2024-2025学年江苏省南通市海安市高二年级上册11月期中考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年江苏省南通市海安市高二上学期11月期中考试数学

检测试卷

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无

效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,若经过"（九2）,'（L2"T）两点的直线的倾斜角为135。,则冽=（）

4

A.—4B.—2C.—D.2

3

【正确答案】D

2加_1_2

解析：---------=tanl35°=-1,故2加一3=加一1,解得加=2.

1-m

故选：D

2.若直线4：x—2y+l=0与4："+。—。）＞+1=0平行，贝（I。=（）

12

A.—1B.—C.—D.2

33

【正确答案】A

解析：由题意可得：1一a=—2。，解得a=—1,

若a=—1,则直线4：x—2y+l=0、/2:X-2J-1=0,两直线平行，

综上所述.a=-1

故选：A.

3.已知数列｛4｝满足%+i=（—且4=1，则。6=（）

A.-1B.0C.1D.2

【正确答案】C

解析：因为a“+i

令〃=2,可得％=。2+1=2；

令〃=3,可得％=-%+1=-1；

令〃=4,可得45=&+1=0；

令〃=5,可得。6=—。5+1=1；

故选：C.

4.已知等差数列｛为｝的首项为10,公差为-2,则数列｛4｝的前〃项和的最大值为()

121

A.——B.30C.80D,不存在

4

【正确答案】B

解析：由题意可知：%=10—2(〃—1)=12—2〃，且数列｛册｝为递减数列，

当〃《5时，%>0；当〃=6时，%=0；当〃27时，%<0；

所以数列｛册｝的前〃项和的最大项数为5或6,最大值为S5=5%=30.

故选：B.

22

5.已知双曲线C：+—3=l(a>0/>0)的离心率为2,一个焦点在抛物线产=12X的准线

上，则C的顶点到渐近线的距离为()

AB.-C.-D.3

422

【正确答案】A

解析：由题意可知：抛物线/=12x的准线为x=-3,

则(—3,0)为双曲线的焦点，即C=3,

c3

又因为离心率为e=—=2,可得a二—

a2

取渐近线为了=瓜，即瓜—y=0,取顶点为0

V3x--0

所以°的顶点到渐近线的距离为〃=2一空.

A/3+T一丁

故选：A.

6.如图，是某心形二次曲线C,则。的方程可能为(

B.x2+y2+\x\y=l

C.x2+y2-x|j|=1D.x2+y2+x\y\=l

【正确答案】A

解析：显然图象关于y轴对称，即把x换成-x方程不变，可知CD错误;

对于B：令x=l,可得;/+7=0,解得＞=-1或y=0,不合题意;

故选：A.

22

7.已知椭圆C：工+土=1的一个焦点是尸，过原点的直线与。相交于点A,B,b的

4520

面积是20,则()

A.5B.5A/2C.D.10

3

【正确答案】D

解析：由题意得C?=45—20=25，故c=5,故|。9|=5,

因为AAS厂的面积为20,所以A/。尸面积为10,

设“乙,乙),则曰明忆|=10,解得周=4,

22

将同=4代入C：/X=l中得叼=3,

故|。4|="2+32=5,则|/目=2|。4|=10.

故选：D

8.已知上W是圆=4的一条弦，ZMON=60°,P是跖V的中点.当弦W在圆

。上运动时，直线/：＞=x-4上总存在两点48,使得N4P8为钝角，贝的取值范围

是()

A.(0,4逝-2百)B,(4^/2-273,+oo)

C.(0,472+273)D.(472+273,+^)

【正确答案】B

解析：由题意可知：圆0:x?+V=4的圆心为。(0,0),半径R=2,

因为/AfON=60°,则=Rcos30°=若，

可知点P的轨迹是以。(0,0)为圆心，半径r=G的圆C,

设48的中点为E,

因为N4P8为钝角，可知以48为直径的圆E与圆C相交，

且。(0,0)到直线/：x—y—4=0的距离d=±=2也，可知|OE|2d=2j5,

以外切为临界，可得QE|=G+；|4B|,可得|48|=2|。用—2624拒—26,

若使得存在两点48,满足题意，则|48|〉4行-2君，

所以|AB|的取值范围是卜亚-2+句.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9,下列结论正确的是（）

