2024-2025学年天津市和平区高三上册第二次月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年天津市和平区高三上学期第二次月考数学检测试卷一.选择题(共9小题)1.已知集合A=x∣−5<A.{−1,0}B.{2,【分析】根据已知条件,结合交集的定义,即可求解.解:集合A=−3则A∩故选:A.【点评】本题主要考查交集及其运算,属于基础题.2.已知x∈R,则“x2>0”是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据题意,分别验证充分性与必要性即可得到结果.解:由题意可得,“x2>0”与“故“x2>0”是“故选:C.【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义,属于基础题.3.已知函数fx=x1+m1A.-2B.-1C.1D.2【分析】由已知结合偶函数的定义可得f−x=fx解:由题意得f−x即−x1所以−1−m1−e−x=整理得m=−故选:A.【点评】本题主要考查了偶函数定义的应用,属于基础题.4.已知a=30.1,b=3A.a<b<cB.c【分析】由指数函数的单调性,及中间量1,即可求解.解:a=由指数函数y=3b=33=3∴c故选:D.【点评】本题考查指数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.5.设α,β是两个平面,m,A.若α⊥β,m//α,l//β,则C.若α∩β=m,l//α,l//β【分析】根据题意,由线面平行性质依次分析选项,综合可得答案.解:根据题意,依次分析选项:对于A,直线m,l可能平行,相交或异面,故A对于B,平面α,β可能相交或平行,故B对于C,由直线与平面平行性质,分析可得C正确;对于D,平面α,β可能相交或平行,故D故选:B.【点评】本题考查平面与平面的位置关系,涉及平面与平面、直线与平面平行的性质和应用,属于基础题.6.已知函数fx=−sin2ωxω>0的最小正周期为π,若将其图象沿x轴向右平移aa>0个单位,A.πB.π3C.3π4【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用余弦函数的图象的对称性,求得实数a的最小值.解:函数fx=−sin2ωx=cos若将其图象沿x轴向右平移aa>0个单位,可得再根据所得图象关于x=π3对称,可得2×π3−2a=kπ,k∈故选:B.【点评】本题主要考查三角恒等变换,余弦函数的图象的对称性,属于中档题.7.已知圆C:x−42+y2=4,点M在直线y=x上,过M作圆A.π2B.3π4C.2π【分析】由题意作图,根据相似三角形以及勾股定理,建立所求圆的半径与CM的等量关系,利用数形结合,可得答案.解:由圆C:x−42+y2=由题意可作图如下:∵MA,MB与圆C分别相切于设AB∩CM=D,易知△ADC∼△MDA,则ADMD=DCAD,可得在Rt△ADC中,AD2+CD2=AC2由图可知MD+CD=CM整理可得R2由图易知当CM垂直于直线y=x时,CM取得最小值,则由函数R2=4−16CM2在[以AB为直径的圆的面积S=πR2,∴故选:C.【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,是中档题.8.设F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0A.3B.33C.3D.【分析】先根据点到直线的距离公式求出MF1,在Rt△MOF1中,求出cos∠OF1M,在解:F1在Rt△MOF1中,在△MF1F2即3b所以2c2=3b所以e=c故选:A.【点评】本题考查了双曲线的性质,属于中档题.9.在三棱锥S−ABC中,∠BAC=3∠SCAA.25πB.256πC.1253π【分析】先证明AB⊥平面SAC,再根据正弦定理求解△SAC外接圆的半径,进而根据外接球的性质确定球心的位置,解:∵∠BAC又∵SA⊥AB,SA在Rt△SAB中,SB又∵∠SCA=30∘,则△SAC取BC,AC的中点D,E,△SAC的外心为F,过D作平面过F作平面SAC的垂线交l于点O,即为球心,连接DE,EF,FA,OA则FA=∴OA即三棱锥S−ABC外接球的半径为∴三棱锥S−ABC外接球的体积为故选:D.【点评】本题考查球的体积计算,关键是求出球的半径,属于中档题.二.填空题(共6小题)10.若复数z=3+i1−3i【分析】运用复数乘法进行化简计算,再根据实部虚部概念计算即可.解:复数z=则z的实部与虚部之积为23故答案为:−4【点评】本题考查复数的运算,属于基础题.11.2x3−【分析】写出二项展开式的通项公式,令k=3解:2x3−1k=令k=则T4故第四项的系数为-160.故答案为:-160.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,属于基础题.12.过抛物线x2=4y上一点P作切线与y轴交于点Q,直线PQ被圆x2+y2=1截得的弦长为2【分析】由题意,利用导数求出抛物线的切线方程,再结合点到直线的距离以及弦长进行求解.解:因为x2即y=可得y′设切点Px此时切线斜率为k=x所以切线方程为yx即2x令x=解得y=所以Q0因为直线PQ被圆x2+y2=所以圆心到直线PQ的距离d=此时−x即x0解得x02=4或所以点Q坐标为(0,-1).故答案为:(0,-1).【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查了逻辑推理和运算能力,属于基础题.13.A,B,C,D,E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加,甲选到A的概率为−35;已知乙选了【分析】设事件A表示“选到A”,事件B表示“选到B”,则甲从中选3个.甲选到A的概率为PA=C11C42C53解:设事件A表示“选到A”,事件B表示“选到B”,则甲从中选3个.