专题28 截长补短模型（原卷版）

模块二常见模型专练

专题28截长补短模型

例1（2021年·四川广安·中考真题）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问

题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD，若AC5cm，求四边

形ABCD的面积．

解：延长线段CB到E，使得BECD，连接AE，我们可以证明BAE≌DAC，根据全等三角形的性质得

AEAC5，EABCAD，则EACEABBACDACBACBAD90，得

S四边形ABCDSABCSADCSABCSABESAEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面

积．

(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2．

(2)如图2，在ABC中，ACB90，且ACBC4，求线段AB的最小值．

(3)如图3，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且BOC60；AC+BD=10，则AD是否

为定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此时平行四边形ABCD的面积．

第1页共23页.

例2（2021年·湖北襄阳·中考真题）如图，四边形ABCD是O内正方形，P是圆上一点（点P与点A，

B，C，D不重合），连接PA，PB，PC．

(1)若点P是弧AD上一点，

①∠BPC度数为___________；

②求证：PAPC2PB；小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完

成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．证明：在PC的延长线上截取点E．使CEPA，连接BE．

(2)探究当点P分别在AB，BC，CD上，求PA，PB，PC的数量关系，直接写出答案，不需要证明．

第2页共23页.

模型截长补短

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。截长

就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。

如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在

EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。

截长法：如图②，在EF上截取EG=AB，再证明

GF=CD即可。

补短法：如图③，延长AB至H点，使BH=CD，

再证明AH=EF即可。

模型分析

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，

指将短线段延长，延长部分等于已知线段。

该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证

明过程。

概述图：

第3页共23页.

【变式1】（2021秋·河北沧州·八年级统考期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再

利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段

相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段

相等．

【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，CADCBD90，组成一个四边形ACBD，以D为顶

点作MDN，交边AC、BC于M、N．

(1)若ACD30，MDN60，证明：AMBNMN；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补

短法，延长CB到点E，使BEAM，连接DE，先证明DAM≌DBE，再证明△MDN≌△EDN，即可

求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；

(2)当ACDMDN90时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证

明）

(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM、MN、BN

之间有何数量关系？证明你的结论．

第4页共23页.

【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题

复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等．

这两种方法统称截长补短法．

请用这两种方法分别解决下列问题：

已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC

第5页共23页.

【变式3】（2022·贵州遵义·统考三模）（1）问题发现：学完垂径定理后，小红对弧的中点与弦的关系再次

做了研究，如图甲，O中，点C是劣弧AB的中点，D点在BC弧之间，过点C作CEAD，垂足为点E，

小红在电脑上用几何画板的度量功能度量了线段ED、DB、AE的长度如下表所示，小红发现了一个数量关

系，这个关系是______（用ED、DB、AE的式子表示）

EDDBAE

1.372.233.60

1.512.073.58

1.631.933.56

1.911.603.51

（2）探索结论：

怎么完成（1）中关系的证明呢？小红根据学习经验想到了“截长补短”中的“截长”思想，如图乙，在线段AE

上截取点F，使得FEDE，连接CF、CD．小红试图构造关于AF、DB所在的三角形，通过全等完成证

明，请接着小红的想法完成证明．

（3）结论应用：

如图丙，等边三角形ABC内接于O，点D在O上，连接BD、CD，过点C作CEAD，垂足为点E，

若BD31，CBD45，求O的半径．

第6页共23页.

【变式4】（2022·全国·九年级专题练习）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加

方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短

边相等，从而解决问题．

(1)如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的

数量关系．

解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证

得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关

系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是______；

【拓展延伸】

(2)如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、

DB、DC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图3，两块斜边长都为4cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离

PQ的长为______cm．

第7页共23页.

【培优练习】

1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）阅读材料：

“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截

取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，

使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．

依据上述材料，解答下列问题：

如图，在等边ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边DEF，连

接CF．

(1)如图，若点D在边BC上，试说明CECFCD；（提示：在线段CD上截取CGCE，连接EG．）

(2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由．

第8页共23页.

2．（2022秋·全国·九年级专题练习）问题：如图1，O中，AB是直径，ACBC，点D是劣弧BC上任

ADBD

一点（不与点B、C重合），求证：为定值．

CD

思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明ACE≌BCD．按思路完成下列证明过程．

证明：在AD上截取点E，使AEBD，连接CE．

运用：如图2，在平面直角坐标系中，O1与x轴相切于点A3,0，与y轴相交于B、C两点，且BC8，

连接AB、O1B．

(1)OB的长为___________．

(2)如图3，过A、B两点作O2与y轴的负半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，连接AM、MN，当O2

的大小变化时，问BMBN的值是否变化，为什么?如果不变，请求出BMBN的值．

第9页共23页.

3．（2022秋·北京·八年级统考期末）如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝（30°＜＜

60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE．

（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数；

（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明．

分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……

②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．

请根据上述分析过程，完成解答过程．

第10页共23页.

4．（2021秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的

添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另

一短边相等，从而解决问题．

（1）如图1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，BDC120，探索线段DA、DB、DC之

间的数量关系．

解题思路：延长DC到点E，使CEBD，连接AE，根据BACBDC180，可证ABDACE，易

证得ABD≌ACE，得出ADE是等边三角形，所以ADDE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数

量关系．

根据上述解题思路，请写出DA、DB、DC之间的数量关系是______，并写出证明过程；

【拓展延伸】

（2）如图2，在RtABC中，BAC90，ABAC，若点D是边BC下方一点，BDC90，探索线段

DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

（3）如图3，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距

离PQ的平方为多少？

第11页共23页.

