《概率论与数理统计及其MATLAB实现（微课版）》 习题及答案 第8章

PAGEPAGE1习题8.11.假设检验中，拒绝域和显著性水平分别表示什么含义？【解】按照实际推断原理解释：在原假设为真时，构造小概率事件，即拒绝原假设的区域，就是拒绝域.小概率事件的概率就是显著性水平.显著性水平也可以理解为范第一类错误的概率.2.某品牌节能灯以往的不合格率不高于4%.现从一批产品中随机抽取25只节能灯，以检验这批产品的不合格率是否高于4%，在显著性水平α下，需要提出的假设是（）.(A)H0：μ≥μ0=0.04，H1：μ<μ0=0.04;(B)H0：μ≤μ0=0.04，H1：μ>μ0=0.04;(C)H0：μ>μ0=0.04，H1：μ≤μ0=0.04;(D)H0：μ<μ0=0.04，H1：μ≥μ0=0.04.【解】B3.某品牌手机广告中声称：该品牌手机平均待机时间为30小时.现在随机抽查了35部该品牌手机，以检验广告是否可以被认可.假设该手机待机时间X~N(μ,12)，试建立该检验的原假设H0与备择假设H1，并写出检验统计量.【解】检验假设为H0：μ=μ0=30，H1：μ≠μ0=30.检验统计量为4.设α和β分别是犯第一类、第二类错误的概率，且H0与H1分别是原假设与备择假设.试求下列概率.（1）P{接受H0|H0不真}；（2）P{拒绝H0|H0为真}；（3）P{拒绝H0|H0不真}；（4）P{接受H0|H0为真}.【解】（1）P{接受H0|H0不真}=β；（2）P{拒绝H0|H0为真}=α；（3）P{拒绝H0|H0不真}=0；（4）P{接受H0|H0为真}=0.5.设总体X~N(μ，22)，是该总体的一个样本值.在显著性水平α下，检验假设H0：μ=μ0=0，H1：μ≠μ0=0.若拒绝域为.试求该检验的显著性水平α是多少？犯第一类错误的概率是多少？【解】有题意，此检验的拒绝域为，即已知拒绝域为，故即又故α=0.01.习题8.21.已知某批矿砂中镍含量(%)X~N(μ，σ2)，μ，σ2均未知.现从一批产品中随机抽取5件，测得其镍含量为3.253.273.243.263.24问是否有理由认为这批矿砂的镍含量的均值为3.25(α=0.01)？【解】按题意，需要检验H0：μ=μ0=3.25，H1：μ≠μ0=3.25.由于σ2未知，选取T=为检验统计量.由表8-3知，原假设H0的拒绝域是.由题意，n=5，经计算，s=0.01304.T的观测值为t0=故应接受H0，即认为这批矿砂的镍含量的均值为3.25.2.为调查黑龙江某地区水稻应用测深施肥技术的效果，随机抽查100块田地，测得氮肥利用率的样本均值=36%.假设我国常年氮肥利用率服从正态分布N(0.33,0.122).试比较黑龙江水稻测深施肥技术氮肥利用率与我国常年氮肥利用率有无显著差异(α=0.05)？【解】该题属于方差已知，对均值的假设检验.提出假设H0：μ=33%；H1：μ≠33%.已知n=100,=36%,α=0.05,查表得计算得故拒绝H0，即认为测深施肥氮肥利用率较以往有显著差异.3.某工厂生产一种零件，标准长度为32.5（单位:mm）.为检验产品质量，现随机从该工厂生产的零件中抽取6件，测得产品长度为：32.5629.6631.0331.8730.0031.64假定产品长度X服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ2未知.问在α=0.01下这批产品是否合格.【解】该题属于方差未知，对均值的假设检验.提出假设H0：μ=32.5；H1：μ≠32.5.已知n=6,α=0.01,查表得计算得=31.13,s2=1.26，故接受H0，即认为这批产品合格.4.某车间采用甲、乙两条不同的生产线生产同一种产品，设两条生产线生产的产品次品率都服从正态分布，方差分别为σ12=0.46，σ22=0.37.现从甲生产线生产的产品中随机抽取25件，测得产品的次品率均值为3.81%，从乙生产线生产的产品中随机抽取30件，测得产品的次品率均值为3.56%.试问在显著性水平α=0.01下，甲、乙两条生产线生产产品的次品率有无显著差异？【解】该题属于方差已知，对两个正态总体均值差的假设检验.