专题4. 4 因式分解-平方差公式（专项练习）

专题4.4因式分解-平方差公式（专项练习）

一、单选题

1.（2021.山东淄博市.八年级期末）下列多项式：①f+y2；②③7+/；

④"-"，其中能用平方差公式分解因式的多项式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2018•吉林长春市•八年级期中）把多项式4/-1分解因式，结果正确的是（）

A.（2a+l）2B.（2a-1>

C.（4a+l）（4a-l）D.（2。+1）（2。-1）

3.（2020•福建福州市•八年级期末）下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是（）

A.-x2+1B.x2+1C.-%2-1D.x2-2x4-1

4.（2020.湖北鄂州市教育局八年级期末）下列各题中，分解因式错误的是（）.

A.%2―1——（x+1）（%—1）B.（_2y）~_x~——（_2_y+x）（2y_x）

C.8lx2-64y2=（9x+8y）（9x-8y）D.1-4/=Q+2y）（l—2y）

5.（2020.河南溪河市.八年级月考）多项式：®-x2-y2,®4x2+\6y2,③（—曲？一（_〃7，

④/一4/，@-144X2+169/.能用平方差公式分解因式的有（）

A.5个B.2个C.3个D.4个

6.（2020•浙江杭州市♦七年级其他模拟）下列式子能用平方差公式因式分解的是（）

A.4x2+y2B.-4x2-y2C.4x2-（-y）2D.（-2x）2+y2

7.（2001•浙江省杭州第十中学七年级期末）若（-x+y）-A=x2-y2,则代数式A等于（）

A.-x-yB.一x+yC.x-yD.x+y

8.（2020•河北保定市•八年级期末）若x+y=3+2痣，x—y=3-20,则，？二7■的

值为（）

A.4A/2B.1C.6D.3-2.72

9.（2020•定州市宝塔初级中学八年级月考）下列分解因式错误的是（）

A.1—16a2=(1+4a)(1—4a)B.x3-x=x(x2-l)

C.a2—b2c2=(a+bc)(a-be)D.m2—0.01=(m+0.1)(m—0.1)

10.（2020•广东揭阳市•七年级期中）已知。+/?=7,。一。=8则/一从的值是（）

A.11B.15C.56D.60

11.（2021.全国九年级专题练习）因式分解〃2-4的结果是（）

A.（。+2）（n-2）B.（。-2）2C.（。+2）2D.a（«-2）

12.（2019・贵州铜仁市•七年级期末）在下列多项式中，不能用平方差公式因式分解的是

（）

A.x2-9y2B.-1+m2C.-16a2+b2D.-x2-i

13.（2020.广西来宾市.七年级期中）计算：

-壶）x（1—土）的结果是（）

1011011011

A.---B.---C.---D.---

200125100100

14.（2020•全国八年级课时练习）把下列各式因式分解，结果为（x+2y）（x-2y）的是（）

A.J-4y2B.x2+4y2C.-x2+4y2D.-x2-4y2

二、填空题

3

15.（2021•湖北咸宁市•八年级期末）因式分解：a-a=.

16.（2021•河南信阳市•八年级期末）计算：20212-20202=.

17.（2020•吉林长春市.八年级期末）若x+y=2a,%->=2〃，贝ijf—J的值为

18.（2020•贵州省施秉县第二中学八年级期末）因式分解：（x+3）2—9=.

19.（2021•全国八年级）分解因式：（a"）2-4"=.

20.（2020•隆昌市知行中学八年级月考）已知加一〃=3,则m2_〃2_6〃的值

21.（2020•辽宁营口市•八年级月考）已知a+b=3,则a?-b?+6b的值为.

42

22.（2020.重庆市渝北中学校八年级月考）因式分解：a-a=.

m+n=2019

23.（2020•广东珠海市•九年级二模）己知实数胆，〃满足《，则代数式机2-

m-n=-i

"2的值为.

