2025年日本数学奥林匹克预赛试题

题目1.在下图中有7个正六边形，将从1到7的整数不重复地依次填入这些六边形中.问：有多少种填写的方式可以使相邻六边形格中的数字之和均不超过10?这里相邻是指两个格子有公共边.作为补充说明，旋转或翻转后重合的填写方式不视为同一种.题目2.问：有多少个正整数组(a,b,c,d)满足abcd=2025,且ab,bc,cd,da都是完全平方数?题目3.对正整数n,设下图中由3n+2个方格构成的图形为Pn.现在有P₁,P₂,P₄,Ps,P₇,P₈各一枚.问：有多少种方式可以把它们不重叠地置入一个10×10的方格表中?作为补充说明，这些图形可以旋转，而旋转或翻转方格表后能够重合的放置方式不视为同一种.题目4.问：1至1000的正整数中，有多少个除以2,3,4,5,6的余数两两不同?题目5.已知圆内接四边形ABCD有一个半径为6的内切圆.记射线AB和射线DC交于点P,射线AD和射线BC交于点Q.若三角形PBC和三角形QCD的内切圆半径分作为补充说明，XY表示线段XY的长度.译者注：这里本来应该有个配图，但我不会画，看了一下貌似没有图不影响解题，就不画了吧.题目6.若两个正整数列a,a₂,...和b₁,b₂,...满足对任意正整数n,都有：成立.此时，若a₁和b₁是不超过40的正整数，那么有多少对可题目7.现有一20行25列的方格表，开始时，这些方格都是空的.太郎同学用这个方格表玩游戏.这个游戏由若干轮组成，在第n轮中进行以下操作：选取一个正整数k,和k个空的格子A₁,A₂,...,Ak,使得任意的i=1,2,...,k-1,A;+1都是A;右方或上方相邻的格子，然后在这k个格子中都写上正整数n.当所有方格中都填入数后，游戏结束.问：如果太郎同学一直以用尽可能少的轮数结束游戏为目标进行操作，则游戏结束时填数的方法有多少种?作为补充说明，旋转或翻转方格表后相同的填写方式不视为同一种.题目8.设n是不小于3的正整数.若整数列a₁,a₂,...满●存在不超过n的正整数i,使得a;=2025.●对任意不超过n的正整数i<j<k,都有记美味的数列的长度的最大可能值为N.试求在所有长度为N的美味的数列a₁,a₂,...,an中，an的最小可能值.作为补充说明，整数列x₁,X₂,...,x,的长度为1.题目9.已知锐角三角形ABC的外心为0.过点A作边BC别作边AB,AC的垂线，垂足分别为E,F.线段AO和线段EF交于点P,则AP=11.试求线段EF的长度.题目10.设S={0,1,...,8}.问：有多少个定义在S上取值在S中的函数f,满足对任意的x,y,z∈S,若x+y-z是9的倍数，则f(x)f(y)-f(f(z))是9的倍数?题目11.JMO星团开始时共有五颗星星，分别为0,A,B,重要度为0,而A,B,C,D的重要度均为1.此外，有从0有其他的航线.现在决定定期实行操作以防止JMO星团中(2)对(1)中每条废止的航线f,各建设1颗对应的星星Sf,然后将f出发和到达的星星的重要度之和分配给Sf作为它的重要度.(3)对(1)中每对废止的航线(f,f'),若f到达的星星和f'试求在第100次操作建设的星星的重要度之和.题目12.已知五边形ABCDE内接于圆Ω,满足AC=AD,BC||DE.在圆Ω的不含A的弧CD上取点P,记点P关于AB,BC,CD,DE,EA