数学模拟测试卷03（解析）

2022届高考数学•备战热身卷3

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共4（）分。在每小题给出的选项中，有一项符合题目要求。）

1.（2022.河北.模拟预测）已知集合A=｛），|”Y｝,B=｛X\3X<4-2X｝,贝必C"=（）

41414

A.x|-4<x<-^B.<x|-4<x<-^C.或D.R

JJJ

【答案】A

【分析】先求出集舍8,再根据集介的交集运算，即可求出结果.

【详解】因为集合4=｛田）亚-4｝，5=｛x|3x<4-2x）=p-|x<yj>,所以AcB=xI0]｝.

2.（2022・河北•模拟预测）已知复数z=a+加（。，〃cR）,若向+2=〃+i,则2=（）

A.-l+2iB.l+2iC.-l-2iD.l-2i

【答案】A

【分析】利用复数相等的条件求出。、儿即可得到答案.

【详解】因为苗"+2=Z?+i,所以一ai+2=b+i.所以。=-1力=2.所以z=_"2i.

3.（2022.河北•模拟预测）一质点在单位圆上作匀速圆周运动，其位移满足的方程为人=sin2/,其中〃表示

位移（单位：m）,，表示时间（单位：s）,则质点在，=1时的瞬时速度为（）

A.sin2m/sB.cos2m/sC.2sin2m/sD.2cos2m/s

【答案】D

【分析】求出“可求质点在/=1时的瞬时速度，从而可得正确的选项.

【详解】因为〃=sin2f=2sin/・8s/,所以//=2cos/・cos/+2sin/（-sin/）=2cos2/,

所以质点在/=I时的瞬时速度为2cos2m/s.

4.（2022・全国•高三专题练习）在等差数列｛q｝中，4”=〃，《,=〃?，则〃…=（）

A.0B.mC.nD.m-Vn

【答案】A

【分析】选择题可以用特殊值法，简便又快捷.

【详解•】构造等差数列｛4｝使得q=2,%=1,这里切=1,〃=2,于是4”.“=%=。，排除B、C、D.

5.（2022.河北.模拟预测）函数/。）=.「（3怆5+!吆64）叩（X«-肛句）的图象大致是

【答案】B

【详解】由题意可知/（-A）=-x（31g5+llg64严7=-/（x）,

所以函数是奇函数，依据图象排除A和C选项，

由于吗）吟〃乃）5犷.,即吗）>小）,排除D选项，故选R

6.（2022•河北•模拟预测）已知向量M与5的夹角为120。,且万石=一2,向量^满足下=/^+（1-/1»（0</1<1）,

且记向量-在向量值与5方向上的投影分别为X、/+）；+封的最大值为（）

【答案】C

【分析】由数显积的定义得口脚=4,由向量共线定理得。在线段人8上，由〃”8七，得A8_LOC,利

用投影公式计算出/+）'+孙=?印，计算S”加是常数，因此只要|A8|最小即可得由最大，利用余弦定理

和基本不等式可得结论.

【详解】由£$=问恸cos120。=-2得问-=4,

设面=£，OB=b,OC=c，因为d=/l万+（1-/1）方（0</1<1）,由向量共线定理知C在线段上，如图,

设<a,c>=a,则<b,c>=120°-a,

因为4=所以阿?|cosa=WRcos(120。一a),即BJcosa=忖8$(120。一a),

故2在"方向上的投影与B在"方向上的投影相等，因此OC_LA8,

乂1=Hcosa,y=cos(120°-a],所以/+/+冷,=cos2a+口"cos2(120°—a)+,「cosacos(120°-a),

又cos2a+cos2(l20°-a)+cosacos(l20°-a)=cos2a+(一■cosa-i--sina)2+cos。(一,cosa+立sina)

2222

■>1ox/3.3.,1x/3.3

=CDS-a+—cos'a----sinacosa+—sin-a——cos-a+——sinacosa=—»

424224

所以f+y2+母=；用,

S9,即卜inl2()o=立X4=>A为常数,因此要使得口最大,只要M最小,

2

由余弦定理|48『=/2+|邛_2邮际120。=@+用+郦22四+|丽卜12,当且仅当W=H时等号成立,

所以的最小值为26，因此口r的最大值为2［s前=1,

故工-+),+孙=:卜|的最大值为三.

