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第6章一次方程组6.4实践与探索1.通过对实际问题的探索与解决,逐步形成结合实际问题发现并提出数学问题的能力.2.会用二元一次方程组解决简单的实际问题,进一步体会方程建模的过程和作用,培养应用数学的意识.重点:列出二元一次方程组解决实际问题.难点:将实际问题转化为二元一次方程组的数学模型.一、情境导入你能根据这对父子的对话内容,分别求出这两块农田今年的产量吗?二、合作探究探究点一:图表信息问题餐馆里把塑料凳整齐地叠放在一起(如图),根据图中的信息计算有20张同样塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是________cm.解析:设塑料凳凳面的厚度为xcm,腿高hcm,根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x+h=29,,5x+h=35,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=3,,h=20.))则20张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是20+3×20=80(cm).故答案是80.方法总结:在利用方程或方程组解决实际问题时,有时根据需要间接设出未知数,再利用中间量求出结果.含图表问题中,要擅长观察图形或表格,利用图表中的信息,找出等量关系,列出方程.为提高病人免疫力,某医院精选甲、乙两种食物为确诊病人配制营养餐,两种食物中的蛋白质含量和铁质含量如表.如果病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每份营养餐中,甲、乙两种食物各需多少克?每克甲种食物每克乙种食物其中所含蛋白质0.5单位0.7单位其中所含铁质1单位0.4单位解析:题中可将等量关系列为每餐中甲含的蛋白质的量+乙含的蛋白质的量=35,每餐中甲含的铁质的量+乙含的铁质的量=40.由此列出方程组求解.解:设甲、乙两种食物各需x克、y克,由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x+0.7y=35,,x+0.4y=40.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=28,,y=30.))答:甲、乙两种食物分别需要28克、30克.方法总结:解题关键是要读懂题目的意思,根据题目中给出的表格,利用表格中的信息,找出合适的等量关系,列出方程组,再求解.探究点二:利用二元一次方程组解决几何问题如图,在大长方形ABCD中,放入六个相同的小长方形,BC=11,DE=7.(1)设每个小长方形的较长的一边为x,较短的一边为y,求x,y的值.(2)求图中阴影部分的面积.解析:(1)设小长方形的长为x,宽为y,观察图形即可列出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出x,y的值;(2)根据阴影部分的面积=大长方形的面积-6个小长方形的面积,即可求出结论.解:设小长方形的长为x,宽为y,根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+y-2y=7,,x+3y=11,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=8,,y=1.))(2)S阴影=11×(7+2×1)-6×1×8=51.答:图中阴影部分面积是51.方法总结:本题考查了同学们的观察能力,通过观察图形找等量关系,建立方程组求解,渗透了数形结合的思想.探究点三:列方程组解决配套问题现用190张铁皮做盒子,每张铁皮可以做8个盒身或22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子,用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子?解析:此题有两个未知量——制盒身、盒底的铁皮张数.问题中有两个等量关系:(1)制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=190;(2)制成盒身的个数的2倍=制成盒底的个数.解:设制盒身的铁皮数为x张,制盒底的铁皮数为y张,根据题意,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+y=190,,2×8x=22y.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=110,,y=80.))答:110张铁皮制盒身,80张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子.方法总结:找出本题中的两个等量关系是解题的关键,解决配套问题时一定要抓住题目中的特定的数量关系,根据等量关系列出方程组求解.探究点四:二元一次方程组在古代问题中的应用列方程组解古算题:“巍巍古寺在山林,不知寺内几多僧.三百六十四只碗,看看用尽不差争.三人共食一碗饭,四人共吃一碗羹.请问先生明算者,算来寺内几多僧?”解析:题目大意是:一座寺庙内不知有多少僧人,但饭碗和汤碗共有364只.如果3人共用一个饭碗吃饭,4人共用一个汤碗喝汤,都正好用完所有的碗,问寺庙内共有多少僧人?本题如果直接将僧人的人数设为x,则不易列方程组求解,因此需采用间接设法.解:设饭碗有x只,汤碗有y只.由题意,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+y=364,,3x=4y.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=208,,y=156.))则僧人数量为3×208=624(人).所以寺庙内共有僧人624人.方法总结:古诗型问题是应用题中的一个常见类型,这种题型是通过诗歌的形式向大家说明几个量之间的关系,进而提出问题.解决这类问题的关键是要读懂题意,分清各量之间的关系,找出题中隐含的相等的量,列出方程组.三、板书设计利用方程组解决实际问题eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(图表信息问题,几何问题,配套问题,古代问题))通过问题
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