北师大版九年级数学上册 232 二次函数知识点分类训练（巩固篇）

专题2.32二次函数知识点分类专题训练（巩固篇）（专项练习2）

一、单选题

知识点一、二次函数性质综合

1.已知抛物线y=-x2+l,下列结论：

①抛物线开口向上；

②抛物线与X轴交于点（-1,0）和点（1,0）；

③抛物线的对称轴是y轴；

④抛物线的顶点坐标是（0,1）；

⑤抛物线y=-x2+l是由抛物线y=-x?向上平移1个单位得到的.

其中正确的个数有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

2.对于二次函数炉能*下列说法正确的是（）

/

A.当x>0,y随x的增大而增大

B.当x=2时，y有最大值一3

C.图像的顶点坐标为（-2,-7）

D.图像与x轴有两个交点

3.一次函数了二2丁-3的图像是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（）

A.抛物线开口向下B.抛物线与1轴有两个交点

C.抛物线的对称轴是直线x=lD.抛物线经过点（2,3）

4.对于抛物线y=-2（x+iy+3,下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=l：③顶点

坐标为（-1,3）；④x>-l时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

知识点二、二次函数图像与各项系数符号

5.已知二次函数y=ax?+bx+c（a#））的图像如图所示，下列结论：①abc>0；②2a+b>0；③b?-

4ac>0；®a-b+c>0,其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

6.函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示，有以下结论：

®b2-4c>0：②b+c+l=O；③3b+c+6=0：④当1VXV3时，x2+（b-1）x+c<0.

其中正确的个数为

7.二次函数wl+法+c的图像如图所示，对称轴是直线x=l.下列结论:①而c<0；②3〃+c>0；

〃，为实数）.其中结论正确的个数为（)

C.3个D.4个

8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c（a和）图像的对称轴为x=L与y轴交于点C,与x轴交于点A、

点B（-1,0）,贝I」

①二次函数的最大值为a+b+c；

②a-b+c<0；

③b?-4ac<0：

④当y>U时，・1VXV3,具中正确的个数是（)

知识点三、一次函数、二次函数图像综合判断

9.如图，函数），=6-2工+1和是常数，且。/0）在同一平面直角坐标系的图像可能是

)

11.已知是非零实数，同＞同，在同一平面直角坐标系中，二次函数以=d+版与一次函数

%=以+人的大致图像不可能是（）

12.在同一坐标系中，一次函数丁=-〃氏+〃2与二次函数）,=/+加的图像可能是（).

知识点四、根据二次函数图像判断代数式符号

13.如图，己知二次函数y=ax2+bx+c（a。。）的图像如图所示，有下列5个结论①abc>0：

@b-a>c；@4a+2b+c>0：④3a>-c；⑤a+b>m(am+b)(m¥1的实数).其中正确结论的

C.@®®D.@@@

14.二次函数产aF+bx+c•（存0）的图像如图所示，下列说法错误的是（）

A.血>。B.4ac-b2>0

C.3«+(.-0D.a.x2+bx+(r=n+1无实数根

15.二次函数（g0）的图像如图所示，下列结论：①〃・4“c>0；②a〃cV0；@4a+b

=0；®4a-2b+c>0.其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

16.已知二次函数），=⑪2+云+«4/0）的图像如图所示，现给出下列结论：①出七>0；②

9a+3b+c=0i@b2-4ac<Sax®5a+b+c>0.其中正确结论的个数是（)

C.3D.4

知识点五、二次函数图像的对称性

17.二次函数），=o?+版+«承0）的图像如图，下列结论正确的是（）

B./?2-4t/c<0C.当一1今<3时，y>0D.一丁二1

2a

18.~次函数图像上部分点的坐标对应值列表如下:

X・・・-3-2-I01・・・

y•••-3-2-3-6-11,.,

则该函数图像的对称轴是（）

A.直线x=-3B.直线x=-2C.直线x=・lD.直线x=0

19.如图，已知顶点为（-3,-6）的抛物线产ax?+bx+c经过点（-1,-4）,则下列结论中错

误的是（）

A.b2>4ac

B.ax4bx+cN-6

C.若点（・2,m）,（-5,n）在抛物线上，则m>n

D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和・1

20.在抛物线y=a（x-m-1）2+c（a/））和直线y=-gx的图像上有三点（xi,m）、（X2,m）、

（X3,m）,则X1+X2+X3的结果是（）

31

A.——B.0C・1D.2

22

知识点六、二次函数图像的最值

21.关于二次函数y=；/-6x+a+27,下列说法错误的是（）

A.若将图像向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4,5），则。=-5

B.当x=12时，y有最小值〃-9

C.x=2对应的函数值比最小值大7

D.当〃<0时，图像与x轴有两个不同的交点

22.已知抛物线），=/+⑵〃-6）x+/-3与y轴交于点A,与直线x=4交于点4,当x>2时，y

值随x值的增大而增大.记抛物线在线段A8下方的部分为G（包含A、8两点），M为G上任意

一点，设M的纵坐标为人若d-3,则，〃的取值范围是（）

33

A.m>—B.—<tn<3C.in>3D.1<//z<3

22

23.已知抛物线y=ax?+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x,y轴的交点分别为A,B,P是

其对称轴x=l上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0,②x=3是ax2+bx+3=0

的一个根，③APAB周长的最小值是J历+3及.其中E确的是（）

x=l

y

B

A.①②③B.仅有①②C.仅有①③D.仅有②③

24.如图，抛物线y=・gx2+|>x+2与x轴交于A,B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C,

P为此抛物线对称轴I上任意一点，MAAPC的周长的最小值是（）

A.26B.36C.5石D.亚+y/\3

知识点七、二次函数的解析式

25.抛物线y=ax2+bx+c经过点（3,0）和（2,-3）,且以直线x=l为对称轴，则它的解析式为

（）

A.y=-x2-2x-3B.y=x2-2x-3C.y=x2-2x+3D.y=-x2+2x-3

26.一个二次函数的图像的顶点坐标为（3,-1）,与丫轴的交点（0,-4）,这个二次函数的解析式是

（）

1,1,

A.y=—X--2x+4B.y=——X-+2x-4

33

1,,

C.y=--（x+3）~-1D.y=-x~+6x-12

27.如图是某个二次函数的图像，根据图像可知，该二次函数的表达式是（）

D.y=-x2+x+2

28.如图，抛物线的表达式是（）

C.y=—x2—x+2D.y=—K+x+2

二、填空题

知识点一、二次函数性质综合

29.下列关于二次函数），=-*-机）2+〃/+1（初为常数）的结论，①该函数的图像与函数y=-V

的图像形状相同；②该函数的图像一定经过点（0,1）；③当x>0时，y随x的增大而减小；④该函

数的图像的顶点在函数y=V+l的图像上，其中所有正确的结论序号是.

30.二次函数），=3/+1和y=3（x-1）2,以下说法：

①它们的图像开口方向、大小相同；

②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0,1）；

③当心>0时，它们的函数值1y都是随着x的增大而增大；

④它们与坐标轴都有一个交点：

其中正确的说法有.

31.对于二次函数y=3x?+2,下列说法：①最小值为2：②图像的顶点是（3,2）：③图像与x轴

没有交点；④当xV-I时，y随x的增大而增大.其中正确的是

32.二次函数y=ax?+bx+c（a,b,c为常数，且a*0）中的x与y的部分对应值如表

X-1013

y-1353

下列结论：

①ac<0；②当x>l时，y的值随x值的增大而减小;

③当x=2时，y=5；©3是方程ax2+（b-1）x+c=O的一个根.

其中正确的结论是________（填正确结论的序号）.

知识点二、二次函数图像与各项系数符号

33.已知二次函数y=ax?+bx+c的图像如图所示，对称轴为直线x=l,则下列结论正确的有

①abc>0

②方程ax2+bx+c=O的两个根是xi=-1,X2=3

③2a+b=0

④当x>0时，y随x的增大而减小

34.已知二次函数y=aF一队+c（。0）的图像如图所示，有下列4个结论：①〃儿>0；②AVa+c：

③4a+2Hc>0；④按-4函>0；其中正确的结论有.（填序号）

35.已知二次函数y=以2+^+c•的图像如图所示，对称轴为直线工=1,则下列结论:

①。儿>0；

②方程加+尿+c=0的两根是用=-1,上=3；

③2。+8=0；

®4a2+2b+c<0,

其中正确结论的序号为.