4114

7.(重庆市西南大学附属中学校2021-2022学年高二下学期第三次月考数学试题)已知数列｛〃"｝满足q=-；,

a：+2a“—2aM=0,则下列结论错误的是()

A.｛可｝是单调递增数列B.存在〃wM,使得巴>。

111cl39

C-----+-----+••-+-----=-2-----D.

4+24+24+2凡tHi

【答案】B

【分析】根据%=；《,(4+2)=；(q+1『-；可推导得到当％式-2,0)时，­<0,结合4可求得

乙乙乙

生£一；‘°》由此可得——q=">。，知AB正误；由《=f：+2)=::，采用裂项相消法

L."1a八4TzJu/iun^2

可知C正确；根据递推关系式计算出为即可知D正确.

［详解】对于A,由a；十2%-2am=0得：++2)=；(4+I)、1,

乙乙乙乙

••・牝£(一2，°)时，4,+1<0;

QL；e(-2,0),二.生€(-;,0上(-2,0),-g,。上(-2,0),依次类推可得：ane-g，。

「q=gd>。，•.・｛〃”｝是单调递增数歹|」，A正确;

对于B,由A中推导可知：a.c",。｝.•.不存在〃eM,使得勺"B错误;

对于C,由〃向=；4；+%=安％得:--1-=----2---=-----2----=--1----1-

%川d+24%&+2）4,勺+2

-1-=--1---1

c正确;

…cI121113,%△/”二卫,D正确.

对于D，由凡+|=彳。+&，％=-彳z得a：%=£一3=一£

/ZoZo-2{8J8128

8.（2022・河北•模拟预测）已知凡是方程/（x）=e'+.L2的零点（其中e=2.71828…为自然对数的底数）,

下列说法错误的是（）

2r

A.x0e（0,1）B.ln（2-.%）=%C.^0~^>eD.x（）-e'°<0

【答案】C

【分析】根据给定条件确定与所在区间，再逐一分析各个选项艮J可判断作答.

【详解】函数/（x）=e'+x_2在R上单调递增，而/（0）=e°_2=_l<0,f（L）=J+L-2=^-l>0,

而为是方程〃x）=e'+x-2的零点，则Xo£（O,g）,即天e（0,l）,A正确;

由f（%）=0得：2-%=小，整理得：ln（2-x0）=x0,B正确；

因0<Xo<g,2-x0>l,则x02-%<],C不正确;

11ry

因0<x0<7,则有工。_入。9-12“、D正确.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）

9.（2022・河北•模拟预测）下列函数中，以兀为最小正周期，且在（泉力上单调递减的为（）

A.y=cos2xB.尸忖间C.J=|COSA|D.），=向乂

【答案】BD

【分析】根据图象的周期变换和翻折变换作出函数图象，然后可得.

【详解】作出函数y=cos2x的图象，如图显然A错误；

作函数），=卜皿耳图象，如图2,故B正确；

作函数丁二上曲目图象，如图4,故D正确.

10.(江西省新余市2021-2022学年高一上学期期末数学试题)下列命题是真命题的为()

A.V«G(0J)U(1,+OO),函数/(x)=〃i+log“x+2恒过定点2)

B.若c>a>b>0,贝ij---->--

c-ac-b

C.已知一个样本为：1,3,4,a,7,且它的平均数是4,则这个样本的方差是4

D.数据170,168,172,172,176,178,175的60%分位数是175

【答案】BCD

【分析】求出函数Ax)的图象所过定点即可判断A;利用作差法比较，可判断B;根据平均数求出a,即可求

得方差，可判断C将数据170,168,172,172,176,178,175从小到大排列，求得其60%分位数,即可判

断D.

