数学-湖南新高考教学教研联盟2025届高三下学期第一次联考试卷+答案

2025届新高考教学教研联盟高三第一次联考2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|-1≤lnx≤2},B={2,5,9},则A∩B=A.{2}B.{2,5}C.{5,9}A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.若甲组样本数据x₁,x₂,…,xn(数据各不相同)的平均数为5,乙组样本数据3x₁+a,3文2+a,…,3x,+a的平均数为12,则下列说法错误的是B.乙组样本数据的方差是甲组样本数据方差的9倍C.两组样本数据的中位数可能相等D.两组样本数据的极差可能相等A.2B.4数学试卷第1页(共5页)6.已知f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+3,且f(2)=3,则f(2025)的值为A.6072B.6075C.6078点F到其中一条渐近线的距离为1,且满足β=5α,则双曲线C的焦距为AA8.已知f(x)=x²e²+a|x|e+2(a∈R)有4个零点，则实数a的取值范围为二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)A.C的离心率为B.△PF₁F₂的周长为5C.|PF₁|的最大值为3D.|PF₁I²+|PF₂I²的最小值为810.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c²=b(a+b),则A.c<b11.如图，一个三角形被分成9个房间，称有公共边的2个房间为相邻房间，一个小球每次从一个A.将2个小球放至不同的房间，则房间不相邻的概率为C.小球从房间C出发，4次移动后到达房间H的移动路径有6种D.小球从房间C出发，20次移动后到达房间H的概率为三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.若函数f(x)=|ln(x+a)|在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是13.若函数f(x)=sinwx+√3coswx在(0,π)内有2个零点，则w的最大值为14.将一个圆锥整体放人棱长为2的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内，圆锥的轴线与容器的数学试卷第2页(共5页)15.(本小题满分13分)某市统计了2024年4月的空气质量指数(AQI),将其分为[0,50],(50,100),(100,150),a(2)从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率；附：x²=(a+b)×ctd×(a+e)×(b+d)'(3)若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值α附：x²=(a+b)×ctd×(a+e)×(b+d)'月份空气质量合计不达标合计α数学试卷第3页(共5页)16.(本小题满分15分)△PAD,且平面PAD⊥平面BAD.当△PAB面积最大时：(2)求二面角A-PD-B的余弦值.数学试卷第4页(共.5页)18.(本小题满分17分)抛物线E:y²=2px(p>0)的焦点为F,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(xs,y₃)是E上的三个点，直线值为3.19.(本小题满分17分)(2)将a₁,a₂,…,a₂025随机填入45×45的方格表中，证明：对任意某行，不存在其它的行或列，使其各自所有数之和相等；(3)将a₁,az₂,…,a₂025所有任意两项的算术平均数按从小到大的顺序排列，得到的新数列的前数学试卷第5页(共5页)2025届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学参考答案123456789BCCDBADC一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)2.C【解析,则z-=(2-i)-(23.C【解析】由sinθ=0,取θ=0,则非零向量a,b同向共线，显然|a+b=|a-b|不成立.反之，如果|a+b|=a-b|成立，两边平方得到cosθ=-1,故sinθ=0成立.所以“sinθ=0”是“|a+b=|a|-|b|”的必要不充分条件.4.D【解析】对于选项A,由题意可知3×5+a=12,a=-3,故A正确；对于选项B,乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的3²=9倍，故B正确；对于选项C,设甲组样本数据的中位数为m,则乙组样本数据的中位数为3m+a,当时，m=3m+a,所以两组数据的中位数可能相等，故C正确；对于选项D,不妨设x₁<x₂<…<x,,则甲组数据的极差为x₀一x₁,乙组数据的极差为(3x+a)-(3x₁+a)=3(x-x₁),又因为甲组数据各不相同，所以两组数据的极差不相等，故D错误.tan80°tan20°)-3tan80°tan20°6.A【解析】由f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+3=所以f(n+1)=f(n)+f(1)+3=f(n)+3,故f(n)=f(1)+3(n-1)=3n-3,7.D【解析】根据点F到其中一条渐近线的距离为1,可得b=1,且满足β+a=π,又β=5a,,故a=√3,c=2,8.C【解析】令|x|e²=t,则x²y=|x|e²其图象如图所示：,,时时时，一个t对应3个不同的x,一个t对应2个不同的x,令g(L)=t+at+2,因为f(x)有4个零点，又g(0)=2>0,则方程g(t)=0在t∈)和t)各有一个零点，由二次函数的性质可知，只需要,即数学参考答案-1二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9.ACD【解析】A.,选项A正确；B.