A.直线的倾斜角的取值范围是［0,可

B.斜率之积为-1的两直线相互垂直

C.在两坐标轴上截距相等的直线斜率为-1

D.直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线

【正确答案】BD

解析：对于A：直线的倾斜角的取值范围是［。,时，故A错误；

对于B：斜率之积为-1的两直线相互垂直，故B正确；

对于C：例如直线＞=2x,此时在两坐标轴上截距均为0,相等，但斜率不为-1,故C错误;

对于D：直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线，故D正确；

故选：BD.

10.下列四个命题中，正确的是（）

A.要唯一确定圆，只需给出圆上三点

B.要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线

C.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点

D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点

【正确答案】ABD

解析：对于A：根据三角形的外接圆的唯一性可知：A正确；

对于B：根据抛物线的定义可知：给出焦点和准线即可确定抛物线，故B正确；

对于C：给出两点不能确定椭圆，例如给定长轴顶点，此时椭圆有无数个，故C错误；

对于D：因为中心为坐标原点，若给出一条渐近线和一个焦点，

可以求出a,b,c,且可以确定焦点位置，即可得双曲线方程，可以确定双曲线，故D正确；

故选：ABD.

11.设数列｛4｝的前〃项和为则数列｛4｝为常数列（各项均为同一个常数的数列）的一

个充分条件是（）

A.Sn=nB.S“+i=Sn+l

C.Sn=nanD.S.+1=2S“—aA=a2

【正确答案】ACD

解析：A选项，当〃=1时，«1=1,当“22时，an=Sn-5n_!=n-n+l=l,

故｛%｝的通项公式为%=1,为常数列，故A正确；

B选项，an+1=Sn+1-Sn=1,n>l,不妨设%=0,则此时｛册｝不为常数列，B错误；

C选项，Rm=("+1)为+],Sn=nan,两者相减得%+i=(〃+l)a“+i—,

故"%+i=nc1n,即an+l=an,故｛an｝为常数列，故C正确；

D选项,“22时，Sn+l=2Sn—S"_]=>Sn+l-Sn—Sn—5n_1,即an+l-an,

又见=4，故%+i=%,在1上恒成立，｛an｝为常数列,故D正确；

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知圆。：&-1丫+(y-2)2=4,试写出一个半径为1,且与X轴和圆C都相切的圆的

标准方程：.

【正确答案】(X-+(了-1)2=1(答案不唯一，符合题意即可)

解析：因为圆。：&-1丫+(v-2)2=4的圆心为C。,2),半径八=2,

设所求圆的圆心为M(a,则网=1,

且|MC卜JQ-I/+。-2)2=]或JQ-I/+。-2)2=3.

若6=1，\MC\=荷-I：+。-2)2=1，解得a=l,

可得圆心为(1,1),所求圆的方程为(X-1)2+(y-l)2=1;

若6=-1,JQ-球+。-2丫=1，无解，不合题意；

若6=1,阿牛JQ-1)2+2)2=3,解得0=1+2&或°=1-2虚，

可得圆心为(1+2后,1)或(1—2行,1),

所求圆的方程为(x—1—2行了+(7—1)2=1或(％—1+2亚丁+(y—=1；

若方=—1，|〃C|=JQ-1)2+6-2)2=3,解得0=1，

可得圆心为(1,T),所求圆的方程为(x—以+(y+1)2=1；

^(x-l)2+(j-l)2=1(答案不唯一，符合题意即可).

13.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个

常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列｛%｝是等和数

列，a5=-l,/o=8,则公和为.

【正确答案】7

解析：由题意可知：an+an+l=A(公和)，则%+1+/+2=4

可得%=%+2，可知数列｛%｝是以2为周期的周期数列，

可得牝=。1=-1，%()=。2=8,所以公和4=%+g=7.

故7.

14.已知抛物线C:》2=4y的焦点为R，。为圆—5)2=4上的动点，点40,4),

QA....1..

则\加\=;若P为。上的动点，则|尸丹+|「。|+:。制的最小值为.

