拉普拉斯积分变换市公开课一等奖省赛课获奖课件

§拉普拉斯(Laplace)积分变换1第1页1．拉氏变换概念定义

设函数

当

时有定义，而且积分

（s是一个复参量）

在s某一域内收敛，则由此积分所确定函数称为函数

拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）记为

F(s)称为

拉氏变换（或称为象函数）。

一、拉氏变换2第2页若F(s)是

拉氏变换，则称

为F(s)拉氏逆变换（或称为象原函数），记为

能够看出，

拉氏变换，实际上就是

傅氏变换。

3第3页例1

求单位阶跃函数

拉氏变换。

解

由拉氏变换定义

此积分在

时收敛，且

所以

4第4页例2

求指数函数

拉氏变换（k为解

积分在

时收敛，且有

所以

实数）。5第5页2.拉氏变换存在定理

能够看出，拉氏变换存在条件要比傅氏变换存在条件弱得多。对于一个函数，满足什么条件时，它拉氏变换一定存在呢？

6第6页当

时，

增加速度不超出某一指数函

，使得

成立（满足此条件函数，称它增大是指数级，c为它增加指数）。

拉氏变换存在定理

若函数

满足以下条件：

在

任一有限区间上分段连续；

数，亦即存在常数M>0及7第7页则

拉氏变换

在半平面

上一定存在，右端积分在

上绝对收敛而且一致收敛，

而且在

半平面内，

为解析函数。

8第8页例3

求正弦函数

（k为实数）拉解

一样可得余弦函数拉氏变换：

氏变换。9第9页例6

求单位脉冲函数

拉氏变换。

利用性质：

，有

解

10第10页例7

求函数

拉氏变换。

解

在实际工作中，求函数拉氏变换可经过拉氏变换表查得。

11第11页3．拉氏变换性质

为了叙述方便起见，假定要求拉氏变换函数都满足拉氏变换存在定理中条件，而且把这些函数增加指数都统一地取为c。以下均设12第12页a.线性性质

若

是常数，则有

依据定义，利用积分性质就可推出这个性质。此性质表明：函数线性组合拉氏变换等于各函数拉氏变换线性组合。13第13页

b．

微分性质

证

由定义并利用分部积分法得

这个性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数拉氏变换乘以参变数s，再减去函数初值。

14第14页推论:

尤其，当初值

时，有此性质使我们有可能将

微分方程转化为F(s)代数方程，所以它对分析线性系统有着主要作用。15第15页例

求函数

拉氏变换。

解

因为

由微分性质有

即

移项化简得

16第16页例

求函数

拉氏变换，其中m是正整数

解

因为

而

所以

17第17页即

而

所以

由拉氏变换存在定理，可得到象函数微分性质：

普通地，有

18第18页例

求函数

拉氏变换。

解

因为

依据象函数微分性质

同理可得，

19第19页c．积分性质

证

设

，则有

，且

由微分性质，有

即

这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数拉氏变换除以复参数s。

20第20页重复应用积分性质可得：

另外，由拉氏变换存在定理，还能够得到象函数积分性质：

或普通地，有

21第21页例

求函数

拉氏变换。

解

因为

据象函数积分性质可知

22第22页其中

这一公式，惯用来计算一些积分。

存在，在象函数积分性质公式中取s=0，则有假如积分

23第23页例

求积分

解

因为

且所以24第24页d．位移性质

若

，则有

证

上式右方只是在

中把s换成

，所以

这个性质表明：一个象原函数乘以指数函数

eat拉氏变换等于其象函数作位移a。25第25页例

求

解

因为

利用位移性质，可得

26第26页例

求

解

因为

由位移性质得

27第27页5.延迟性质

若

，又

时

则对于任一非负实数

有

或

证

28第28页因为

时，

，所以上式右端第一个积分为零。对于第二个积分，令

，则

29第29页函数

与f(t)相比，f(t)是从t=0开始有非零数值，而

是从

开始才有非零数值，即延迟了一个时间

。从它们图象来讲，

图象是由f(t)图象沿t轴向右平移距离而得。象函数乘以指数因子

。

这个性质表明，时间函数延迟拉氏变换等于它30第30页例

求函数

拉氏变换。

解

因为

依据延迟性质，有

31第31页二、拉氏逆变换

在实际应用中常会碰到问题是：已知象函数求它象原函数f(t)。由拉氏变换概念可知，函数拉氏变换就是

傅氏变换。

32第32页于是，当

满足傅氏积分定理条件时，按傅氏积分公式，在

连续点处有:

33第33页等式两边乘以，并考虑到它与积分变量无关，则

令，有

这就是从象函数F(s)求它象原函数f(t)普通公式，右端积分称为拉氏反演积分。34第34页此公式是一个复变函数积分，通常计算起来比较困难，但当F(s)满足一定条件时，能够用留数学方法来计算这个反演积分，尤其当F(s)为有理函数时更为简单。

35第35页定理

若是函数全部奇点（适当选取使这些奇点全在范围内），且当时，，则有

即36第36页例1：求逆变换。

解:

F(s)有两个一级极点

由拉氏反演积分公式得

37第37页

例2：

求逆变换。

解:

s=0为一级极点，s=1为二级极点，拉氏反演积分公式得38第38页例3：

求逆变换。

解:利用部分分式方法将F(s)化成

所以39第39页卷

积

拉氏变换卷积性质，不但被用来求一些函数逆变换及一些积分值，而且在线性系统分析中起着主要作用。

40第40页1.卷积概念傅氏变换中两个函数卷积是指

在拉氏变换中函数假如都满足条件：当t<0时，

则上式可写成

今后如不尤其申明，都假定这些函数在t<0时恒为零。

41第41页

例1

求函数和卷积，即求。

解：依据定义得：42第42页卷积性质：

43第43页2.卷积定理

假定，满足拉氏变换存在定理中条件，且，则拉氏变换一定存在，且或44第44页推论若满足拉氏变换存在定理中条件，且，则有

在拉氏变换应用中，卷积定理起着十分主要作用。下面举例说明它在求函数逆变换中应用。

45第45页

例2

设，求f(t)。

解:令则依据卷积定理和例1得

46第46页例3

设，求f(t)。

解：所以47第47页

例4

设 ，求f(t)。解：依据位移性质，

所以48第48页49第49页微分方程拉氏变换解法

利用拉氏变换线性性质和微分性质来解常微分方程，其方法是先取拉氏变换把微分方程化为象函数代数方程，依据这个代数方程求出象函数，然后再对象函数取逆变换就得出原来微分方程解。解法过程以下列图所表示。

50第50页象函数象原函数(微分方程解)象函数代数方程微分方程取拉氏逆变换解代数方程取拉氏变换51第51页例1

求方程解。满足初始条件解:设L[y(t)]=Y(s)。在方程两边取拉氏变换，并考虑到初始条件，得这是含未知量Y(s)代数方程，整理后解出Y(s)，得所求函数拉氏变换52第52页取它逆变换便能够