2022-2023学年上海市浦东新区华东师大二附中高三上学期10月月考数学试卷-含详解

第1页（共1页）2022-2023学年上海市浦东新区华东师大二附中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．（4分）设复数z满足（1﹣i）z＝1+i（i为虚数单位），则z＝．2．（4分）若集合，则＝3．（4分）已知函数f（x）＝sinx+xex，则f'（0）＝．4．（4分）在（1+2x）6的二项展开式中，x4项的系数是．（用数值表示）5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为．6．（4分）若函数f（x）＝3sin（ωx+φ）对任意实数x都有f（+x）＝f（﹣x），则f（）＝．7．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（12，0.25），且E（aX﹣3）＝3（a∈R），则D（aX﹣3）＝．8．（5分）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF．若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为．9．（5分）已知a＞b＞1，若logab+logba＝，ab＝ba，则a+2b＝．10．（5分）设Pn（xn，yn）是直线与圆x2+y2＝1在第一象限的交点，则＝．11．（5分）已知实数x、y满足，则的取值范围是．12．（5分）已知非零实数x，y满足，则x2+y2的最小值为．二、选择题（本大题共4题，满分12分）13．（3分）设a∈R，则“a＝1”是“直线ax+2y＝0与直线x+（a+1）y+2＝0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．（3分）甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示，若甲、乙两人的平均成绩分别用表示，则下列结论正确的是（）A．，且甲比乙成绩稳定 B．，且乙比甲成绩稳定 C．＜，且甲比乙成绩稳定 D．，且乙比甲成绩稳定15．（3分）折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l、d和θ所满足的恒等关系为（）A． B． C． D．16．（3分）已知正实数C满足：对于任意θ，均存在i，j∈Z，0≤i≤j≤255，使得|cos2θ﹣|≤C，记C的最小值为λ，则（）A．＜λ＜ B．＜λ＜ C．＜λ＜ D．＜λ＜三、解答题（本大题共有5题，满分0分）17．如图，在直角△POA中，PO⊥OA，PO＝2OA，将△POA绕边PO旋转到△POB的位置，使∠AOB＝90°，得到圆锥的一部分，点C为弧AB的中点．（1）求证：PC⊥AB；（2）设直线PC与平面PAB所成的角为φ，求sinφ．18．记Sn为数列{an}的前n项和．已知Sn＝2an﹣a1，且a1≠0．（1）证明：{an}是等比数列．（2）若{bn}是等差数列，且b1＝a1，b2+b4＝18a1，求集合{k|ak＝bm+3b1，1≤m≤200}中元素的个数．19．如图所示，公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝6km，OB＝6km，∠AOB＝90°，市政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．（1）若M在距离A点4km处，求OM和MN的长度；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积尽可能小，设∠AOM＝α，试确定α的值，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．20．已知椭圆焦距为，过点，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A、B．（1）求椭圆M的方程；（2）若k＝1，|AB|的最大值；（3）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C、D和点共线，求实数k的值．21．定义：函数m（x），n（x）的定义域的交集为D，A⊆D，若对任意的x0∈A，都存在x1，x2∈D，使得x1，x0，x2成等比数列，m（x1），m（x0），m（x2）成等差数列，那么我们称m（x），n（x）为一对“K函数”．已知函数f（x）＝，g（x）＝ax，a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：f（x）≥；（Ⅲ）若A＝[1，+∞），对任意的a∈S，f（x），g（x）为一对“K函数”，求证：S⊆[1，e4）．（e为自然对数的底数）