设X和Y分别表示甲、乙两条生产线生产的产品的次品率，由题意X~N(μ1,σ12），Y~N(μ2，σ22），且X、Y相互独立.提出假设H0：μ1－μ2=0；H1：μ1－μ2≠0.已知n1=25，n2=30，=3.81，=3.56，σ12=0.46，σ22=0.37，α=0.01.查表知计算得z0=由于|z0|=1.426<2.58.于是接受原假设H0.即认为甲、乙两条生产线生产产品的次品率没有显著差异.5.某地区高考结束后随机抽取15名女生、12名男生的物理试卷，记录其成绩如下：女生494847404455444246565739435153男生464051474336433848544834假定女生、男生物理成绩都服从正态分布，且方差相同.问根据上述成绩能否判定该地区女生和男生物理成绩没有显著差异(α=0.05)？【解】该题属于方差未知，对两个正态总体均值差的假设检验.设X和Y分别表示该地区男生和女生的物理成绩，由题意X~N(μ1,σ02），Y~N(μ2，σ02），且X、Y相互独立.提出假设H0：μ1－μ2=0；H1：μ1－μ2≠0.已知n1=15，n2=12，α=0.05.查表知计算得=47.6，=44，s12=33.543，s22=37.455，sw2=.t的观测值t0=因为|t0|=1.566<2.06.于是接受原假设H0.即认为该地区男生与女生的物理成绩没有显著差异.习题8.31.某食品加工厂用自动包装机包装食盐，假定包装机包装的食盐质量X服从正态分布N(μ，σ2).为检验生产情况，现随机从某天生产的食盐中抽取10袋，测得质量（单位：g）如下：495492510506505489502503512497（1）若已知μ=500，试检验食盐质量的方差是否是25(α=0.05)？（2）若μ未知，试检验食盐质量的方差是否是25(α=0.05)？【解】(1)该题属于均值已知，对方差的假设检验.提出假设H0：σ2=25；H1：σ2≠25.已知n=10，μ=500，α=0.05,查表得计算得故拒绝H0，即不能认为这批食盐质量的方差为25.（2）该题属于均值未知，对方差的假设检验.提出假设H0：σ2=25；H1：σ2≠25.已知n=10，α=0.0,5,计算得=501，s2=7.6372.查表得计算得故拒绝H0，即不能认为这批食盐质量的方差为25.2.已知某种导线的电阻X~N(μ，σ2），其中μ未知，电阻的一个质量指标是标准差不能大于0.005欧.现从一批导线中随机抽取9根，测得样本标准差s=0.006.试问在显著性水平α=0.05下，这批导线的波动是否合格？【解】该题属于均值未知，对方差的假设检验.提出假设H0：σ2≤0.0052；H1：σ2>0.0052.已知n=9，α=0.05，s=0.006.查表得计算得故接受H0，即认为这批导线的波动合格.3.从甲地到乙地有两条不同的行车路线，行车时间都服从正态分布.由于工作需要，某司机在两条路线上各行驶了10次，线路Ⅰ的标准差为20（分钟），线路Ⅱ的标准差为15（分钟）.试问在显著性水平α=0.01下，两条路线上行车时间的方差是否一样？【解】该题属于均值未知，对两个正态总体方差比的假设检验.设X和Y分别表示该司机在线路Ⅰ和线路Ⅱ上的行车时间，由题意X~N(μ1,σ12），Y~N(μ2，σ22），且X、Y相互独立.μ1，μ2，σ12，σ22均未知.由题意，需检验H0：σ12=σ22，H1：σ12≠σ22.已知n1=10，n2=10，α=0.01，s1=20，s2=15.由表8-4知拒绝域为F≤F1-α/2（n1-1，n2-1）=F0.995(9,9)=,或F≥Fα/2（n1-1，n2-1）=F0.005(9,9)=6.54.检验统计量F的观测值为=∈(1.1529，6.54).故接受原假设H0，即认为两条路线上行车时间的方差一样.4.已知甲、乙两台机床加工同一型号的轴承，轴承的内径分别服从正态分布N(μ1，σ12）和N(μ2，σ22）.现在从各自加工的轴承中随机抽取7个和9个，测得其内径（单位：mm）为：甲：20.519.819.720.119.019.920.0乙：20.719.519.620.820.319.820.220.519.9试问在显著性水平α=0.01下，两台机床生产的轴承的内径方差是否相同？