【正确答案】①.-##0.5②.5

2

解析：由题意可知：抛物线C：/=4y的焦点为F(l,0),准线为y=-1,

设Q(x,y),圆—5)2=4,即为/+.，=1()了一21,

因为|Q4|=^QF\，则「司+\PQ\+1|2F|=|PF|+\PQ\+\QA\>\PF\+\AP\,

当且仅当4Q,P三点共线时，等号成立，

设点P到准线y=-l的距离为d,

则卢丹+[/日=4+|/日》5,当且仅当P为坐标原点。时，等号成立，

综上所述：|产盟+|「。|+。|。升25,

当且仅当P为坐标原点。，。为(0,3)时，等号成立，

所以|PF|+|PQ|+T°F|的最小值为5.

41

故一；5.

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在平面直角坐标系xQy中，过点7(3,0)的直线/与抛物线C：「=3x相交于点A,B.

(1)若直线/的斜率为1,求|明;

(2)求证.CULQB

【正确答案】(1)3V10

(2)证明过程见解析

【小问1解析】

直线/的方程为V=x-3,

联立C:/=3x得9x+9=0，

=

设A(xi，yi),B(X2，y2)>则xl+x2-9,XjX29，

贝平却=Vl+FXJa+J-4再％=V2xV81-36=3A/10；

_匕____L_____［小问2解析］

当直线/的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，

设直线/的方程为x=3+（y,

与C:/=3x联立得3夕-9=0,

设4（孙月）,8（＞2/2），则M+y2==-9,

则再%=（3+加1）（3+勿2）=9+3/（必+%）+/％歹2=9+9/2_%2=9,

故OAOB=xtx2+必为=9-9=0,

故。4LQB.

16.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,,，叼=4，风=30.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

C

（2）记％=—,〃eN*，若4，"，打成等差数列，求c并证明｛"｝为等差数列.

n+c

【正确答案】（1）%=2〃

（2）c=0,证明见解析

【小问1解析】

已知出=4,根据等差数列通项公式an=%+（〃-l）d可得出=%+d=4.

又因为S5=30,根据等差数列前〃项和公式S,。=〃％+以，

5x4

可得S5=5%=5q+10（7=30,即％+2d=6.

e+d=4

联立方程组〈C7,，可得（为+2d）—（/+d）=6—4,即d=2.

q+2d=6

将d=2代入％+d=4,可得q=2.

所以数列｛%｝的通项公式为%=2+（〃-1）x2=2〃.

【小问2解析】

由q=2,d=2,

可得S,=2n+^—~—x2=+〃.

2

所以〃=上」=或±1

n+cn+c

因为4,b2,4成等差数列,则29=4+4.

_耳_%_2

1-1+。-1+。-1+。.

b二S2二22+2二6.

22+。2+c2+c

S32+312

"7二一3—=-----=-----.

3+c3+c3+。

.c6212“口

故.2x----=------1-----解得c=0.

2+c1+c3+c

2

当c=0时，b=-----=〃+1.

nn

-d=5+1+1）-5+1）=1，为常数.故｛小｝为等差数列.

17.己知尸为圆M:（X+1）2+/=16上任意一点，点N。,0）,线段PN的垂直平分线与PM

交于点。，记点。的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）过点N作直线/（与x轴不重合）与C相交于点。，E,直线/与歹轴交于点8,

BD^EN＜求/的方程.

22

【正确答案】（1）土+匕=1

43

（2）V3x±2j-V3=0

【小问1解析】

由题意可知：M:（X+1）2+J?=16的圆心为"（-1,0）,半径为4,S.\QP\=\QN\,

则|。叫+\QN\=\QM\+\QP\=\PM\=4>2=\MN\,

可知点Q的轨迹是以",N为焦点的椭圆，则°=2,c=1,b=yJa2-c2=G，

22

所以C的方程为二+匕=1.

