d112对坐标曲线积分省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第二节一、对坐标曲线积分概念与性质二、对坐标曲线积分计算法三、两类曲线积分之间联络对坐标曲线积分第十一章第1页一、对坐标曲线积分概念与性质1.

引例:变力沿曲线所作功.设一质点受以下变力作用在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作功处理方法:动过程中变力所作功W.第2页1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做功为F沿则用有向线段上任取一点在第3页3)“近似和”4)“取极限”(其中

为n个小弧段最大长度)第4页2.定义.设L为xOy平面内从A到B一条有向光滑弧,若对L任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作第5页若

为空间曲线弧,记称为对x曲线积分;称为对y曲线积分.若记,对坐标曲线积分也可写作类似地,第6页3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分特例.说明:

对坐标曲线积分必须注意积分弧段方向!第7页二、对坐标曲线积分计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L参数方程为则曲线积分连续,证实:下面先证存在,且有第8页对应参数设分点依据定义因为对应参数因为L为光滑弧,同理可证第9页尤其是,假如L方程为则对空间光滑曲线弧

:类似有定理第10页例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点一段.第11页例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L参数方程为(2)取L方程为则则第12页例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式第13页例4.设在力场作用下,质点由沿

移动到解:(1)(2)

参数方程为试求力场对质点所作功.其中

为第14页例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取

参数方程第15页三、两类曲线积分之间联络设有向光滑弧L以弧长为参数

参数方程为已知L切向量方向余弦为则两类曲线积分有以下联络第16页类似地,在空间曲线

上两类曲线积分联络是令记A在t上投影为第17页二者夹角为

例6.设曲线段L长度为s,证实续,证:设说明:

上述证法可推广到三维第二类曲线积分.在L上连第18页例7.将积分化为对弧长积分,解：其中L沿上半圆周第19页1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L反向弧对坐标曲线积分必须注意积分弧段方向!内容小结第20页3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧第21页4.两类曲线积分联络•对空间有向光滑弧

:第22页原点O距离成正比,思索与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提醒:(解见P196例5)F大小与M到原F方向力F作用,求力F所作功.思索:若题中F方向改为与OM垂直且与y轴夹锐角,则第23页2.

已知为折线ABCOA(如图),计算提醒:第24页作业P1983(2),(4),(6),(7);

4;5;7;8第三节第25页备用题1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xOy面距离成反比.沿直求F所作功W.已知F方向指一质点在力场F作用下由点第26