甲选到A的概率为PAP∴乙选了A活动,他再选择B活动的概率为:P故答案为:35【点评】本题考查条件概率等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.14.如图,△ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形,若AD=4,BD=2,那么BE⋅CD=_____-6；点M为线段CE【分析】由平面向量的数量积运算,结合余弦定理求解即可.解:在△ABD中,AD=4,BD=2,∠则BE×2由余弦定理可得:AB=在△ABD中,由余弦定理可得:则cos∠ACE设CM=则MA⋅即当λ=58时,MA⋅MC故答案为:-6;-254【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,重点考查了余弦定理,属中档题.15.已知函数fx=ax2+2x2−ax+【分析】根据函数gx=2x2−ax+1是否有零点进行分类讨论:当Δ<0时,gx≥0恒成立,结合题意求解即可;当Δ>0且a>0时,fx>解:设gx=2x2−(1)当Δ=a2−8≤0,即−2x2因为fx有两个零点,所以a≠−2且a2−4a−8>0综上所述,当−22≤a≤22时,满足−(2)当Δ=a2−8>0,即设gx=2x2−ax+1=0的两个根为m,n当a<−22时,关于x的方程因为−a>2,可知a4<0,所以y=−ax2当x∈−∞,m时,y=−ax2与gx所以y=−ax2与因此,要使方程−ax2=2x即方程2−ax2−ax+1=结合−2−23<−综上所述,满足条件的实数a的取值范围为−2故答案为:−2【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、方程的根与函数的零点及其应用,属于中档题.三.解答题(共5小题)16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(I)求角B的大小;(II)若c=3,a+b(III)若b=2a,求【分析】(I)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosB=32,结合B∈0(II)由题意利用余弦定理可得a2−b2+3=3a,又(III)由题意利用正弦定理可得sinA解:(I)由正弦定理得:2sin可得2sin显然sinA则cosB=3又B∈故B=π(II)∵B=π∴由余弦定理可得cosB=a2+3−又a+b=2∴SΔABC(III)由正弦定理得:sinB则sinA∵b=2a,即则B>故A为锐角,cosA=1∴sin2cos2∴sin2A【点评】本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换,余弦定理以及三角形的面积公式的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.17.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3(I)求证:A1F//平面(II)求平面ACC1A1与平面(III)求点A1到平面BDE【分析】(I)取BE中点G,连接FG、DG,即可得到FG//A1D且FG=A1D,从而得到A1(II)建立空间直角坐标系,利用向量法求出平面ACC1A1与平面(III)利用向量法点A1到平面BDE(I)证明:取BE的中点G,连接FG,DG,则因为F为B1C所以FG=C所以FG//A1D所以四边形A1DGF所以A1又A1F⊄平面BDE,DGA1F//平面(II)解:直三棱柱ABC−A1B1以C为原点,以CA,CB,CC1的方向为x轴、y轴、z所以BE=设平面BDE的一个法向量为n=则n⋅BE=0n⋅BD=0,即−易知平面ACC1A1设平面ACC1A1与平面BDE则cosθ所以平面ACC1A1与平面BDE(III)解:因为A1所以点A1到平面BDE的距离d【点评】本题考查了线面平行的证明以及平面与平面所成的角的计算,属于中档题.18.已知椭圆C:x2a2+y2 b2=1a>b>0过点H3,1,离心率为63,斜率为−13的直线(1)求椭圆C的方程；(2)若MN=10,P为椭圆的上顶点,求△(3)记直线HM,HN的斜率分别为k1,k2,证明:k【分析】(1)由题意列方程,求出a,b(2)借助弦长公式计算可得m=2或m=−2,再利用点到直线的距离公式计算点P0,2(3)设出直线的方程,与椭圆联立后可得与交点横坐标有关一元二次方程,结合韦达定理表示出k1k解:(1)由题可得9a2+1b故椭圆C的方程为x2(2)由题,设直线l的方程为y=1联立y=13x+则Δ=6m2−144所以x1因为直线HM,HN均不与x轴垂直,所以x1≠3,x2≠则MN==10解得:m=2或当m=2时,直线l的方程y=13x+2当m=−2时,点P0,2到直线l的距离故△PMN的面积S=(3)证明:由(2)可得,k=====13,故k【点评】本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系,属于难题.19.已知数列an,bn,Sn是数列an的前n项和,已知对于任意n∈N∗,都有3an=(1)求数列an和bn(2)记dn=bn+2−1bnbn+1(3)记c【分析】(1)首先根据an与Sn的关系得到an,再根据等比数列的性质即可得到(2)利用裂项相消法即可得结果;(3)将分组求和与错位相减法相结合即可得结果.解:(1)当n=1时,3a1=当n≥2时,所以3a即an是以首先a1=3,公比为3因为b1=所以b4+12=解得d=所以bn(2)由(1)得dn则T==1(3)k=因为c2n设dn=2n−1⋅9n则Kn9−K所以k=【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式,以及数列的分组求和、裂项相消求和与错位相减法求和,考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力,属于中档题.2