【详解】因为a°=l，】og“l=0,故/⑴=a°+log“l+2=3,

故为w(0」)UQ，y),函数/(另=4+1吗/+2恒过定点(1,3),故A错误；

ab(a-b)c〜，八与。b(a-b)c、八

--------7=7--------工，由于故----------=~---------»

c-ac-b(c-a)(c-b)c-ac-b(c-a)(c-b)

W—故B正确；

c-ac-b

样本为：I,3,4,a,7,且它的平均数是4,即l+3+4+a+7=20,a=5,

其方差为］(1-4)2+(3-4)2+(4—4f+(5-4)2+(7-4)」=4,故C正确：

数据170,168,172,172,176,178,175从小到大排列为：168,170372,172,175,176,178,

而7x60%=4.2，故这组数据的60%分位数时175,故D正确，

11.(2022•河北•模拟预测)下列结论正确的有()

A.若Ioga3<1,则4>3

B.若〃=sin,,Z?=-log2sin-,。=？〜'%，贝

C.若封。0,2'=18,=9"，则上一y=i

D.若“二见21,b=—,。=史^,则avcv〃

2e3

【答案】BCD

【分析】对于A,分”>1和0<〃<1两种情况分析判断即可，对于B,利用指数函数、对数函数和三角函数

的单调性判断，刈于C,令2'=⑻=9寸=/>0,贝口=1也/，)'=1。&8/，町'=1%/，则1陶八1%8，=1陶/，

化简，再求工一丁可得答案，对于D,构造函数/(x)=—£(x>0),由导数判断函数的单调性，然后利用单

调性比较大小

［详解】对于A,当a>1时，由log“3<1,得log“3<log",则a>3,当0<”1时，由log”3<1,得log.3<log(ja,

则a<3,因为所以0<a<l,综上，a>3或0<”1,所以A错误，

对于B,因为所以0<sin?vsin£=：,所以log?singvlog?：=T,所以一logasin：〉1，因为

36362323

-gv-sin；<0,所以2T<2-4<2°=1，<2%<1，所以sing<g<<2巧<1<-log^sin；,所

以Z>>c>a,所以B正确，

对干C,令2*=18'=94=r>0,则工=1082，，)=1。8|」，◎=1。29，，所以log?，/。弓/=log/，所以

g出也/.Tnliot】g21gl8

lg2lgl8Ig9lg9

所以-g……鲁-黑・噌沪二呼.喏得卡喂"所以C正

1g21g18Ig21gl8lg9Ig21gl8Ig9lg9

确，

对于D,令小)=(则八M野心。)，

当0<x<e时,/V)>o,当Q>e时,r(x)<0,所以在(0,e)上递增，在(e,+00)上递减,因为e<3<4,

所以八e)>〃3)"⑷,所以*哈平

…“In42In2In2.1In3In2,广广…一十皿

因为一1=---=——,所以一〉一丁〉二~，所以avcvb,所以D正确.

442e32

12.(广东省汕头市2022届高三上学期期末数学试题)在棱长为1的正方体/SCO-AMG。中，M为底面

4BCD的中心，咏=/lRX，/lw(0,l),N为线段AQ的中点，则()

DiCi

A.CN与QM共面

B.三棱锥A-OMN的体积跟4的取值无关

C.义=!时，过A,。，M三点的平面截正方体所得截面的周长为逑区叵

33

D.4」时，AM1QM

4

【答案】ABC

【分析】由M，N为ACMQ的中点，得到MN//CQ,可判定A正确；由N到平面/WCO的距离为定值方,

且AAOM的面积为定值;，根据匕­匕“W，可得判定B正确，由4=9时，得到4Q,M三点的正方体

43

的截面4CEQ是等腰梯形，可判处C正确；当a=:时，根据AV^+AQ'AQM?,可判定D不正确.