2022-2023学年上海市浦东新区华东师大二附中高三（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．解：由（1﹣i）z＝1+i，得z＝．故答案为：i．2．解：∵A＝{x|x≤﹣2或x≥2}，∴．故答案为：{x|﹣2＜x＜2}．3．解：f′（x）＝cosx+ex+xex，则f′（0）＝1+1＝2．故答案为：2．4．解：（1+2x）6的二项展开式的通项公式为Tr+1＝•（2x）r，令r＝4，可得含x4项的系数是×24＝240，故答案为：240．5．解：因为圆柱的底面积为9π，即πR2＝9π，所以R＝3，所以S侧＝2πRh＝24π．故答案为：24π．6．解：∵f（+x）＝f（﹣x），∴对称轴为x＝，∴当x＝时，ω+φ＝+2kπ或﹣+2kπ，∴f（）＝±3．故答案为：±3．7．解：∵随机变量X服从二项分布B（12，0.25），∴E（X）＝12×0.25＝3，D（X）＝12×0.25×（1﹣0.25）＝2.25，∵E（aX﹣3）＝3，∴aE（X）﹣3＝3a﹣3＝3，解得a＝2，∴D（aX﹣3）＝D（2X﹣3）＝4D（X）＝4×2.25＝9．故答案为：9．8．解：如图：由正六边形的性质可知，∠BAC＝∠BCA＝30°，故AC＝，所以∠CAF＝120°﹣30°＝90°，所以P点的位置在直线AF的右侧的六边形内（包括边界）或落在线段AF上，又表示的是与在上的投影的乘积，故当P落在线段AF上时，在上的投影最小为0，当P落在线段DC上时，在上的投影最大为＝，故，故答案为：[0，3]．9．解：因为logab+logba＝，，且logab×logba＝1所以logab，logba是方程x2﹣x+1＝0的两根．解得logba＝2或logba＝．又a＞b＞1，所以logba＝2，即a＝b2，又ab＝ba．从而b2b＝ba⇒a＝2b，且a＝b2则b＝2，a＝4．所以a+2b＝8．故答案为：8．10．解：当n→+∞时，直线2x﹣y＝趋近于2x﹣y＝1，与圆x2+y2＝1在第一象限的交点无限靠近（，），可看作点Pn（xn，yn）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2＝1在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．所以＝＝2．故答案为：2．11．解：因为实数x，y满足足，当x＞0，y＞0时，方程为的图象为双曲线在第一象限的部分；当x＞0，y＜0时，方程为的图象为椭圆在第四象限的部分；当x＜0，y＞0时，方程为的图象不存在；当x＜0，y＜0时，方程为的图象为双曲线在第三象限的部分；在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，表示点（x，y）到直线x﹣2y+＝0的距离的倍，根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为y＝±x，令z＝x﹣2y+，即y＝x﹣+，与双曲线渐近线平行，观察图象可得，当过点（x，y）且斜率为的直线与椭圆相切时，点（x，y）到直线x﹣2y+＝0的距离最大，即当直线z＝x﹣2y+与椭圆相切时，z最大．联立方程组，得2x2﹣（2z﹣2）x+z2﹣2z+1＝0，Δ＝（2z﹣2）2﹣4×2×（z2﹣2z+1）＝0，解得z＝±2．又因为椭圆的图象只有第四象限的部分，所以z＝+2．又直线x﹣2y+＝0与x﹣2y＝0的距离为1，故曲线上的点到直线的距离大于1，所以z＞．综上所述，＜z≤+2，所以＜|z|≤+2，即的取值范围是（，2]．故答案为：（，2]．12．解：令x2+y2＝r2（r＞0），设x＝rcosθ，y＝rsinθ，所以x2﹣y2＝r2（cos2θ﹣sin2θ）＝r2cos2θ，++2xy＝++2r2sinθcosθ＝+r2sin2θ＝+r2sin2θ，因为非零实数x，y满足，所以+r2sin2θ＝r2cos2θ，所以r2（cos2θ﹣sin2θ）＝，所以r2（cos2θsin2θ﹣sin22θ）＝2，即r2（sin4θ﹣）＝2，整理得，r2＝，因为sin（4θ+）﹣1∈[﹣﹣1，﹣1]，又r2＞0，所以sin（4θ+）﹣1∈[0，﹣1]，当sin（4θ+）取最大值时，取得最小值，即当sin（4θ+）＝时，的最大值为＝4（+1），故x2+y2的最大值为4（），故答案为：4（）．二、选择题（本大题共4题，满分12分）13．解：直线ax+2y＝0与直线x+（a+1）y+2＝0平行，则，解得a＝﹣2，或1；因为{1}⊂{﹣2，1}，故“a＝1”是“直线ax+2y＝0与直线x+（a+1）y+2＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．