2025届高中数学一轮复习专练：空间向量 与立体几何

空间向量与立体几何

一、选择题

1.若空间中有三点A（2,0,4）,5（2,4,0）,C（l,4,4）,则点尸（0,0,0）到平面ABC的距离为

（）

A.&B.28C.夜0.272

2.若｛a1,c｝是空间中的一组基底，则下列可与向量a+c，a-2c构成基底的向量是（）

A.aB.a+2bC.4/+2CD.6

3.如图，在正方体ABEF-DCE尸中，M,N分别为AC,3歹的中点，则平面

与平面MNB的夹角的余弦值为（）

「20

C.-------

3。・半

4.已知｛a,"c｝为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）

A.a-2b,a-2c,b-cB.a+2b-c,a+c,b-c

C.2a,c,b+cD.a-c,b,2a-b-2c

5.鳖席是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖席p—ABC中，以,平面

ABC-AB=BC=PA=2,D,E分别是棱A&PC的中点，点尸是线段DE的中点,

则点口到直线AC的距离是（）

P/

c

AB立C.—D.叵

-i484

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是正方形，E是PD的中点，点R满足

CF=2FB.若PA=a,PB=b,PC=c,贝=()

P

C.—a——b+—cD.—a——b——c

236236266266

二、多项选择题

7.如图，长方体ABC。-A4Gq中，CQ=C]D]=29G用=1，点尸为线段瓦。上一

点，则qp-of的值可以为()

c-lD.2

8.如图,四棱柱ABCD-中,M为CD］的中点，。为C4上靠近点A的五等分点，则

B.2AM=AB+2AD+相

133

C.AQ=-AB+-AD+-AAl^-5AQ=AB+AD+4AAl

三、填空题

9.在空间直角坐标系中，定义：平面a的一般方程为Ar+gy+Cz+D=O(A,B,

C,DGR,A2+B2+C2^0),点P(Xo，%,Zo)到平面c的距离

djAxQ+ByQ+Cz0+D\则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心。到侧面

222

VA+JB+C

的距离等于.

10.直线/的方向向量为〃=(1』,-Q,且/过点则点P(0,L-1)到直线/的距离

为.

11.在空间直角坐标系中已知4(121),5(1,0,2),C(—l,l,4),CD为三角形ABC边A3

上的高，则|CD卜.

四、解答题

12.如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且。6=例=八似=1,PB=2MD,

平面ABC。，PB//DM,点N为PC上的动点.

(1)求证：存在点N,使得AM//BN.

(2)求二面角A-MP-C的正弦值.

13.已知两个非零向量q,人，在空间任取一点。，作OA=d,OB=b，则/A03叫做向

量a,6的夹角，记作〈/6〉.定义a与的“向量积”为：。乂人是一个向量，它与向量

a,6都垂直,它的模,'.=同小卜由<48>.如图，在四棱锥p-ABCD中，底面

A5CD为矩形，？£>_|_底面48。。。「=04=4,后为4。上一点，|4。*5目=8后.

(1)求的长；

(2)若E为AQ的中点，求平面PEB与平面EBA所成角的余弦值;

⑶若“为尸8上一点，且满足ADx5P=，求团.

参考答案

1.答案：D

解析：AB=（0,4,^）,AC=（-l,4,0）,B4=（2,0,4）,

设平面ABC的一个法向量为〃=（%,y,z）,

,\n-AB=Q[4y-4z=0人/日

由《.得z〈，令y=1得z=l，x=4,

n-AC=0[-x+4y=0

所以〃=（4,1,1）,

PAn2x4+4xl

则点P(0,0,0)到平面ABC的距离为=2\/2.

HV16+1+1

故选:D.

2.答案：B

解析：由｛a,。,c｝是空间中的一组基底，故a，，c两两不共线，

对A:有a=；[2(a+c)+(a-2c)],故A错误；

对B:设〃+25=加(〃+c)+〃(a-2c),贝!J有a+2b=(m+〃)a+(zn-2〃)c,

该方程无解，故〃+2方可与a+c,。-2c构成基底，故B正确；

对C:有a+2c=g[4(a+c)-(a-23)],故C错误；

对D:有c=g[(a+c)—(a—2c)],故D错误.

故选:B.

3.答案：B

解析：设正方体的棱长为1,以3为坐标原点，BA,BE,5c所在直线分别为x轴、y

轴、z轴建立空间直角坐标系3-孙z,如图所示，

B(0,0,0).

设平面AMN的法向量为4=(x,y,z),

n•AM=0,

由于AM=,AN=i

则‘

114n}・AN=0,

11

——x+一z=0,

即|22

11八

——x+—y=0,

I22，

令x=l,解得y=l,z=l,于是〃i=(1,1,1),

同理可求得平面的一个法向量为%=(LT，T)，所以

/、%-11

小胡甲用丁一屋

设平面MW4与平面MNB的夹角为，，则85。=卜05〈4,〃2〉|=；.故所求两平面夹角的

余弦值为L故选B.

3

4.答案：C

解析：b—c=5(a—2c)—](a—2b),A错误.a+2b—c=a+c+2仅一c),B错误.易得

2a,c,b+Z三个向量不共面,C正确.2a—人―2c=2(a—c)—仇D错误.

5.答案：B

解析：

zp，

因为AB=5C，且△ABC是直角三角形，

所以AB_L5C.以3为原点，

分别以8C，册的方向为刀，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系3-孙z.