△PF₁F₂的周长为2a+2c=6,选项B错误；C.|PF₁ma=a+c=3,选项C正确；D.|PF/+|PF₂|=2a=4,则当且仅当|PFI=|PF₂|时取等号，选项D正确.B.由余弦定理可得,则sinC=sin2B,由于C∈(0.π).2B∈(0.π),则C=2B若C+2B=π,则A=B,即a=b,此时c²=b(a+b)=a²+b²,则,此时C=2B,选项B正确；C.B+C=3B∈(0,π),则B∈,选项C正确；则),选项D正确.11.ABD【解析】A.任取两个房间，相邻有9种情况：{A,C},《B,C},(C,D),{B,F},{D,H),{E,F},{F,G},{G,H},{H,I},所以任取两个房间不相邻的概率为,选项A正确；B.k=6时，可将小球放在房间A,B,D,E,G,I,此时房间两两不相邻，k=7时，房间C,F,H均与3个房间相邻，从9个房间任意抽走2个房间后，总有相邻的房间，所以k≤6,选项B正确；C.小球从房间C出发，4次移动后到达房间H有7种路径：C→A→C→D→H,C→B→C→D→H,C→B→F→G→H,C→D→C→D>H,C→D>H→D→H,C→D>H→G→H,C→D→H→I→H,选项C错误；D.设小球从房间C经过n次移动到达房间H的概率为pa,n为偶数，小球在房间C,2次移动的路径有：C→A→C,C→B→C,C→D→C,C→B→F,C→D→H,小球在房间F,2次移动的路径有：F→E→F,F→B→F,F→G→F,F→B→C,F→G→H,小球在房间H,2次移动的路径有：H→I→H,H→G→H,H→D→H,H→D→C,H→G→F,所以，小球从房间C出发，经过偶数次移动后一定在房间C,F,H之一，且当小球经过n次移动到达房间H时，第n-2次移动后必在房间C,F,H之一，小球从房间C或F经过2次移动到达房间H的概率均为小球从房间H经过2次移动到达房间H的概率为,选项数学参考答案-2三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.[1,+∞]【解析】由于y=|Inx|在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，将y=|lnx|向左平移至少一个单13.【解析】f(x)=sinwx+√3c,由于求w的最大值，故只考虑w>0的情况，当x∈(0,π)时，),若有2个零点，则,则w的最大值为14.【解析】设正方体容器为ABCD-A₁B₁CD₁,在射线AA₁,AB,AD上分别取点E,F,G,使得AE=AF=AG,则△EFG为等边三角形.设△EFG的内切圆圆心为O,半径为r,即求圆锥C₁O体积的最大值.当平面EFG经过正方体中心时,只考虑r∈的情况，∵A,O.C₁三点共线，且AC⊥平面EFG,∴f(x)在上单调递增，∴圆锥C₁O体积的最大值为四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.【解析】(1)由图可得，(0.010+0.006+2a)×50=1,解得a=0.0023分(2)4月空气质量达标的频率为(0.006+0.002)×50=0.4,天数为30×0.4=12,……………5分设A=“从4月的30天中任取2天，至少有1天空气质量达标”,则(3)补全列联表如下：月份空气质量8零假设为H:空气质量是否达标与月份无关，根据表中数据，计算得,………11分根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H₀不成立，因此可以认为H。成立，即认为空气质量是否数学参考答案-3过点P作PH_AD交AD于点H,∵平面PAD⊥平面BAD,平面PADN平面BAD=AD,PHC平面PAD,PH_AD,∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥AD5分∴由正弦定,可得…7分.……………………………7分.设平面PBD的法向量n₁=(x,y,z),令x=√3,则n=(√3,1,…15分分分∴由图可知，二面角A-PD-B的余弦值为 1 2∴f(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,+一)上单调递减，………………4分x→十∞时，f(x)=[a(x-1)-1]e²+a→-∞,6∴f(x)有两个零点只需f(x)mx=f(0)=-a-1>0,数学参考答案-4∴a<-17分∴f(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，即x=0是f(x)的极大值点，不合题意；……………9分∴0<a<1时,0,则f(x)在(-∞,0)上单调递增，上单调递减，即x=0是f(x)的极大值点，不合题意；………………………13分a=1时,f(x)≥0,则f(x)在R单调递增，不合题意；…………………14分a>1时，),则f(x))上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，即x=0是f(x)的极小值点，18.【解析】(1)分别过点P,M作抛物线E的准线的垂线，垂足分别为P。,M,,当且仅当P。,P,M共线时取等，………2分∴E的方程为：y²=4x.………………(2)∵AB,AC均与圆M相切，∴8分.8分.∴直线AB:(y₂-y)(x-x₁)-(x₂-x₁)(y-yi)=0,∴直线AB:4x-(yi+y₂)y+y₁y2=0,10分∵直线AB与圆M相切，,即(y²-r²)y+2y(8-r)y₂+64-(yi+16)r²=0,………………12分∴y,y₃是方程(y²-r)y²+2y₁(8-r²)y+64-(yi+16)r²=0的两个根，,…………………14分数学参考答案-5∴b+1-2b=0.即b—2b。}为常数列，……………1分∴a=2"-1.……………………………3分(2)对任意某行，不妨设a,