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第二型曲线积分

The

LineIntegralswithRespecttoCoordinateVariables1第1页第二型曲线积分与曲面积分

两型线面积分三点根本差异：作为用积分来研究整体量物理背景不一样，二型线面积分包括场论；并总取非负值；第一型线面积分不考虑方向，曲线要定向,曲面要定侧,且微元是向量第二型线面积分则不一样，2第2页被积函数：第一型积分为数量值函数积分

第二型为向量值函数(不排除有分量为零)：一、第二型曲线积分1.

物理背景与概念经典问题——“力场沿曲线C作功问题”.3第3页设场力(向量值函数)：

分四步解：细分求场力沿曲线C从A到B所作功。4第4页近似代替求和(得总功近似值)取极限令

(得总功准确值)5第5页二型线积分概念普通表示

有向线段C分段光滑并可求长，上有定义；第二型曲线积分是对坐标线积分；被积表示式是两向量点积，能够有一个或两个分量为零，如在C6第6页都是第二型曲线积分。2.

第二型曲线积分性质7第7页

设A,B,P

为曲线C上任意三点，则

对于二型环路积分

8第8页3.

第二型曲线积分计算法第二型曲线积分基本计算法也是经过设曲线C

已给定方向，其参数方程为则二型线积分有计算式转化为定积分进行计算。参数t：

(对应始点)

(对应终点).9第9页

计算式中可能只出现一、二项，但仍是二型线积分，不是定积分；C定向10第10页

对应一直点上下限,并非一定是

曲线C

若给其它形式方程，只要全力找出它等价参数方程，问题即可迎刃而解。例1计算其中C为螺旋线上对应至有向弧段。11第11页解例2

计算

其中(1)C为折线段12第12页解(2)沿x

轴由(1)对折线:于是，yA(1,1)应该分段考虑，13第13页(2)沿x

轴由yA(1,1)B

AA

O第14页解(1)(2)从A(1,0)沿折线到(1)从A(1,0)沿上半单位圆至

例3

计算

其中L为15第15页解(2)=0=0

此积分沿两条不一样路径积分值相同。16第16页例4

计算沿有向闭路线积分：解方向如图。17第17页

此例环路积分为零,但各分段路径积分不为零。18第18页例5

计算其中C为

解圆周:方向沿逆时针(正向).19第19页4.两类线积分联络二型环路(闭路)上线积分有时为零(例4),

有时不为零。——有什么规律吗？

积分路径相关.当始、终点一样时,沿不一样沿不一样路径线积分值有相同(例3),有不一样(例2)。设曲线C：

二型曲线积分不但与始、终点相关,还与

20第20页其方向余弦所以两型线积分有以下关系：其

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