,

・•・顶点C坐标为(一1,6),

・•・A(0,4),

OA=4,

则S^czo='.04.Kcl=[x4x1=2.

20.(1)证明：,•,抛物线为y=-x2-(m-l)x+m+1,

••・4=b2-4ac=(m—I)2—4x(—1)x(m+1)

=m2—2m+1+4m+4

=(m+l)2+4.

・.・不论相取何值都有(m+l)2>0,

・•・4=(m+l)2+4>0.

・•・不论m取何值，该函数图象与支轴总有两个交点.

(2)解：•・・该函数图象的对称轴是直线X=2,

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•••对称轴为直线尤=一感喙=2.

.・.m=—3.

•••y——x2—(―3—l)x+(—3)+1=—x2+4x—2.

・•・当久=0时，y=-2.

•••该函数的图象与y轴的交点坐标为(0,-2).

21.(1)证明：•••/.CAF=^BAE,

Z-BAC=/-EAF.

•••将线段4C绕2点旋转到AF的位置，

AC—AF.

在△ABC与△AEF中，

[AB=AE

ABAC=乙EAF

AC=AF，

・•・△ABC名△ZEF(SZS),

・•.EF=BC；

(2)解:•・•AB=AE,乙ABC=63°,

•••乙AEB=Z.ABC,

・••乙BAE=180°-63°X2=54°,

・•.AFAG=£.BAE=54°.

•・•△ABC^AAEF,

・•.AAFE=乙ACB=25°,

・•・乙FGC=Z.FAG+Z-AFG=54°+25°=79°.

22.

解：(1)将(-2,-3),(-1,-4),(0,-3)代入!/=012+阮+<:(<1r0),

{-3=4a—2b+c

-4=Q—b+ct

-3=c

a=1

6=2t

{c=-3

.・.y=-+-3=(x+I)?—4r

・•・这个二次函数图象的顶点坐标为(-1,-4)；

(2)-4<y<0

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23.解：(1)如图，直线PA即为所求;

(2)直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线.

24.(1)证明：连接。0,

•••AB=AC,

Z-ABC=乙ACB,

•・,OB=0D,

・••Z.ABC=Z,0DB,

・••Z-ACB=乙0DB,

・•.0D//AC,

DE1AC,

・••0D1DE,

••。。是O。的半径，

"E是。。的切线；

(2)解：•••△4BC为等边三角形，

Z.ABC=Z.BAC=Z.A=60°,

•・・是。。的直径，

^ADB=/.ADC=90°,

4BAD=/.CAD=30°,DE2+AE2=AD2,

•••AD=2DE,

：-DE2+32=4DE2,

DE=避，

AD=

在Rt△力BD中，AB=2,BD,BD2+AD2^AB2,

BD2+(2避)2=4B£)2,

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BD=2,

・•.AB=4.

.■.o。半径的长为2.

25.解：设装裱后左右两边的边宽均为久cm,则天头长与地头长均为5xon,

a

由题思得：60x24=—(60+5x+5x)(24+x+无)，

整理得：x2+18X-88=0,

解得：=4,%2=-22(不符合题意，舍去)，

答：装裱后左右两边的边宽均为4ml.

26.解：(1)将久=。代入y=ax2+bx+2得y=2,

抛物线与y轴交点坐标为(0,2),

又•••抛物线经过(4,2),

••・抛物线对称轴为直线％=2.

(2)①•；a<0,

抛物线开口向下，

当t=l时，点1WXI<3,3<x2<5.

—21<1,1<|%2-2|<2,

•・•点尸到对称轴距离小于点Q到对称轴距离，

■,-yi<72-

②设点P(/,yi)关于直线久=2的对称点为P'Qo,%),

则=4-x1；

t<x1<t+1,

3—tVXQ<4—t,

,•*4—t<%2<5—3

・・・％00％2，

当力+1<4一力或5—t<t时，打W冷，

解得t<|或1>|.

27.⑴证明:1.•AB=AC,4BAC=2a(00<a<90°),

c180°—Z.BACr\r\o

■■■乙B=---------------=90°-a,

由旋转可知，/-DAM