5．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添

加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一

长边相等，从而解决问题．

（1）如图①，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，连结DA、DB、DC，且BDC120，探

索线段DA、DB、DC之间的数量关系．

解题思路：延长DC到点E，使CEBD，连接AE，根据BACBDC180，则ABDACD180，

因为ACDACE180可证ABDACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所

以ADDE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC

之间的数量关系是；

【拓展延伸】

（2）如图②，在Rt△ABC中，BAC90，ABAC．若点D是边BC下方一点，BDC=90，探索线

段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

（3）如图③，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，已知30所对直角边等于斜边一半，

则PQ的长为_____________cm．（结果无需化简）

第12页共23页.

6．（2021秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）阅读下面文字并填空：

数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC中，AD平分BAC，B2C．求证：

ABBDAC．

李老师给出了如下简要分析：“要证ABBDAC就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，方法一：‘截

长法’如图2，在AC上截取AEAB，连接DE，只要证BD__________即可，这就将证明线段和差问题

__________为证明线段相等问题，只要证出__________≌△__________，得出BAED及

BD_________，再证出_____________________，进而得出EDEC，则结论成立．此种证法的基

础是‘已知AD平分BAC，将△ABD沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处’成为可能．

方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使BFBD．只要证AFAC即可．此时先证__________C，

再证出_________≌△_________，则结论成立．”

“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．

第13页共23页.

7．（2022秋·浙江·八年级专题练习）阅读材料并完成习题：

在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD

中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．

解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得

AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形

ABCD=SABC+SADC=SABC+SABE=SAEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．

△△△△△

（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2．

（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．

如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．

第14页共23页.

8．（2023·全国·九年级专题练习）例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题

化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式

使两条短边拼合到一起，从而解决问题．

（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间

的数量关系．

解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，

根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，

所以AD=DE，从而解决问题．

根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是___________；

（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、

DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．

第15页共23页.

9．（2021秋·山东济宁·八年级统考期中）现阅读下面的材料，然后解答问题：

截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广

泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补

短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．

请用截长法解决问题（1）

（1）已知：如图1等腰直角三角形ABC中，ÐB=90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：

ACABBD．

请用补短法解决问题（2）

（2）如图2，已知，如图2，在ABC中，B2C，AD是ABC的角平分线．求证：ACABBD．

第16页共23页.

10．（2022秋·八年级课时练习）数学课上，小白遇到这样一个问题：

如图1，在等腰RtABC中，BAC90，ABAC，ADAE，求证ABEACD；

在此问题的基础上，老师补充：

过点A作AF⊥BE于点G交BC于点F，过F作FPCD交BE于点P，交CD于点H，试探究线段BP，FP，

AF之间的数量关系，并说明理由．

小白通过研究发现，AFB与HFC有某种数量关系；

小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出

结论．

阅读上面材料，请回答下面问题：

（1）求证ABEACD；

（2）猜想AFB与HFC的数量关系，并证明；

（3）探究线段BP，FP，AF之间的数量关系，并证明．

第17页共23页.

11．（2021秋·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考期中）【初步探索】

截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长

边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问

题．

（1）如图1，ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间

的数量关系；△

【灵活运用】

（2）如图2，ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE

＝60°．求证：△CD＋CE＝CA；

【延伸拓展】

（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在

CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．

第18页共23页.

12．（2023秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）综合与实践

问题情境：已知在等边ABC中，P是边AC上的一个定点．M是BC上的一个动点，以PM为边在PM的

右侧作等边PMN，连接CN．

猜想证明：

(1)如图1，当点M在BC边上时，过点P作PH∥AB交BC于点H，试猜想CP，CN，CM之间的数量关系．并

说明理由．

(2)问题解决：如图2，当点M在CB的延长线上时，已知CP＝5，CM＝12．请直接写出CN的长．

(3)如图3，当点M在BC的延长线上时，（1）中的猜想是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，

请写出正确的猜想并说明理由．

第19页共23页.

13．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）【问题初探】

（1）如图1，在ABC中，BAC90，ABAC，点D是BC上一点，连结AD，以AD为一边作VADE，

使DAE=90，ADAE，连结BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由；

【类比再探】

（2）如图2，在ABC中，BAC90，ABAC，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连结MD，

以MD为一边作MDE，使DME90，MDME，连结BE，则EBD______（直接写出答案，不写

过程）；

【方法迁移】

（3）如图3，在ABC是等边三角形，点D是BC上一点，连结AD，以AD为一边作等边三角形ADE，

连结BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？答案：____________（直接写出答案，不写过程）；

【拓展创新】

（4）如图4，ABC是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连结

MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连结BE．猜想EBD的度数，并说明理由．

第20页共23页.

14．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，ABC和△ABD分别位于AB两侧，

点E为AD中点，连接BE，CE．

(1)如图1，若BACABD90，AC3，ABBD4，求CE的长；

(2)如图2，连接CD交AB于点F，在CF上取一点G使得FGAF，若ACAD，BDBF，BDF60，

猜想BC与BE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3，ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB4，BD2，请直接写出当2CEAE取最大值

时△ACE的面积．

第21页共23页.

15．（2022秋·广西贵港·八年级校考期末）在四边形ABCD