数量积的坐标表示及其计算课件-高一下学期数学

湘教版数学必修第二册第1章平面向量及其应用1.5.2数量积的坐标表示及其计算复习回顾平面向量基本定理一组基基下的坐标一组基基下的坐标标准正交基复习回顾向量线性运算的坐标表示共线向量坐标关系（1）若

a

＝（

x

1，

y

1），

b

＝（

x

2，

y

2），则

a

＋

b

＝（

x

1＋

x

2，

y

1＋

y

2），即两

个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.（2）若

a

＝（

x

1，

y

1），

b

＝（

x

2，

y

2），则

a

－

b

＝（

x

1－

x

2，

y

1－

y

2），即两

个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.（3）若

a

＝（

x

，

y

），λ∈R，则λ

a

＝（λ

x

，λ

y

），即实数与向量的积的坐标等于

用这个实数乘原来向量的相应坐标.

a

，

b

共线的充要条件是

x

1

y

2－

x

2

y

1＝0.复习回顾向量垂直的判断向量的数量积夹角公式投影投影向量模长公式新知探索这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.探究：1、向量的数量积

新知探索2、向量的模新知探索3、向量的夹角4、向量垂直的充要条件归纳总结向量的数量积核心知识

平行：a

∥

b

⇔

a

＝λ

b

（λ∈R，

b

≠0）⇔

x

1

y

2－

x

2

y

1＝0垂直：a

⊥

b

⇔

a

·

b

＝0⇔

x

1

x

2＋

y

1

y

2＝0练习巩固

1.已知向量

a

＝（

x

－5，3），

b

＝（2，

x

），且

a

⊥

b

，则由

x

的值构成的集合是

（

C

）A.{2，3}B.{－1，6}C.{2}D.{6}解析：∵

a

⊥

b

，∴2（

x

－5）＋3

x

＝0，∴

x

＝2.故选C.2.设

a

＝（1，－2），

b

＝（3，1），

c

＝（－1，1），则（

a

＋

b

）·（

a

－

c

）＝

（

A

）A.11B.5C.－14D.10解析：

a

＋

b

＝（4，－1），

a

－

c

＝（2，－3），所以（

a

＋

b

）·（

a

－

c

）＝

4×2＋（－1）×（－3）＝11.故选A.CA练习巩固

A.－1B.1C.2D.－2

B

5.已知向量

a

＝（1，

k

），

b

＝（2，2），且

a

＋

b

与

a

共线，那么

a

·

b

＝

⁠.解析：依题意得

a

＋

b

＝（3，

k

＋2），由

a

＋

b

与

a

共线，得3×

k

－1×（

k

＋2）

＝0，解得

k

＝1，所以

a

·

b

＝2＋2

k

＝4.90°

4

专项研习研习1数量积的坐标运算[典例1]已知

a

＝（2，－1），

b

＝（－1，1），则

a

·

b

＋

b

2＝（

D

）A.3B.5C.1D.－1[解析]

a

·

b

＋

b

2＝2×（－1）＋（－1）×1＋（－1）2＋12＝－2－1＋1＋1＝－1.D进行数量积运算时，要正确使用公式

a

·

b

＝

x

1

x

2＋

y

1

y

2，并能灵活运用以下几个关系：｜

a

｜2＝

a

·

a

＝

a

2.（

a

＋

b

）·（

a

－

b

）＝｜

a

｜2－｜

b

｜2.（

a

＋

b

）2＝｜

a

｜2＋2

a

·

b

＋｜

b

｜2.数量积的坐标运算的常用方法:专项研习[练习1]已知向量

a

＝（2，5），

b

＝（λ，4），若

a

∥

b

，则λ

＝

⁠.解析：由题意结合向量平行的充分必要条件可得2×4－λ×5＝0，

专项研习研习2向量的模与夹角[典例2]若向量

a

＝（2

x

－1，3－

x

），

b

＝（1－

x

，2

x

－1），则｜

a

－

b

｜的最

小值为

⁠.[思路点拨]

将坐标代入｜

a

－

b

｜的表达式，依据二次函数知识求解.∵

a

＝（2

x

－1，3－

x

），

b

＝（1－

x

，2

x

－1），∴

a

－

b

＝（2

x

－1，3－

x

）－（1－

x

，2

x

－1）＝（3

x

－2，4－3

x

），

专项研习[练习2]已知向量

a

＝（1，1），2

a

＋

b

＝（4，2），则向量

a

，

b

的夹角为（

B

）A.B.C.D.

B易错精讲[示例]已知

a

＝（1，－2），

b

＝（1，λ），且

a

与

b

的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是（

）A.（－∞，－2）∪（－2，）B.（，＋∞）C.（－2，）∪（，＋∞）D.（－∞，）

易错精讲[错因分析]

以上错解是由于思考不全面，由不等价转化而造成的.如当

a

与

b

同向

时，即

a

与

b

的夹角θ＝0°时cosθ＝1＞0，此时λ＝－2，显然是不合理的.[答案]

A[正解]

∵

a

与

b

的夹角θ为锐角，∴cosθ＞0且cosθ≠1，即

a

·

b

＞0且

a

不与

b

同向，即

a

·

b

＝1－2λ＞0，且

a

≠

mb

（

m

＞0），

[题后总结]

依据两向量夹角θ的情况，求向量坐标中的参数时，需注意：当θ＝0°

时，cosθ＝1＞0，即

a

·

b

＞0；当θ＝180°时，cosθ＝－1＜0，即

a

·

b

＜0.这是解题

过程中容易忽略的情况.练习巩固1.平面向量

a

与

b

的夹角为60°，

a

＝（2，0），｜

b

｜＝1，则｜

a

＋2

b

｜＝（

B

）

B2.已知向量

a

＝（3，4），

b

＝（2，－1），如果向量

a

＋

xb

与

b

垂直，则实数

x

＝

（

D

）A.B.C.2D.－

D练习巩固3.已知

a

＝（2，－1），

b

＝（3，－2），求（3

a

－

b

）·（

a

－2

b

）的值.解：解法一：因为

a

·

b

＝2×3＋（－1）×（－2）＝8，

a

2＝22＋（－1）2＝5，

b

2

＝32＋（－2）2＝13，所以（3

a

－

b

）·（

a

－2

b

）＝3

a

2－7

a

·

b

＋2

b

2＝3×5－7×8＋2×13＝－15.解法二：∵

a

＝（2，－1），