43

【小问2解析】

因为点N（l,0）在椭圆内部，可知直线/与椭圆必相交,

设直线/:x=my+l（加w0）,。（国，%）,£（%2,%），则80,

m

x=my

联立方程（x2，消去*可得（3»?+4）/+6w一9=0,

143

e6m9

则%+%=一,2「，必为=、2>'

3m+43m+4

又因为3Z>=卜1/1+\；加=（1一/，一%），

若BD=EN，则乂■1—--%，即%+%=---，

mm

可得67=—工,解得加=±汉1,

3m+4m3

所以/的方程为x=±j+1，即J§x±2y-G=0.

18.己知等轴双曲线「：--£=1(。〉0北〉0)的左、右焦点分别片，与，且焦距为2行，

48分别是「在第二象限和第一象限上的一点，且4F；〃8片.

(1)求:T的方程；

(2)若直线的斜率为:，求直线2片的斜率；

(3)若四边形2片£8的面积为2指，求直线/片的方程.

【正确答案】(1)X2-/=1

(2)3(3)V3x±v+V6=0

【小问1解析】

a=b

/—a=b=1

由题意可知：12c=2j2,解得<,

c2=a2+.b72iC-\2

所以双曲线r的方程为/=i.

【小问2解析】

设直线AB-.x=3y+m（m<0）,4（久1）1）,8（久2，丫2），

x=3y+m‘,

联立方程<22,，消去工可得8y2+6加y+掰2—i=o,

x-v=1

2

则△=36掰2_32（加2_1）=4m+32>0,可得%+%=--m,yiy2=

因为片4=（%1+亚,％）,以8=12-五，%），

若网〃BF2,则（X]+行｝2=12-五）必,

+m-41\y,整理可得及~牛,

即（3%+〃?+后）%=卜%x

'必加+J2

又因为（M+%）=△+&+2,

必必为必

m+V2m-V2,冷力/曰rr

可得，-----尸+----尸+2，解得加二—J10

m2-1m-y]2m+V2

8

此时8「+67町+加2—1=0即为8y2—6加了+9=0,解得9=3而—3j|或

此时x』-而=而；号即彳回芳，独了1、

3710-372

所以直线/片的斜率七耳-------------=3

一+血

【小问3解析】

设力（久1，月）凤久2，%），

贝！Jx；-了；=1,即y；=X；—1,

可得|2周=,+可+才=Jx：+2瓜1+2+X；_1="+2而+1=—缶―1，

设直线幺片的倾斜角为6e[0,兀），则X]=[4F]|cos6—收，

]

可得以制=_形(,用cose—间—1,解得|/月|=

1+V2COS0

同理可得忸闻=V---

172cos”

此时梯形/片玛5的高为|大乙同11。=2后5由。，

可知梯形4片g5的面积

SB=LX2后sin6X(-金---+—』-----1=2叼m'=2a,

AF1F2211+亚cos，l-V2cos0J2sin20-l

n同

整理可得2月sin20-sm0-yfi-0解得sin8=——或sin。=----(舍去),

23

可知，=m或，=g,则直线4F；的斜率左期=土百，

所以直线/片的方程y=±百(x—C),即岛土y+&=0.

19.记等差数列｛4｝的前〃项和为a，公差为4(4/0).

(1)证明：S"是关于"的不含常数项的二次函数;

(2)等差数列｛4｝的公差为％，且S"=anbn.

①求｛a｝的通项公式；

Q〃为奇数

②记%=〈，"品/田m'数列｛与｝的前〃项和为北,是否存在4eZ，AeN*,使得

〃为偶数，

169

(=《-?若存在，求4，k；若不存在，请说明理由.

【正确答案】(1)证明见解析

VI〃+1

(2)①或"='；②存在，4=83,4=2

【小问1解析】

因为等差数列｛an｝的公差为4(%w0)

由题意可得：5“="4+”(；1)4=+,,

则二次项系数4/0,且常数项为0,

2

所以S.是关于〃的不含常数项的二次函数.

【小问2解析】

①由题意可知：Sn=anbn,

即+1%―4〃二[4+4(n-1)][4+4-1)]

~2

=d[d2n2+区(%-4)+4(4一"2)]〃+(%-4)(4一义)，

-=4d2

2127

可得《%——d?(%—4)+49]—&)，解得<=1，或，4=1

%二4

(%-4)(4一/)二ob,=-

12

11