2023年高考全国乙卷数学(文)真题（解析版）

第1页/共21页2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学 【答案】C【解析】【分析】由题意首先化简2+i2+2i3，然后计算其模即可.【详解】由题意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i，故选：C.2.设全集U={0,1,2,4,6,8}，集合M={0,4,6},N={0,1,6}，则MðUN=()【答案】A【解析】【分析】由题意可得ðUN的值，然后计算MðUN即可.【详解】由题意可得ðUN={2,4,8}，则MUðUN={0,2,4,6,8}.故选：A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积A.24B.26C.28D.30【答案】D【解析】第2页/共21页【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.点H,I,J,K为所在棱上靠近点B1,C1,D1,A1的三等分点，O,L,M,N为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD一A1B1C1D1去掉长方体ONIC1一LMHB1之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，故选：D.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得上A的值，最后利用三角形内角和定理可得上A的值.【详解】由题意结合正弦定理可得sinAcosB一sinBcosA据此可得cosA=0,A=，第3页/共21页故选：C.5.已知f是偶函数，则a=()A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.故选：D. 【答案】B【解析】【分析】方法一：以为基底向量表示,，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos上DEC，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以为基底向量，可知方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得第4页/共21页故选：B.7.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x,y)1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域{(x,y)|1≤x2+y2≤4}表示以O(0,0)圆心，外圆半径R=2，内圆半则直线OA的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角结合对称性可得所求概率.故选：C.第5页/共21页8.函数f(x)=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是()A.【答案】B【解析】【分析】写出f,(x)=3x2+a，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】f(x)=x3+ax+2，则f,(x)=3x2+a，若f(x)要存在3个零点，则f(x)要存在极大值和极小值，则a<0， 且当时，f,当故f(x)的极大值为极小值为，故选：B.9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为()第6页/共21页A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据古典概率模型求出所有情况以及满足题意得情况，即可得到概率.【详解】甲有6种选择，乙也有6种选择，故总数共有6×6=36种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有A=30种，则其概率为，故选：A.10.已知函数f(x)=sin(①x+φ)在区间单调递增，直线x=和为函数y=f(x)的图像的两条对称轴）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x=—即可得到答案.【详解】因为f(x)=sin(①x+φ)在区间单调递增，故选：D.第7页/共21页 【答案】C【解析】【分析】法一：令x-y=k，利用判别式法即可；法二：通过整理得(x-2)2+(y-1)2=9，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设x-y=k，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令x-y=k，则x=k+y，代入原式化简得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4=0，因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0，故x-y的最大值是，法二：x2+y2-4x-2y-4=0，整理得(x-2)2+(y-1)2=9，法三：由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x-2)2+(y-1)2=9，设x-y=k，则圆心到直线x-y=k的距离k|≤3，故选：C.12.设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()B..(-1,-4)【答案】D【解析】【分析】根据点差法分析可得kAB.k=9，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，第8页/共21页逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB的中点因为A,B在双曲线上，则两式相减得所以kAB.k=.对于选项A：可得k=1,kAB=9，则AB:y=9x-8，(-2×72)2-4×72×73=-288<0，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得k=-2,kAB=-，则AB:y=-所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得k=3,kAB=3，则AB:y=3x由双曲线方程可得a=1,b=3，则AB:y=3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：k=4,kAB=，则AB:y=第9页/共21页故选：D.)在抛物线C：y2=2px上，则A到C的准线的距离为.【答案】【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为最后利用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.【详解】由题意可得2=2p×1，则2p=5，抛物线的方程为y2=5x，准线方程为，点A到C的准线的距离为.故答案为：.14.若θ∈,tanθ=，则sinθ-cosθ=. 【答案】-【解析】【分析】根据同角三角关系求sinθ,进而可得结果.又因为tanθ=，则cosθ=2sinθ,且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，解得sinθ=5或sinθ=-（舍第10页/共21页故答案为：.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.【详解】作出可行域如下图所示：z=2x-y，移项得y=2x-z，联立有解得，设A(5,2)，显然平移直线y=2x使其经过点A，此时截距-z最小，则z最大，故答案为：8.16.已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA丄平【答案】2【解析】【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.【详解】如图，将三棱锥S-ABC转化为直三棱柱SMN-ABC，设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，则可得，设三棱锥S-ABC的外接球球心为O，连接OA,OO1，则OA=2,O第11页/共21页因为OA2=OO+O1A2，即4故答案为：2.【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB=b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为)．试验结果如下：试验序号i123456789伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536记zi=xi-yi(i=1,2,...,10)，记z1,z2,...,z10的样本平均数为z，样本方差为s2.（1）求z，s2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显第12页/共21页著提高（如果则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出x,y，再得到所有的zi值，最后计算出方差即（2）根据公式计算出的值，和z比较大小即可.【小问1详解】z=x-y=552.3-541.3=11，zi=xi-yi的值分别为:9,6,8,-8,15,11,1故s2=(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2=61【小问2详解】所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11,S10=40.（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Tn.第13页/共21页【解析】【分析】（1）根据题意列式求解a1,d，进而可得结果；（2）先求Sn，讨论an的符号去绝对值，结合Sn运算求解.【小问1详解】设等差数列的公差为d，【小问2详解】*，nn277-)-BP,AP,BC的中点分别为D,E,O，点F在AC上，BF丄AO.（1）求证：EF//平面ADO；【答案】（1）证明见解析第14页/共21页【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）作出并证明PM为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.【小问1详解】连接DE,OF，设AF=tAC，则解得，则F为AC的中点，由D,E,O,F分别为PB,PA,BC,AC的中点，于是DE//AB,DE=AB,OF//AB,OF=AB，即DE//OF,DE=OF，则四边形ODEF为平行四边形，EF//DO,EF=DO，又EF丈平面ADO,DO平面ADO，所以EF//平面ADO.【小问2详解】过P作PM垂直FO的延长线交于点M，因为PB=PC,O是BC中点，所以PO丄BC，所以BC丄平面POF，又PM平面POF，所以BC丄PM，又BC∩FM=O，BC,FM平面ABC，所以PM丄平面ABC，即三棱锥P-ABC的高为PM，第15页/共21页20.已知函数（1）当a=—1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程.（2）若函数f(x)在(0,+∞)单调递增，求a的取值范围.【解析】【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即f,(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立，整理变形可得(x+1)ln(x+1)≥0在区间(0,+∞)上恒成立，然后分类讨论a≤0,a≥,0<a<三种情况即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】当a=1时，f第16页/共21页【小问2详解】由函数的解析式可得满足题意时f,(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立.此时g(x)<g(0)=0，不合题意;即g,(x)在区间(0,+∞)上单调递增，所以g,(x)>g,(0)=0，g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，g(x)>g(0)=0，满足题意.当时，h,<0,h在区间上单调递减，即g,(x)单调递减，综上可知：实数a得取值范围是.【点睛】方法点睛：（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法①函数在区间(a,b)上单调，实际上就是在该区间上f,(x)≥0(或f,(x)≤0)恒成立.第17页/共21页②函数在区间(a,b)上存在单调区间，实际上就是f,(x)≥0(或f,(x)≤0)在该区间上存在解集.（1）求C的方程；（2）过点(2,3)的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中点为定点.（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列式求解a,b,c，进而可得结果；（2）设直线PQ的方程，进而可求点M,N的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.【小问1详解】由题意可得解得所以椭圆方程为.【小问2详解】由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1),Q(x2,y2)，联立方程+3，消去y得：x2+8kx+16因为A(2,0)，则直线AP:y=第18页/共21页同理