【详解】在AACQ中，因为M,N为ACA。的中点，所以MNOCQ,

所以CN与QM共面，所以A正确；

由匕-小"v=V-”，因为N到平面4BC7）的距离为定值J，且AAOM的面积为定值;，

所以三棱锥A-OMN的体积跟2的取值无关，所以B正确：

当儿=；时，过AQ,M三点的正方体的截面ACEQ是等腰梯形，

所以平面截正方体所得截面的周长为/=拒+，+2乂，71=迪早叵

所以C正确；

当儿=；时，可得AM?=g,AQ2=]+^=K，QM2=（g）2+（；）2二段，

则山小+402＞。/，所以AM_LQM不成，所以D不正确.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.（2022•河北模拟预测）己知向量3=（1,〃?），5=（3-2）,且（2Z+B）_LB,则〃?=.

19

【答案】—54.75

4

【详解】因为3=（1,m），^=（3,-2）,所以6+B=2（1,〃Z）+（3,-2）=（5,2〃z-2）,因为（2。+/；）_U；,所以

（2a+Z；）­Z；=5x3+（2，〃—2）x（—2）=0,解得加=弓.

14.（2022・河北♦模拟预测）如果函数），=〃x）同时满足下列两个条件：①函数图象关于直线x=2对称；②

函数图象关于点（4,0）对称，那么我们称它为“点轴对称型函数”.请写出•个这样的“点轴对称裱数“/（"=

【答案】Asin-x(A*0)或Acos(tx+1)(A=0)

442

【详解】根据题意，设/(x)=Asin®x+e)(AH0),

卜sin焉(2<…w+6?篙)=±1，即2/+e='+A;r,AGZ

由干/（力的图象关于直线x=2对称，且关于点（4,0）对称，则＜

4co+(p=k7i,keZ

当七二1时，解得：3=?,夕=0,所以/（x）=Asin.NA/0）或/（"=Acosgx+giA*（））.

15.（2022•河北•模拟预测）已知过椭圆七：'+看=1（〃a5）上的动点〃作圆C（C为圆心）：V-2x+9=0

的两条切线，切点分别为A8,若4。的最小值为与，则椭圆E的离心率为.

【答案】g

【详解】由椭圆E方程知其右焦点为（1,0）；由圆。的方程知：圆心为。（1,。），半径为1；

当乙46最小时，则ZACQ最小，即NACP=q,此时|PC|最小;

此时cos4CP=^=向《，,•.|P^inin=2；

,••P为椭圆右顶点时，1Pqmin=源一1=2,解得：〃z=9,

二椭圆后的离心率€=，［==.

16.（2022•浙江浙江•高三阶段练习）如图，点尸是半径为2的圆。上一点，现

将如图放置的边长为2的正方形4BCO（顶点A与P重合）沿圆周逆时针滚动.

若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，

称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点尸的位置时，正方形滚动了

轮，此时点4走过的路径的长度为.

【答案】3；（&+2）-

【详解】正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为BfCfOfA,

顶点两次回到点夕时，正方形顶点将圆周正好分成六等分，

由4和6的最小公倍数：3x4=2x6=12,所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮.

这一轮中，点A路径A是圆心角为半径分别为2,20，2的三段弧，

故路径长/=工.(2+2夜+2)=巫生，

63

・••点A与夕重合时总路径长为(6+2)屋

四、解答题(本题共6小题，共70分。第17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤。)

17.(2022•云南・昆明一中高一期末)如图，已知直线”4,A是44之间的一定点，并且点4到44,的距

离分别为四和2AC分别是直线//上的动点，且/=设=f(x)=ABAC.

(1)写出关于式的函数解析式/(-v)；

⑵求函数八x)的最小值及相对应的x的值.