36.二次函数丫=ax'+bx+c的图像如图所示，给出下列说法:

Oab<0；②方程ax?+bx+c=（）的根为\=-1,x?=3；③a+b+c>0；④当x>l时，y随x值

的增大血增大：⑤当y>0时，-l<x<3.其中，止确的说法有（请写出所有止确说法的

知识点三、一次函数、二次函数图像综合判断

37.二次函数y=-x2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=bx+c的图像不经过第一象限.

38.如图是二次函数》=仆2+加+。（。工0）和一次函数）2="“+〃（小工°）的图像，当为>,，x的

取值范围是.

39.平面直角坐标系中，点A(in,n)为抛物线y=aF-(a+\)x-2(a>0)上一动点，当OV

/胫3时•，点A关于/轴的对称点始终在直线y=-x+2的上方，则。的取值范围是

40.宜线y=ax+m和直线y=bx+n在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则抛物线y=ax2+bx+c

的对称轴为

知识点四、根据二次函数图像判断代数式符号

41.二次函数尸加+纵+c的图像如图，对•称轴是直线)=-1,有以下结论：①〃反>。；②4acV

按；@2a-/?=()；®a-h+c>0；⑤9a-3b+c>().其中正确的结论有.

42.已知二次函数)，=公2+区+c(存())的图像如图，有下列6个结论:

①吹V0；

®b<a-c；

③4a+2Z?+c>0：

④2cV3〃；

@a+b<rnCam+b)t(好1的实数)

@2a+b+c>()f其中正确的结论的有

43.已知二次函数y=++c（。工0）的图像如上图所示，给出4个结论：®b2-4«c>0；②

曲c<0；③&/+c>0；④9。+劝+c<0.其中正确的是（把正确结论的序号都填上）.

44.如图，二次函数），=而2+法+c（a#0）的图像经过点（；,（）），对称轴为直线内二一1,下列5个

结论：①时。>0；②a+2/?+4c=0；③2n-〃〉0：④3/?+2c>0：@a-b>in（am-b）,其中

正确的结论为.（注：只填写正确结论的序号）

知识点五、二次函数图像的对称性

45.如果点A（―1,4）、B（“2,4）在抛物线y=a（x—1）2+h±,那么〃?的值为.

46.已知抛物线），=2/+命一1的对称轴是直线工=1,那么〃的值等于.

47.如图，抛物线y=-2x2+2与x轴交于点A、B,其顶点为E.把这条抛物线在x轴及其上方

的部分记为Ci,将Ci向右平移得到C2,C2与x轴交于点B、D,C2的顶点为E连结EF.则图

中阴影部分图形的面积为.

48.已知抛物线y=d+法+c(〃/0)与x轴交于两点，若点A的坐标为(-2,0),抛物线

的对称轴为直线x=2,QU点“的坐标为.

知识点六、二次函数图像的最值

49.当^=时，二次函数y=V-2x+6有最小值__________.

50.当-l<x<3时、二次函数y=x2-4x+5有最大值m,则m=.

51.如图，抛物线y=-x?+2x+3交x轴于A,B两点，交y轴于点C,点D为抛物线的顶点，点

C关于抛物线的对称轴的对称点为E,点G,F分别在x轴一和y轴上，则四边形EDFG周长的最

52.如图，已知抛物线与反比例函数的图像相交于8,且8点的横坐标为3,抛物线与)，轴交于点

C(0,6),A是抛物线的顶点，尸点是x轴上一动点，当出+08最小时，P点的坐标为.

知识点七、二次函数的解析式

53.下表中y与X的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为

X........-1013........

y........0340........

54.如图，平行四边形/WC。中，A4=4,点。的坐标是（（），8）,以点C为顶点的抛物线经过x轴

上的点A，B,则此抛物线的解析式为.

55.如图，已知抛物线y=-x?+bx+c的对称轴为直线x=l,且与x轴的一个交点为（3,0）,那么

它对应的函数解析式是一.

56.如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点A（-3,0）,点B在抛物线上，CB〃x轴，且AB平分

参考答案

1.B

【分析】

根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x地的交点坐标：根据抛物线的对称轴、顶

点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解.