14．解：由茎叶图可知，甲的数据为88，89，90，91，92，所以甲的平均值为．乙的数据为83，88，89，89，91，所以乙的平均值为，所以．由茎叶图可知，甲的数据主要集中在90附近，所以甲比乙稳定．故选：A．15．解：由题意，如图，可得AD＝d，∠DOA＝，设OA＝r，则在△ADO中，sin＝，①又l＝rθ，②所以由①②可得：＝，即．故选：A．16．解：由题意将问题转化为对于任意x∈[0，1]，均存在i，j∈Z，0≤i≤j≤255，使得|x﹣|≤C，将在数轴上表示如下：当x与上述数轴上的点重合时，存在imj∈Z，0≤i≤j≤255，使得x﹣＝0，又C为正实数，则|x﹣|≤C成立，当x与上述数轴上的点不重合时，假设在相邻的两个点，之间，则|x﹣|≤|﹣|，当且仅当x在相邻两个点，中点时，取等号，要使对于任意x∈[0，1]，均存在i，j∈Z，0≤t≤j≤255，使得|x﹣|≤C，则C≥||，又数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为＝，此时x在相邻的两个点0，或，1中点，则x﹣＝，则有C≥＝，以下说明数轴上所有相邻的两个点的距离最大为，数轴上（k∈Z，0≤k≤254）两点间的距离为，当k＝0或k＝254，0和为相邻的两点，之间的距离为，当1≤k≤253时，则有，∴之间必存在点，可得相邻两点之间的距离小于，综上，数轴上所有相邻两点之间距离最大值为，综上，．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分0分）17．解：（1）证明：由题意知PO⊥平面AOB，所以PO⊥AB．又点C为的中点，所以OC⊥AB，PO∩OC＝O，所以AB⊥平面POC，又PC⊂平面POC，所以PC⊥AB．（2）以O为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设OA＝2，则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，4），，所以，，．设平面PAB的法向量为，则①，②，①②联立，取c＝1，可得平面PAB的一个法向量为，所以＝．18．解：（1）证明：由Sn＝2an﹣a1，且a1≠0，可得a1＝S1＝2a1﹣a1＝a1成立．当n≥2时，Sn＝2an﹣a1，①将n换为n﹣1可得Sn﹣1＝2an﹣1﹣a1，②由①﹣②可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，化为an＝2an﹣1，所以{an}是公比为2的等比数列；（2）设{bn}是公差为d的等差数列，由b1＝a1，b2+b4＝18a1，可得2b1+4d＝18a1，解得d＝4a1，则bn＝b1+（n﹣1）d＝a1+4（n﹣1）a1＝（4n﹣3）a1，又an＝a1•2n﹣1，由ak＝bm+3b1，可得a1•2k﹣1＝（4m﹣3）a1+3a1，由于a1≠0，所以2k﹣3＝m，由1≤m≤200，可得k＝3，m＝1；k＝4，m＝2；k＝5，m＝4；k＝6，m＝8；...；k＝10，m＝128．则集合{k|ak＝bm+3b1，1≤m≤200}中元素的个数为8．19．解：（1）在△OAB中，其中OA＝6km，OB＝6km，∠AOB＝90°，tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝60°，在△AMO中，OM2＝OA2+AM2﹣2OA•AMcos60°＝28，∴cos＝，在△OAN中，sin∠ANO＝sin（∠A+∠AON）＝sin（∠A+∠NOM+∠AOM）＝sin（∠AOM+90°）＝cos∠AOM＝，在△OMN中，，∴MN＝；（2）设∠AOM＝α，0°＜α＜60°，在△AMO中，，∴OM＝，在△ANO中，，∴ON＝，∴s＝＝，∵0°＜α＜60°，∴α＝15°时，△OMN的面积最小，最小值为54﹣27．20．解：（1）设椭圆方程为，由题意可得，解得a2＝3，b2＝1，所以椭圆M的标准方程为．（2）设直线AB的方程为y＝x+m，由消去y可得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，则，即m2＜4，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，则，易得当m2＝0时，，故|AB|的最大值为．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则①，②，又P（﹣2，0），所以可设，直线PA的方程为y＝k1（x+2），由消去y可得，则，即，又，代入①式可得，所以，所以，同理可得．故，，因为Q，C，D三点共线，所以，将点C