【解】该题属于均值未知，对两个正态总体方差比的假设检验.由题意，需检验H0：σ12=σ22，H1：σ12≠σ22.已知n1=7，n2=9，α=0.01.计算得.由表8-4知拒绝域为F≤F1-α/2（n1-1，n2-1）=F0.995(6,8)=,或F≥Fα/2（n1-1，n2-1）=F0.005(6,8)=7.95.检验统计量F的观测值为=∈(0.09，7.95).故接受原假设H0，即认为两台机床生产的轴承的内径方差相同.习题8.41.某超市为了给下次进货提供决策，调查顾客对三种品牌纯牛奶的喜爱程度.一个月内随机观察了150位购买者，并记录了他们的购买品牌，数据见下表：品牌ⅠⅡⅢ购买人数615336问根据上述数据能否判定顾客对三种品牌纯牛奶的喜爱程度没有显著差异(α=0.05)？【解】由题意，提出假设H0：；H1：至少有一个.需要进行的计算如下：品牌ⅠⅡⅢ实际频数fi615336理论频数5050501219196检验统计量的观测值.查表.由于6.52>5.991，所以在显著性水平为0.05下拒绝H0，即认为顾客对三种品牌矿泉水的喜爱程度存在显著差异.2.某实验室每隔一定时间观察一次由某种铀放射的到达计数器上的α粒子数X，试验记录见下表：i01234567891011≥12fi15161726119921210AiA0A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12其中fi是观察到有i个α粒子的次数.问在显著性水平α=0.05下，能否认为粒子数X服从泊松分布？【解】按题意需要检验假设H0：；粒子数X服从泊松分布，即P{X=i}=，i=0，1，2，….由于总体分布中的参数λ未知，所以需要先估计λ.由最大似然估计法得.将试验结果的全体分成13个两两互不相容的事件A0，A1，…，A12.在H0为真时，P{X=i}的估计值为，i=0，1，2，….例如计算结果如下表所示.并对其中理论频数npi＜5的组适当合并，使新的每一组均满足npi≥5，合并后k=8，但由于在计算过程中估计了一个未知参数λ，故检验统计量的观测值=6.281.因为=12.592＞=6.282，所以在显著性水平为0.05下接受原假设H0，即认为总体服从泊松分布.AifiA0160.0150.0781.57.8-1.80.41538A150.0636.3A2160.13213.22.80.59394A3170.18518.5-1.50.12162A4260.19419.46.62.24536A5110.16316.3-5.31.72331A690.11411.4-2.40.50526A790.0696.92.10.63913A8260.0360.0653.66.5-0.50.03846A910.0171.7A1020.0070.7A1110.0030.3A1200.0020.2Σ16.2823.我校某次概率论与数理统计课程考试结束后，随机抽取了150份试卷，成绩统计如下：分数区间人数分数区间人数[30,50)11[70,80)39[50,60)18[80,90)33[60,70)34[90,100]15问在显著性水平α=0.05下，能否认为学生成绩X服从正态分布?【解】按题意需要检验假设H0：学生成绩X~N(μ，σ2).由于总体正态分布中的参数μ和σ2都是未知的，故需要先求μ与σ2的最大似然估计值.由第七章知，μ与σ2的最大似然估计为，.设为第i组的组中值，有，.于是原假设H0可改写成X~N(72，14.715).计算结果如下表所示.检验统计量的观测值=2.40.因为＞=2.40，所以在显著性水平为0.05下接受原假设H0，即认为学生成绩X服从正态分布.分数区间频数fi[30,50)110.0659.7941.2060.15[50,60)180.14020.992-2.9920.43[60,70)340.23935.782-1.7820.09[70,80)390.26139.108-0.1080.00[80,90)330.18327.4085.5921.14[90,100]150.08212.3132.6870.59Σ2.40习题8.51.