【详解】

①・・・a=-lVO,・•.抛物线开口向下，故本小题错误;

②令y=0,则-x2+l=0,解得xi=l,X2=-1,所以，抛物线与x轴交于点（-1,0）和点（1,0）,故

木小题正确；

③抛物线的对称轴x=-g=0,是y轴，故本小题正确：

2a

④抛物线的顶点坐标是（0,1）,故本小题正确；

⑤抛物线y=-x2+l是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；

综上所述，止确的有②©④⑤共4个.

故选B.

【点拨】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图像与系数关系是关键.

2.B

【详解】

二次函数丁=一!/+14=-!（1-2）2-3,

44

所以二次函数的开口向下，当xV2,y随x的增大而增大，选项A错误；

当x=2时，取得最大值，最大值为一3,选项B正确；

顶点坐标为（2,-3）,选项C错误；

顶点坐标为（2,-3）,抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，

故答案选B.

考点：二次函数的性质.

3.B

【详解】

A、a=2,则抛物线y=2x2-3的开口向上,所以A选项错误;

B、当y=0时，2x2-3=。，比方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，所以B选

项正确；

C、抛物线的对称轴为直线x=0,所以C选项错误：

D、当x=2时,y=2x4-3=5,则抛物线不经过点(2,3),所以D选项错误,

故选B.

4.C

【解析】

试题分析：①

・••抛物线的开口向下，正确；

②对称轴为直线X=-1,故本小题错误；

③顶点坐标为(-1,3),正确；

®Vx>-1时，y随x的增大而减小，

・・・x>l时，y随x的增大而减小一定正确；

综上所述，结论正确的个数是①③④共3个.

故选C.

考点：二次函数的性质

5.D

【分析】

由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴

及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】

①,・,抛物线对称轴是y轴的右侧，

ab<0,

•・♦与y轴交于负半轴，

Ac<(),

/.abc>(),

故①正确；

，②曾〉。，x=-v-<1,

2a

工-b<2a,

A2a+b>0,

故②正确；

③•.•抛物线与x轴有两个交点，

Ab2-4ac>0,

故③正确；

④当x=・1时，y>0,

/.a-b+c>0»

故④正确.

故选D.

【点拨】本题主要考查了图像与二次函数系数之间的关系，二次函数丫=@*2+5*+（:系数

符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确

定.

6.B

【详解】

分析：:函数y=x?+bx+c与x轴无交点，Ab2-4c<0：故①错误.

当x=l时,y=l+b+c=l,故②错误.

:当x=3时，y=9+3b+c=3,/.3b+c+6=0.故③正确.

•••当1VXV3时，二次函数值小于一次函数值，

.,.x2+bx+c<x,/.x2+（b-1）x+c<0.故④正确.

综上所述，正确的结论有③④两个，故选B.

7.C

【分析】

①由抛物线开口方向得到。>o,对称轴在丁轴右侧，得到〃与匕异号，乂抛物线与丁轴正半轴相

交，得到c<（）,可得出访c>0,选项①错误；

②把〃=一勿代入a-b+c>0中得3a+c>0,所以②正确；

③由K=1时对应的函数值<0,可得出a+b+c<0,得到。+。<一力，由。>0,c>0,-b>0,得

至+Z/<0,选项③正确；

④由对称轴为直线户1,即％=1时，y有最小值，可得结论，即可得到④正确.

【详解】

解：①•・•抛物线开口向上，・••♦>（）,

•・•抛物线的对称轴在y轴右侧,•二〃<0,

•・•抛物线与）'轴交于负半轴，

abc>0,①错误；

②当x=-l时，y>0,a-b+c>0,

把〃=一加代入a-6+c>0中得3a+c>0,所以②正确；

③当x=l时，>'<0,・•・〃+/?十c<0,

a+c<-b,

〈a>0,c>0,-/?>0,

・・・(a+c)2v(—6『，BP(a+c)2-b2<0,所以③正确；

④;抛物线的对称轴为直线x=l，

x=l时，函数的最小值为a+8+c,

•••a-¥b+c<anr+mb+c>

即a+方W®〃+b),所以④正确.

故选C.