24.（2020•浙江绍兴市•七年级期中）小明家的门锁密码采用教材中介绍的“因式分解法”设

置，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式/一J/*可因式分解为

(x+y)(x-y)(x2+/)＞当取x=9,y=9时，各因式的值是

(x-y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就把“018162”作为一个六位数密码.类似

地，小明采用多项式91—4孙2产生密码，当x=ll,y=ll时，写出能够产生的所有密码

25.(2020•浙江金华市•七年级期中)方程f—V=31的正整数解为.

26.(2019•清华附中上庄学校八年级期末)设机＞〃＞0,若(_一")=2,则%之=

mnmn

三、解答题

27.(2020•江苏连云港市•九年级月考)(阅读材料)

把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫

做配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用.

例如：①用配方法因式分解：«2+6a+8.

原式="2+6。+9—1=(a+3)2—1=(“+3—1)(“+3+l)=(“+2)(a+4)

②求/+61+11的最小值.

解：x2+6x+ll=N+6x+9+2=(x+3)2+2；

由于(x+3)2出，

所以(x+3)2+222,

即9+6/11的最小值为2.

请根据上述材料解决下列问题：

(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：〃+4“+：

(2)用配方法因式分解：a2—12a+35；

(3)用配方法因式分解：d+4；

(4)求4x2+4x+3的最小值.

28.(2020・江苏宿迁市•七年级期中)阅读理解以下文字：

我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成儿个整式的积的形式.通过因式分解,

我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目

的.这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题.

例如：方程2f+3x=0就可以这样来解：

解：原方程可化为x(2x+3)=0

所以X=0或者2x+3=0.

3

解方程2x+3=0,得工=——

2

3

所以解为%=0,x2=——.

根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：

(1)解方程：X2—5x=0;

(2)解方程：(X+3)2-4X2=0；

(3)已知AA3C的三边长为4,工，儿请你判断代数式y2—8y+16—Y的值的符号.

参考答案

1.B

【分析】

根据平方差公式的性质解答即可.

【详解】

解：③-1+/=片-1，④层可以用平方差公式分解因式；

①f+y2；②---4y2=-（Y+4）/）不可以用平方差公式分解因式.

故选：B.

【点拨】

此题主要考查了平方差公式性质，熟悉相关性质是解题的关键.

2.D

【分析】

根据平方差公式直接进行求解即可.

【详解】

解：4a2_1=（2°+1）（2。-1）；

故选：D.

【点拨】

本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

3.A

【分析】

根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的平方解答.

【详解】

A、-x2+\,能用平方差公式分解因式；

B、%2+1，不能用平方差公式分解因式；

C、-x2-l,不能用平方差公式分解因式；

D、x2-2x+b不能用平方差公式分解因式；

故选：A.

【点拨】

此题考查平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b),掌握公式中多项式的特点是解题的关键.

4.B

【分析】

根据因式分解的方法直接进行排除选项.

【详解】

A、x2-l=(x+l)(x-l),正确，故不符合题意；

B、=(-2y+x)(-2y—%),选项不正确，故符合题意；

C、8U2-64/=(9x+8y)(9x-8^),正确，故不符合题意；

D,l-4/=(l+2y)(l-2j),正确，故不符合题意；

故选B.

【点拨】

本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式分解因式是解题的关键.

5.C

【分析】

根据平方差公式的特点：两个平方项，两个平方项的符号相反进行判断.

【详解】

符合平方差公式分解特点的有：③、④、⑤，

故选：C.

【点拨】

此题考查平方差公式分解因式的特点：两个平方项，两个平方项的符号相反，只有熟记此种

方法分解因式的多项式的特点才能正确解决问题.

6.C

【分析】

利用平方差公式判断即可得到正确的选项.

【详解】

解：A、4x2+y2,不符合平方差公式的特征，故本选项不符合题意；

B、-4x2-y2=-(4x2+y2),不符合平方差公式的特征，故本选项不符合题意;

c、4x2-(-y)2=4x2-y2=(2x+y)(2x-y),能用平方差公式进行因式分解，故本选项符

合题意；

D、(~2x)2+y2=4x2+y2,不符合平方差公式的特征，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点拨】

此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关犍.