2&

【答案】(1)"幻=X€(0.勺；(2)x=g时，/⑶2=8c.

sinxcos(x+—)3O

6

【解析】(1)依题意，DE1％,而“〃2,ZABD=x,NZMC=1,则/CAE=兀―2一(1一1)=,

J326

由N8AC=。知，点从。在直线OE同侧，NABRNCAE均为锐角，则有

/J26

2AC=-则./•(%)=48AC=

在RtA45O中，AB=-一，在Rl^ACE中,sinx/兀、

sinxcos(x+—)’COS(X4--)

所以f[x}=ABAC=--

xe(0,—).

sinxcos(x+—)

「,、_2V22x/285/2

(2)由⑴得：八刈=而"二T

—sin2x+-cos2x--2sin(2x+^)-l

——sinxcosx——sin-x

224446

因xw(0,，，即2x+gw(，,学)，当2%+丁=彳，即"时，sin(2x+w)取最大值1,所以/。濡=8^5.

18.(山东省烟台市2022届高三一模数学试题)己知等差数列｛见｝的前八项和为S.，&=9,a=15.

⑴求｛叫的通项公式;

（2）保持数列｛4｝中各项先后顺序不变，在《与c.（4=12…）之间插入力•个1,使它们和原数列的项构成一

个新的数列｛4｝,记也｝的前〃项和为小求小的值.

【答案】（1）〃“=2〃+1；（2）142.

【解析】⑴设｛〃“｝的公差为d,由已知《+3”=9,3q+3d=15.

解得q=3,d=2.所以%=2:+1；

⑵因为％与％。=1,2,…）之间插入/个1，

所以处在｛包｝中对应的项数为〃="21+22+23+―+21=%+马2=2人+"2,

1—2

当攵=6时，2人+攵一2=68，当仁7时，2衣+"2=133，

所以4=%，a产％3,且49=%=，一=。00=1.

因此7；oo=S6+(2xl+22xl+23x|—…+25xl)+32xl=qx(3+13)+^^+32=142.

19.（2022•北京一七一中高三阶段练习）如图,在四棱锥A8co中，

底面A8c。是正方形，侧棱底面ABC。，PD=DC,E是PC的中

点、，作EF上PB交PB于点F.

（1）.证明：Q4〃平面£D8；

（2）证明：上平面EFD；

（3）求二面角8-。r一C的余弦值.

【答案】（I）证明见解析；（2）证明见解析：（3）cos半

【解析】（1）如图所示建立空间直用坐标系，。为坐标原点，设力C=〃.

（1）证明：连接AC,AC交8。于G,连接EG.

依题意得A（。，。，。），P（0,0,。耳吟沙

•・•底面人8C。是正方形,

・・・G是此正方形的中心，故点G的坐标为且

PA=(«,0,-«),EG=^|,0,-yl.

PA=2EG，故取〃EG.

而EGu平面EDBK以C平面EDB,:.布〃平面£。/工

(2)依题意得8(小a,0),方=Wa,-a

B

x

又PB-DE=0+———=0.

k22J22

・•・PB±DE.

由已知£/口_尸3,JiEFC\DE=Ef所以03J_平面EFD

（3）没点尸的坐标为（助加，zo）,即=2P*,

则(w,yoyzo-a)=A(a,a,-a).

aa

从IHJxo=入a,yo=入”,Zo=(1-A)a.所以FE=一玉），万一如耳一飞

由条件知，说.刖=0，

即一7a2+g-4〃2-。一；）。2=0,解得2=g

.（CJa2ay「-=r-=（aa2a）

，点厂zt的坐标为,且"=

易知46,8/）,46_12。,又8力口叨二。，

TII

所以4GL平面FDB,故AG=0）是平面BDF的法向量,

设平面CDb的法向量;;=（x,y,z），又反=（0,。，0），

n-DC=ay=0

所以令z=l,则y=0,x=-2,z=l,所以：=(一2,0,1)，

一”n-AG1VK)

所以cos<〃,4G>一:一—--7T-------*

HIIAGI当65

故二面角3-OF-C的大小为cos叵

5

20.（2022・广东江门•模拟预测）浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”

的美誉.东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东帝村一棵树龄约120多年的野杨梅树，经过东乔村和白龙布村

村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水

土，增加山区经济收入具有枳极意义.根据多年的经验，川以认为东魁杨梅果实的果径乂（单位：

mm）,但因气候、施肥和技术的不同，每年的〃和。都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘

下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.