【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系：二次项系数〃决定抛物线的开口方向和大小.当

。:>0时，抛物线向上开口：当〃<()时，抛物线向下开口；•次项系数8和二次项系数口共同决定

对称轴的位置：当〃同号时，对称轴在V轴左；当〃3b异号时，对称轴在N轴右.常数项c决

定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(o,c).抛物线与X轴交点个数由判别式确定：

△=//-4ac>0时，抛物线与X轴有2个交点；△=〃2—4ac=O时，抛物线与x轴有1个交点；

/=从-4^,<0时，抛物线与x轴没有交点.

8.B

【详解】

分析：直接利用二次函数图像的开口方向以及图像与x轴的交点，进而分别分析得出答案.

详解：①•・•二次函数y=ax2+bx+c(a，0)图像的对称轴为x=I,且开口向下，

...x=l时，y=a+b+c,即二次函数的最大值为a+b+c,故①正确：

②当x=-1时，a-b+c=0,故②错误；

③图像与x轴有2个交点，故b2-4ac>0,故③错误；

④•・•图像的对称轴为x=l,与x轴交于点A、点B(-1,0),

AA(3,0),

故当y>0时，-1VXV3,故④正确.

故选B.

点睛:此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键.

9.B

【详解】

分析：可先根据一次函数的图像判断〃的符号，再判断二次函数图像与实际是否相符，判断正误

即可.

详解：A.由一次函数产a.。的图像可得：«<0,此时二次函数)=加-2计1的图像应该

开口向下.故选项错误：

B.由一次函数产ar-。的图像可得：«>0,此时二次函数产"2-2x+l的组像应该开

口向上，对称轴尸—>0.故选项正确；

2a

C.由一次函数产ax-a的图像可得：«>0,此时二次函数产如2_2x+l的组像应该开

口向上，对称轴户-?>0,和X轴的正半轴相交.故选项错误；

2a

D.由一次函数产at-a的图像可得：a>0,此时二次函数产a/_级+1的图像应该开

口向上.故选项错误.

故选B.

点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图像，解题的关键是熟记一次函数产ar-〃在

不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐

标等.

10.C

【分析】

x=0,求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a>0,然后

确定出一次函数图像经过第一三象限，从而得解.

【详解】

x=0时，两个函数的函数值y=b,

所以，两个函数图像与y铀相交于同一点，故B、D选项错误；

由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，

所以,a>0,

所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限,

所以，A选项错误，C选项正确.

故选C.

11.D

【分析】

h

根据二次函数与一次函数（卬0）可以求得它们的交点坐标为（---，0）或点

G

（1,a+b）,然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图像可以判断”的正负情况，

进一步即可判断言与软的正负情况，进而可得答案.

【详解】

b

y=ax2+hxx=1

解：解方程组:,得：“"I或，

y=ax+by=a+b

y=0

故二次函数y=ax1+bx与一次函数y=ax+b（ct^O）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（-

—,0）或点（1,a+b）.

在A选项中，由一次函数图像可知〃>0,b>0,二次函数图像可知，a>0,b>0,A--<0,

a

a+b>（）,故选项A有可能；

在B选项中，由一次函数图像可知a>0,0V0,二次函数图像可知，a>0,Z?<0,/.-->0,

a

由⑷>1例，贝故选项B有可能；

在C选项中，由一次函数图像可知〃V0,bVO,二次函数图像可知，〃V0,Z?<0,A--<0,

a

a+b<（）,故选项C有可能；

在D选项中，由一次函数图像可知aVO,b>0,二次函数图像可知，a<0,b>0,A-->0,

a

由间>血,则a+bVO,故选项D不可能.

故选D.

【点拨】本题考查二次函数的图像、一次函数的图像，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函

数图像的性质.

12.D

【详解】

试题分析：A.由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，〃2V（）,错误;

B.由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m>0,由直线可知，-m>0,错吴；

C.由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m<0,由直线可知，-mVO,错误：

D.由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m<0,由直线可知，-m>0,正确，

故选D.

考点：1.二次函数的图像；2.一次函数的图像.

13.B

【分析】

由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及

抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可.