7.A

【分析】

利用平方差公式将等号右边写成(x+y),即可求解.

【详解】

解：♦.,(一%+3).4=兀2-丁2=0+可(%一3),

A=-x—y,

故选：A.

【点拨】

本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键.

8.B

【分析】

利用平方差公式进行分解因式后计算即可得到答案.

【详解】

x+y=3+20,x-y=3-2y/2,

­■•G—y2=J(x+y)(x—y)=7(3+272)(3-2V2)=1.

故选：B.

【点拨】

此题考查平方差公式分解因式，a2-b2=(a+b)(a-b),熟记公式并运用解题是关键.

9.B

【分析】

运用平方差公式、提公因式法逐项分析.

【详解】

A、1—16a2=(1+4a)(I—4a),正确；

B、x?—x=x(x2—I)=x(x—1)(x+1),错误；

C、a2—b2c2=(a+bc)(a—be),正确；

D、m2—0.01=(m+0.1)(m—0.1),正确；

故选B.

【点拨】

本题考杳因式分解的方法，熟练掌握平方差公式、提公因式法是关键.

10.C

【分析】

直接利用平方差公式将〃一炉分解为(4+初31)，代入数据后即可得出结论.

【详解】

解：a+b-1,a-b=8,

-按=(a+b)(a-b)=7x8=56.

故选：C.

【点拨】

本题考查了平方差公式的应用，公式法因式分解.解题的关键是利用平方差公式将足42分解

为(a+b)(a-b).

11.A

【分析】

利用平方差公式进行分解即可.

【详解】

解：原式=(。+2)(a-2),

故选：A.

【点拨】

本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键.

12.D

【分析】

根据平方差公式有：X2-9y2(x+3y)(x-3y)；-1+m2—m2-l=(m+1)(m-1)；

-\6a2+h2=b2-16a2=(b+4a)(b-4a)；而一x2-1=-(x2+1)，不能用平方差公式分

解.

【详解】

A.%2—9)2==(x+3y)(x-3y)；

B1+W2—m2-l=(m+1)(m-1)；

C.-l6a2+/=b?T6a2=(b+4a)(b-4a)：

而-x2-l=-(x2+l),不能用平方差公式分解.

故选：D

【点拨】

本题考查了平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b),熟练掌握此公式是解答此题的关键.

13.B

【分析】

先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案.

【详解】

解：原式=

4657689810099101

=—X—X—X—X—X—Xx__x___x___x___

5566779999100100

4101

—_x___

~5100

101

125

故选：B.

【点拨】

本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方

法是解题关键.

14.A

【分析】

A选项，利用平方差公式即可得到(x+2y)(x-2y),B选项，不能得到，C选项，得到的

是一(x+2y)(x-2y),D选项，不能得到，即可解决.

【详解】

解：f—4y2=/一(2刈2=(》+2〉)(》一2y).

故选A.

【点拨】

本题主要考查了利用平方差公式因式分解，熟练公式的运用是解决本题的关键.

15.<7(l+a)(l-a)

【分析】

先提公因式。，再利用平方差公式因式分解即可解题.

【详解】

解：a-a3=a(l-a2)=a(l+a)(l-a)

故答案为：。(1+。)(1一a).

【点拨】

本题考查因式分解，涉及平方差与提公因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识

是解题关键.

16.4041

【分析】

由平方差公式进行因式分解，即可得到答案.

【详解】

解：20212-20202=(2021+2020)(2021-2020)=4041；

故答案为：4041.

【点拨】

本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握平方差公式进行化简.

17.4a。.

【分析】

应用平方差把多项式V-V因式分解，再整体代入即可.

【详解】

解：x2-y2=(x+y)(x-y)»

把x+y=2a,x-y=2b代入，

原式=2ax2b=4ab，

故答案为：4ab.

【点拨】

本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值，能够熟练运用平方差把多项式因式分

解并整体代入求值，是解题的关键.