(1)用频率分布直方图估计样本的平均数元近似代替〃，标准差S近似代替。，已知s=0.3.根据以往经验,

把果径与〃的差的绝对值在2b内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗

不是"标准果''的概率；(结果精确到0.01)

(2)随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.

现该农场有--款“9A20”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏

果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据，知若采用A款包装盒，成本元，且每盒

I-J,/=1,2,3,4

出现坏果个数4满足。("，)=[=。，若采用8款包装盒，成本当元，且每盒出现坏果个数，7满

167

0,i=5,6,…,20

足PS=i)~^(2)J=1，2,3,(/〃为常数)，请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得

0./=0,4,5.6,­■­,20

更大利润？

参考数据：36.2x0.2+36.4x0.254-36.6x0.7+36.8x0.8+37x1.1+37.2x0.8+

37.4x0.65+37.6x0.4+37.8x0.05+38x0.05=185；X<//+<T)=0.6826；

P(;/-2o-<X<x/+2o-)=0.9544；尸(〃一3。KXK〃+3。)=0.9974；0.954419®0.412;0.9544沙P0.393.

【答案】(1)0.38；(2)当c用3时，采用两种包装利润一样，当叫「叼3、时，采用8款包装盒，当。七(3引时，

采用A款包装盒.

【解析】(1)由题意得：7=185x0,2=37，所以〃=37,b=s=0.3,则〃-2cr=37-0.6=36.4,

〃+2。=37+0.6=37.6,所以2(36.4WXW37.6)=0.9544.设从农场中摘取20颗果，这20颗果恰好有一颗

不是“标准果”为事件4，则P(A)=x(1-0.9544)x0.954419=20x0.0456x0.412«0.38

Q）由!〃?+!〃?+：,〃=1,解得：〃!=?,所以户①=1）=&（，1,i=l,2,3,采用A款包装盒获得利润的数学期

24877V27

曾+3小曾一147

望耳=80-4E《）-a=80-4xlx1+2x----a

⑴⑴⑴2

采用8款包装盒获得利润的数学期望4=80-4£（〃）-'=80-4、lx^+2x|+3xl_'=半_/,

/1475168n但3

4k--«=----a.1解1得：a=-.

2772

（....「,1475168A”曰（3'

由于令----a>-------a，解得：不5»

27712」

,14751685gF.31

令一^--a<----at解得：ae1,-,

乙//一乙）

故当4=1时，采用两种包装利润一样，当时，采用8款包装盒，当〃c（|，5时，采用A款包装

盒.

2L（2。22•河北唐山一模）己知椭圆C'A">。）经过点闯，离心率为《

（1）求椭圆C的方程；

⑵如图，椭圆。的左、右顶点为A，4,不与坐标轴垂直且不过原点的直线/与C交于M,N两点（异于A,

4）,点M关于原点0的对称点为点P,直线4户与直线人N交于点Q,直线④与直线/交于点R.证明:

点R在定直线上.

22

【答案】（1）工+工=1；（2）证明见解析•.

43

■1+I9=1,.

a24b2a2=422

【解析】（I）由题意知，\1।,解得L，°,故椭圆c的方程为x工+v4=1.

,13=343

1__2=7

a-4

（2）设N（x2,y2）,则）.

直线，的方程为“=叩+",其中〃卜〃=0且〃工±2,

22

将刀=冲+八代入椭圆。：?+（=1,整理得（3>+4）9+6〃〃?），+3〃2-12=0,

-6〃"？3/r-12

由A>0与韦达定理得:3病一/?+4>0,

由(1)知:A(-2.0),4(2,0),

设。(毛，邦)，由A、P、。三点共线得:含=/，由仆M