因为AB=5C=K4=2，

所以A(0,2,0),C(2,0,0),D(O,1,O)»£(1,1,1)，

则AC=（2,—2,0），AB=g,-.故点R到直线AC的距离

故点口到直线AC的距离是逅.

4

6.答案：C

解析：由题意知FE=PE—PB=LPD—(PC+CT)

2

=-(PB+BD)-PC--CB=-(BD+PB)-PC--(PB-PC)

2323

=-(BA+BC)--PC--PB

236

=1(PA-PB+PC-PB)-1PC-|PB

171

=-PA——PB+-PC

266

故选C.

7.答案：BD

解析：以点G为坐标原点，分别以G。、。1用、GC所在直线为X、y、z轴建立如下

图所示的空间直角坐标系，

则G(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,0,2)>4(0,1,0),

设4P=ZBC=X(0,-L,2)=(0,—Z2X),其中0W4W1,

则qp=G4+旦。=(o,i,o)+(o,-2,22)=(0,1-2,22),

DF=DIG+GP=(-2,0,0)+(0,1-2,22)=(-2,1-A,22),

222

所以，CIP-D1P=(l-2)+42=52-22+l=5^2-1j+|,

因为0W4W1,则—工<2—所以，<—,

555L5J25

所以，GP2P=5(2—+|GI，4,

故选：BD.

8.答案：BD

解析

AM=AB+BC+CM=AB+AD+^CD+CQ)

=AB+AD-1AB+1M=>+AD4M，

即2AM=AB+2AD+A4[,故A错误、B正确;

AQ=AAi+AiQ=A\+^\C=AAi+A0+Dg+cQ

=AAl+^AD+AB-AAl^=^AB+^AD+^AAl

即54。=45+?1£)+4刈，故C错误,D正确.

故选:BD.

生42y/5

9.答案：=-

解析：如图，以底面中心。为原点建立空间直角坐标系。町2,则0(0,0,。),

A(l,l,0),B(-l,l,0),「(。，。⑵成平面以台的方程为加+为+0+^二。^,B,C,

A+B+D=Q,

DGR,A2+B2+C2^0),分别将A,B,尸的坐标代入，得<-A+3+D=0,解得

2C+D=0,

A=o,B=-D,C=-1D,所以一四一gr>z+r>=0,即2y+z—2=0,所以

/、2

APn

解析：AP=(l,0,-2),点P到直线/的距离为AP-=V2-

7

故答案为:血.

11.答案：3

解析：AC=(-2,-1,3),AB=(0-2,1),则1AC卜旧,

ACAB5片

\AD\-

所以|CD|=yl\ACf-\ADf=V14-5=3,

故答案为：3

12.答案：(1)证明见解析

⑵巫

5

解析：(1)证明：因为四边形A3CD是菱形，所以AD//BC,

又ADU平面P3C,BCu平面P3C,所以AD〃平面P3C.

又PBIIDM,。河仁平面PBC,PBu平面P3C,所以。腹〃平面P3C.

又ADiDM=D,AD,DMu平面ADM,

所以平面AD暇〃平面PBC.

又AMu平面AMD,所以40〃平面P3C,

所以平面MA3N与PC必有交点，且该交点为N,使AMHBN.

(2)以。为原点，DC,DM所在直线分别为y,z轴，过点。在平面ABCD内作垂直

于DC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为四边形A3CD是菱形，DB=AB,所以NZMB=60。，

XAB=DM=\,PB=2,PB,平面A3CD,

所以C(O,1,O)，fif—,-,oLA|—,--,0I，M(0,0,l),pf—,-,2

\22J\222J2\J

设平面AMP的法向量为/w=(x,y,z).

m.AM=0,

则有《

m-MP=0,

(%,y,z)-,1=0,

即1I,

(/百11

(x,y,z)--—,1=n0,

、I')

取z=—1,则雁=(0,2,—1).

设平面MPC的法向量为“=(a,b,c),

n.MP=0,

则有

n-MC=0,

一/61

(a,b,c),——,1=0,

(22J取a=-G则〃=(-国,1).

(a,b,c)-(0,l,—1)=0,

-\^x0+lx2-lxl1

贝Icos(m,n)=-----

\m\\n\石x65

所以二面角A-MP-C的正弦值为HI与

13.答案：(1)2；

(2)1;

3

(3)10.

解析：(1)因为底面ABC。为矩形，

所以AD〃BC,5cl.DC，

因为PDJ_底面ABCD,BCu底面ABCD,

所以PDLBC，

又PD

所以BC_L平面PDC,

又PCu平面PDC,

所以尸C，

因为A£>〃BC，

所以为直线A。与P3所成的角,

即<AD,BP>=NPBC，

设AB=x（x>0），

贝uPC=V%2+42=Jf+16,PB=7X2+42+42=&+32-

在RtAPBC中sinZPBC=—=,

PB6+32

又|ADX叫二85

所以4，/+32、『+16=8店,

6+32

解得了=2或x=-2（舍去），

所以AB=2；

（2）法一：在平面ABCD内过点。作W5E交5E的延长线于点E连接尸况

因为PD,底面ABCD,BFu底面ABCD,

所以PDLBF，

又DF!_BF,DFPD=D,DF,PDu平面PDF,

所以防_L平面PDF，

又PEu平面PDF,

所以族_1?尸，

所以/PED为二面角P-EB-O的平面角，

因为E为AD的中点，

所以DR=2sin厄PF="+诉?=372，

所以cos，PFD=-^1-=—,

PF