18.x(x+6)

【分析】

根据平方差公式分解因式.

【详解】

(X+3)2—9=(X+3+3)(X+3-3)=X(X+6),

故答案为：x(x+6).

【点拨】

此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法(平方差公式、完

全平方公式)、分组分解法，根据多项式的特点选用恰当的方法分解因式是解题的关键.

19.(a+b)(a-3b)

【分析】

直接利用平方差公式分解因式得出即可.

【详解】

解：(a-b)2-4h2

—(6?-h+2h)(a-b-2b)

=Ca+b)(a-3b).

故答案为：(“+%)(a-36).

【点拨】

本题主要考查了公式法进行因式分解的知识，解题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式,

注意因式分解要彻底.

20.9

【分析】

将加-〃=3视为整体，先利用平方差公式及提公因式法将代数式化成乘积形式，再整体代

入解题即可.

【详解】

:m-n=3,

m2-H2-6n

=3(m+〃)-6n

=3(m+n-2n)

=3(m-n)

=3x3

=9

【点拨】

本题考查代数式求值，涉及整体代入思想、因式分解等知识，是重要考点，难度较易，掌握

相关知识是解题关键.

21.9

【分析】

把前两项分解因式，然后把a+b=3代入，化简，然后再利用a+b表示，代入求值即可.

【详解】

a2-b2+6b

=(a+b)(a-b)+6b

=3(a-b)+6b

=3a+3b

=3(a+b)

=9.

故答案为：9.

【点拨】

本题考查了平方差公式，正确对所求的式子进行变形是关键.

22.—+

【分析】

先提公因式，再把余下的式子利用平方差公式。2-。2=（4—+与分解即可.

【详解】

解：原式=/（/一1）

=a2（i7-l）（a+l）.

故答案为：7（a—.

【点拨】

本题考查了提公因式法和用公式法因式分解，熟记平方差公式是解题的关键.

23,-2019

【分析】

直接利用平方差公式将原式变形得出答案.

【详解】

m+n-2019

解：..•实数〃?，〃满足〈

m-n=-\

.,.w2-n2—(m+n)(m-n)

故答案为：-2019.

【点拨】

此题主要考查了平方差公式，根据题目要求正确将原式变形是解题关键.

24.551111,115511,111155

【分析】

只需将9/—4盯2进行因式分解成x（3x—2y）（3x+2y）,再将x=lly=ll代入即可.

【详解】

解：9x3—4j^2=x（3x-2y）（3x+2y）

当x=l1,y=l1

/.x=11,3x-2y=l1,3x+2y=55,

，能够产生的所有密码有:551111,115511,111155

故答案为：551111,115511,111155

【点拨】

此题主要考查因式分解，要注意得出的数字有多种排列排列.

X=16

25.<

y=15

【分析】

原式利用平方差公式可变形为(x+y)(x-y)=31,根据x、y为正整数，31=31x1可得

x+y=31

।,解方程组即可得答案.

x-y=l

【详解】

x2-y2=31,

(x+y)(x-y)=31,

’・"、y为正整数,

(x+y)(x-y)=31=31x1,

x+y=31

x-y=\

x=16

解得：〈

y=15

x=\6

故答案为：！

y=15

【点拨】

本题考查平方差公式及解二元二次方程组，根据x、y为正整数，利用平方差公式得出(x+y)

(x-y)=31=31x1进而列出方程组是解题关键.

26.2百

【分析】

根据已知条件求出—=2nm,=6mn,得到m-n与m+n,即可求出答案.

【详解】

(…丫=2,

mn

(加一=2rm,

(m+w)--6mn,

,/m>n>0,

m-n=Y2nm，m+n=y/6mn，

.m2-n2(m+n)(m-n)-J2mn■\j6mnr-

-------=----------=---------=273，

mnmnmn

故答案为：2G.

【点拨】

此题考查利用算术平方根的性质化简，平反差公式的运用，熟记公式是解题的关键.

27.(1)4；(2)(a-5)(a-7)；(3)