【详解】

①对称轴在y轴的右侧，

.,.ab<0,

由图像可知：c>0,

/.abc<0,故①不正确；

②当x=-l时，y=a-b4-c<0,

/.b-a>c,故②正确；

③由对称知，当x=2时，函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,故③正确；

④•・x=---=1,

2a

b=-2a,

a-b+cvO,

/.a+2a+c<0,

3a<-c,故④不正确；

⑤当x=l时，y的值最大•此时，y=a+b+c,

而当x=m时，y=am2+bm+c,

所以a+b+c>an/+bm+c(m¥l),

ifta+b>am2+bm,即a+b>m(am+b),故⑤正确,

故②®⑤正确，

故选B.

【点拨】本题考查了图像与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线

开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的

性质是关键.

14.B

【分析】

根据函数图像确定a、b、c的符号判断A：根据抛物线与x轴的交点判断B；利用抛物线的对称

轴得到b=2a,再根据抛物线的对称性求得c=-3a即可判断C；利用抛物线的顶点坐标判断抛物线

与直线y=n+l即可判断D.

【详解】

由函数图像知4<0,c>0.由对称轴在y轴左侧，a与b同号，得人<0,故abc>(),选项A正确；

二次函数与x轴有两个交点，故4="4心0,则选项B错误，

由图可知二次函数对称轴为4-1,得公：2〃，

根据对称性可得函数与x轴的另一交点坐标为(1,0),

代入解析式y=ax2+bx+c可得c=-3a,

：.3a+c=0f选项C正确；

,二次函数y=ax?+bx+c的顶点坐标为(-1,n),

，抛物线与直线y=n+l没有交点，故D正确；

故选：B.

【点拨】此题考查抛物线的性质，抛物线的图像与点坐标，抛物线的对称性，正确理解和掌握

y=ax2+bx+c型抛物线的性质及特征是解题的关键.

15.B

【分析】

先由抛物线与x轴的交点个数判断出结论①，先由抛物线的开口方向判断出aVO,进而判断出b

>0,再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c>0,判断出结论②，利用抛物线的对称轴为x=2,

判断出结论③，最后用x=-2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论.

【详解】

解：由图像知，抛物线与式•轴有两个交点，

方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，

・・・〃-4“c>0,故①正确，

由图像知，抛物线的对称轴直线为1=2,

：.4a+b=0,故③正确，

由图像知，抛物线开口方向向下，

•••go,

V4«+/?=0,

，》>0,而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

Ac>0,

abc<()，故②正确，

由图像知，当x=-2时，)，<0,

-20+cV0,故④错误，

即正确的结论有3个，

故选:B.

【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与图像的关系.

16.C

【分析】

根据图像可直接判断〃、c的符号，再结合对称轴的位置可判断〃的符号，进而可判断①；

抛物线的图像过点(3,0),代入抛物线的解析式可判断②；

根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于一2,整理后可判断③；

根据图像可知顶点的横坐标大丁1,整理后再结合③的结论即可判断④.

【详解】

解：①由图像可知：a>0,c<0,由于对称轴-丁>0,・•・〃<(),故①正确；

②•・•抛物线过(3,0),...x=3H寸，y=9a+3b+c=0t故②正确；

③顶点坐标为：(一二,由图像可知：士上二生〈一2,♦・%>(),・・・4ac—〃〈-8。，即

I2a4。)4a

护一4ac>8a,故③错误：

④由图像可知：--->I,a>0,/.2u+/?<0,

'：9a+5b+c=0,.•・c=-9a-%，

5a+b+c=5a+b-9ci-3Z?=-4a-2Z?=-2（2a+b）>0,故④正确；

故选：C.

【点拨】本题考查了抛物线的图像与性质和抛物线的图像与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图

像与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.

17.D

【详解】

试题分析：根据二次函数的图像和性质进行判断即可.

解：•・•抛物线开口向上，

a>0

•'-A选项错误，

;抛物线与x轴有两个交点，

/.h2-4">0

・・・B选项错误，

由图像可知，当一l<x<3时，）<0

选项错误，

由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为（-1,0）和（3,0）可知对称轴为工=1

即一1>

・・・D选项正确，

故选D.

18.B

【分析】

根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可.

【详解】

解：・.・x=-3和-I时的函数值都是-3相等，・•・二次函数的对称轴为直线x=-2.

故选B.

【点拨】本题考查二次函数的图像.