某工厂生产一种产品，其长度服从正态分布，均值设定为240cm.现从该厂某日生产的产品中随机抽取5件产品，测得其长度如下（单位：cm）239.7239.2240239239.6试用临界值和p值两种方法判断该厂生产的产品长度是否符合设定要求(α=0.05)？【解】该题属于方差未知，对正态总体均值的假设检验.依题意，需要检验H0：μ=240；H1：μ≠240.已知n=5,α=0.05,查表得计算得=239.5,s=0.4，故拒绝H0，即认为该厂生产的产品长度不符合设定要求.下面用p值再做一次检验.此处t0=2.795.p值为p=P{|t|≥2.795}=2P{t≥2.795}=0.0491.由于p值=0.0491<α=0.05，故拒绝H0，结论是相同的.2.通过测定牛奶的冰点可以检测出牛奶中是否掺有水.天然牛奶的冰点温度近似服从正态分布，均值μ0=-0.5450C，标准差σ=0.0080C.牛奶掺水可以使冰点温度升高而接近于水的冰点温度（00C）.某公司欲从一生产商处长期购买牛奶，为检验生产商在牛奶中是否掺水，从一批牛奶中随机抽取了5盒，测得牛奶的冰点温度的均值为-0.5350C.试用p值方法判断该生产商是否在牛奶中掺了水(α=0.05)？【解】按题意，需要检验检验H0：μ≤μ0，H1：μ>μ0.检验统计量的观测值为p值=P{Z≥2.7951}=1-Φ(2.7951)=0.0026.由于p值<α=0.05,故拒绝原假设.即认为该生产商在牛奶中掺了水.习题8.6如果一个矩形的宽度与长度之比为0.618，这样的矩形称为黄金矩形.下面列出某工艺品厂随机取得20个矩形的宽度与长度的比值：0.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.6680.6110.6060.6090.6010.5530.5700.8440.5760.933假设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从于正态分布，利用MATLAB软件检验该工厂生产的矩形是否为黄金矩形.(显著性水平为0.05）【解】输入程序X=[0.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.6680.6110.6060.6090.6010.5530.5700.8440.5760.933];[h,sig,ci]=ttest(X,0.618,0.05,0)输出结果h=0sig=0.0539ci=[0.61720.7038],即可认为该工厂生产的矩形为黄金矩形.用包装机包装某种食品，在正常情况下，每袋的质量为1000g，标准差不能超过15g.假设每袋食品的重量服从于正态分布，某天检验机器工作的情况，从包装好的食品中随机抽取10袋，测得其净重为：1020103096899410149989769829501048利用MATLAB软件检验这天机器是否工作正常（显著性水平为0.05）.【解】输入程序X=[1020103096899410149989769829501048];[h1,p1,ci1]=ttest(X,1000,0.05,0)[h2,p2,ci2]=vartest(x,225,0.05,-1)输出结果h1=0，p1=0.8389，ci1=[976.41.019.6],即可以认为均值为1000g；h2=1，p2=9.4904e-07，ci2=[022.9335],即不可认为不超过15g.故这天机器工作不正常.半导体生产中蚀刻是重要工序，其蚀刻率是重要特征并知其服从于正态分布.现有两种不同的蚀刻方法，为了比较其蚀刻率的大小，特对每种方法在10个晶片上进行蚀刻，记录的蚀刻率如下：方法1:9.99.49.39.610.210.610.310.010.310.1；方法2:10.210.610.710.410.510.010.210.410.310.2利用MATLAB软件完成：在方差相等假设下检验两种方法的蚀刻率是否相等（显著性水平取0.05）；计算（1）的p值；求出平均蚀刻率差的95%的置信区间；检验两样本的方差是否相等（显著性