19.C

【分析】

根据二次函数图像与系数的关系，二次函数和一元二次方程的关系进行判断.

【详解】

A、图像与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=O有两个不相等的实数根，b2-4ac>0所以b2>4ac,

故A选项正确：

B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为-6,所以ax〃bx+c2・6,故B选

项正确；

C、抛物线的对•称轴为直线x=-3,因为-5离对称轴的距离大于-2离对称轴的距离，所以m<n,

故C选项错误；

D、根据抛物线的对称性可知，(-1,-4)关于对称轴的对称点为(-5,-4),所以关于x的一

元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-I,故D选项正确.

故选C.

【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数

形结合是解题的关键.

20.D

【分析】

根据二次函数的对称性和一次函数图像上点的坐标特征即可求得结果.

【详解】

解：如图，在抛物线y=a(x-m-1)2+c(a和)和直线y=-的图像上有三点A(xi,m)、

B(X2»m)、C(X3,m),

Vy=a(x-m-1)2+c(#0)

・••抛物线的对称轴为直线x=m+l,

,x，+芭i

..———=m+l,

2

X2+X3=2m+2,

VA(xi,m)在直线y=--jx_t,

・1

•・m=--xi,

xi=-2m,

.*.xi+X2+x3=-2m+2m+2=2,

故选：D.

【点拨】本题考杳了二次函数的对称性和一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是利用数形

结合思想画出函数图形.

21.C

【分析】

求出二次函数平移之后的表达式，将（4,5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点

式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根

的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.

【详解】

解：A、将二次函数），一/-61+4+27=!（X-12）2+〃-9向」:平移10个单位，再向左平移2个

44

单位后，

表达式为：y=；（x+2-12『+a—9+10=；（工一10『+〃+1,

若过点（4,5）,

则5=；（4-10『+。+1,解得：a=-5,故选项正确；

1I3

B、Vy=-x2-6x+«+27=-（x-12）+«-9,开口向上，

，当x=12时，y有最小值。-9,故选项正确；

C、当x=2时,y=a+16,最小值为a・9,a+16-（a-9）=25,即x=2对应的函数值比最小值大25,

故选项错误；

D、△=（一6y-4x；x（a+27）=9-a,当aVO时，9-a>0,即方程;/一6工+。+27=0行两个不同的

实数根，即二次函数图像与x轴有两个不同的交点，故选项正确，

故选C.

【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识力、，解题的关键是掌握

二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.

22.A

【分析】

当x>2时，），值随x值的增大而增大，得1=-3<2,由抛物线在线段48下方的部分为G（包含

2a

A、8两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为r>-3,得”匚匕2-3,分三种情况讨论,

4a

当对称轴在y轴的右侧时，有一空心>0,即为一6V0,当对称轴是y轴时，有2*6=0,当

对称轴在y轴的左侧时.，有2机-6>0,从而可得结论.

【详解】

解.：当对称轴在y轴的右测时，

2m-6<。①

-2"通交②

,2,

4"-3）-（2加-6）2,3③

4

由①得:〃?V3,

由②得：〃?21，

由③得：〃此|,

解得：一《"2V3»

2

当对称轴是y轴时，2/?2-6=0,

.•.〃?=3,符合题意,

当对称轴在y轴的左侧时.

2m-6>0

-^<2

2

4（病一3）一（2加一6）2〉§

4

解得m>3,

综上所述，满足条件的〃［的值为，”之^.

故选：A.

【点拨】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图像上的点的坐标特征，解不等式组,

解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题.

23.A

【分析】

①根据对称轴方程求得a、b的数量关系；

②根据抛物线的对■称性知效物线与x轴的另一个交点的横坐标是3；

③利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值.

【详解】

①根据图像知，对称轴是直线x=3=l,则b=-2a,即2a+b=0,故①正确；

②根据图像知，点A的坐标是（-1,0）,对称轴是x=l,则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，

抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3,0）,所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确；

③如图所示，点A关于x=l对称的点是A，，即抛物线与x轴的另一个交点，

连接BA，与直线x=1的交点即为点P,则APAB周长的最小值是（BA'+AB）的长度，

VB（0,3）,Ar（3,0）,

・・・BA，=3忘.即△PAB周长的最小值是3夜+而，

故③正确.

综上所述，正确的结论是：①②③.

故选A.

【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像的性质以及两点之间直线最短.解

答该题时，充分利用了抛物线的对称性.

24.B

【分析】

作点C关于直线1的对称点C，，连接AC交直线I于P,连接PC,则AAPC的周长的最小，根据

抛物线的对称性、二次函数H一元二次方程的关系计算即可.

【详解】

作点C关于直线1的对称点C-连接AC，交直线I于P,连接PC,则^APC的周长的最小，

由抛物线的对称性可知，点C在抛物线上，

当x=0时,y=2,

・••点C的坐标为(0,2),

•••点C的纵坐标为2,

2=--x2+-x+2,

22

解得，xi=0,X2=3,

则点C的横坐标为3,

I、3

--x2+—x+2=0,

22

X|=-l,X2=4,

则点A的坐标为(-1,0),

**.AC-&+22=2逐，AC=J)+2?=5/5,

/.△APC的周长的最小值是3石，

故选B.

【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，掌握二次函数与一元二次方

程的关系、正确利用轴对称作出点P是解题的关键.

25.B

【详解】

试题分析：把已知两点坐标代入抛物线解析式，再由对称轴公式列出关系式，联立求出mb,c

的值，即可确定出解析式.

解：把(3,0)与(2,-3)代入抛物线解析式得：

9a+3b+c=0

4。+2〃+c=-3'

由直线E为对称轴和到一导I,即i

9。-6。+c=0

代入方程组得：

4a-4〃+c=-3'

解得：a=l,b=-2,c=-3,

则抛物线解析式为产小-益-3,

故选B.

26.B

【分析】

由于已知顶点坐标，则可设顶点式产。（x-3）2-1,然后把（0,-4）代入求出。的值即可得到

抛物线解析式.

【详解】

解:设抛物线解析式为产a（x-3）2-1,把（（），-4）代入得：〃・（-3）2-1=-4,解得：«=-1,

所以抛物线解析式为严-g（x-3）2-1=-1x2+Zv-4.

故选B.

【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，

要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.•般地，当已知抛物

线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解：当己知抛物线的顶点或对

称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式

为交点式来求解.

27.D

【分析】

根据开口方向、顶点坐标、对称轴逐项分析即可.

【详解】

A、由图像可知开口向下，故"V0,故A错误；

B、抛物线过点（-1.0）,（2,0）,根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是:，

而），=-；X2—?+2的顶点横坐标是-g,故B错误；

C、y=（工+1的顶点横坐标是一；，故c错误；

D、丁=-/+工+2的顶点横坐标是;，并且抛物线过点(・1,0),(2,0),故D正确.

故选D.

【点拨】本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数产ax?+加+。(小b,。为常数，存0),

当心0时，抛物线开口向上，当火0时，抛物线开口向卜；其对称轴是直线：1=-二；若抛物

2d

线与轴的两个交点是A(.m0),8(x2,0),则抛物线的对称轴是：％=出手.

28.D

【分析】

根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可.

【详解】

解：根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,

抛物线过(-1,0),(0,2),(2,0),

a-b+c=()

所以・c=2,

4a+2b+c=0

解得a=-l,b=l,c=2,

这个二次函数的表达式为y=-x?+x+2.

故选D

【点拨】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，是

比较常见的题目.

29.①②④

【分析】

①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图像形状相同；②求出当”=0时，y

的值即可得：③根据一次函数的增减性即可得：④先求出一次函数y=+加M的顶点坐

标，再代入函数y=/+l进行验证即可得.

【详解】

・・・当利＞0时,，将二次函数)，=--的图像先向右平移m个单位长度，再向上平移4+i个单位长

度即可得到二次函数)，=-(x-机)2+加+1的图像；当机时，将二次函数)，=-/的图像先向左

平移一〃?个单位长度，再向.上平移〉+个单位长度即可得到二次函数22的图像

1y=-(x-m)+fn+1

.,•该函数的图像与函数y=--的图像形状相同，结论①正确

对于y=-(x-m)2+nr+1

当x=0时，y=-(0-in)2+m~+1=1

即该函数的图像一定经过点结论②正确

由二次函数的性质可知，当文式，〃时，y