2024-2025学年人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形（培优卷 单元重点综合测试）解析版

第十八章平行四边形（培优卷）

考试时间：120分钟，满分：120分

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.矩形不一定具有的性质是（）

A.四个角都是直角B.对角线互相垂直

C.是轴对称图形D.对角线相等

【答案】B

【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.根据矩形的性质：对边相等且平行,

四个角都是直角，对角线平分且相等，矩形既是中心对称图形也是轴对称图形，根据性质判断即可.

【详解】解：矩形不一定具有的性质是对角线垂直.

故选：B.

2.下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（）

【答案】A

【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可.

【详解】解：设平行四边形的面积为S,

A选项中阴影部分面积小于;S,B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于;S,

・•・阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了图形面积的计算，解题的关键是根据平行四边形的面积得出各个图形中阴影部分

的面积.

3.如图，在任意四边形/3CD中，M,N,P,。分别是4B,8C,CD,■的中点.以下结论：①当/48C=90。

时，四边形MVP0为正方形；②当=时，四边形为菱形；③当NCIBO时，四边形MVP0

为矩形；④四边形跖一定为平行四边形.其中正确的结论有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定

理是解题的关键.连接NC、5D,根据三角形中位线定理得到尸。〃==

根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可.

【详解】解:连接NC、AD交于点O,

■■-M,N,P,Q是各边中点，

PQ//AC,PQ=~AC,MN//AC,MN=^AC,

PQ//MN,PQ=MN,

四边一定为平行四边形，④说法正确；

//BC=90。时，四边形肱VP。不一定为正方形，①说法错误；

AC=BD^MN=MQ,

.•.四边形初VPQ为菱形，②说法正确；

NC/8。时，AMNP=90°,

.•.四边形肱VP。为矩形，③说法正确；

故选：C.

4.如图，在四边形N8C。中，AB//CD,AA=90°,£>C=24cm,AD=8cm,AB=26cm.点尸从点。出

发，以1cm/s的速度沿DC.向点C运动；点0从点B同时出发，以3cm/s的速度沿A4边向点A运动.规

定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为塞.当，为何值时，四边形尸。C

为平行四边形？（

【答案】C

【分析】当尸。=2。时，四边形P"C是平行四边形，列方程求解即可.

【详解】由题意可得。P=r,BQ=3t,PC=DC-DP=21,

当PC=8。时，

由〃CO可得四边形PQBC是平行四边形

3t=24—t,解得t=6,

故选：C.

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，表示出对应边的长度是解本题的关

键.

5.如图，在菱形ABCL•中，对角线NC,8。相交于点。，E为A8的中点，且OE=2,则菱形4BCD的周

长为（）

A.12B.16C.8D.4

【答案】B

【分析】先由菱形的性质得出4CL8DAB=BC=CD=AD,结合已知条件，再由直角三角形斜边中线等

于斜边一半得出长，根据菱形周长公式进行求解即可.

【详解】解：.•・四边形/2CD是菱形，

AC1BD,AB=BC=CD=AD,

ZAOB=90°,

・••£为的中点且OE=2,

AB=2OE=4,

，菱形/BCD的周长=448=4x4=16,

故选：B.

【点睛】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，熟练掌握知识点是解题的关键.

6.在平面直角坐标系中，已知四边形/BCD是矩形，点/（3,2右），B（-3,2塔,C（-3,-2A/3）,则这个矩

形的面积为（）

A.246B.12g

C.6A/3D.4873

【答案】A

【分析】在平面直角坐标系中画出三个已知点的位置，然后根据矩形性质求得/5、8c的长，最后即可求

解面积.

【详解】在平面直角坐标系中作出三个点，如下图所示，

.-.AB=3-(-3)=6,SC=273-(-273)=473,

SABCD=ABxBC=6x4y/3=2473,

故选A.

【点睛】本题考查了矩形的性质，和平面直角坐标系，关键是在平面直角坐标系中画出已知点的位置.

7.如图，正方形/BCD的顶点3、C的坐标分别为（0,3）,（2,0）,则点A的坐标为（）

c.（3,4）D.（3,6）

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加垂线的辅助

线，构造全等三角形解决问题.作/»，了轴交于点a，用全等三角形AAS判定定理推出会ABCO,

得出/〃和28的长，即可得出点A的坐标.

【详解】解：如图，作N”!■p轴交于点”,

丫点、B、C的坐标分别为(0,3),(2,0),

•.,正方形A8O

:.AB=BC,ZABC=90°,

NABH+ZOBC=180°-NABC=90°,

ABOC=90°,

.-.ZBCO+ZOBC=90°,

/ABH+ZOBC=NBCO+ZOBC=90°,

ZABH=ZBCO,

_Ly轴，

NAHB=90°,

ZAHB=ZBOC,

:"BH均BCO（AAS）,

:.AH=OB=3,BH=OC=2,

OH=OB+BH=3+2=5,

，点人的坐标为（3,5）.

故选：B.

8.小明同学写下了平行四边形的四条性质，其中不正确的是（）

A.对角互补B.邻角互补C.对边平行D.对角线互相平分

【答案】A

【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进判断即可.

【详解】解：平行四边形对角相等但不一定互补，邻角互补，对边平行，对角线互相平分，

故选:A

9.如图，正方形/BCD的边长为12,点£、F分别为4B、8c上动点（£、尸均不与端点重合），且

AE+CF=7,尸是对角线NC上的一个动点，则PE+P厂的最小值是（）

A.12B.13C.V189D.1272

【答案】B

【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识.确定和最小值

时的情况是解题的关键.

作点£关于/C的对称点连接PE',过尸作尸GL4D于点G,当E'、P、尸三点共线时，

PE+PF=PE'+尸尸=跖，此时PE+尸尸最小，E'厂即为所求，由题意确定在边上，证明四边形CDGP

是矩形，则GE'=5,由勾股定理得，E，F7GE-GF2，计算求解即可.

【详解】解：如图，作点E关于NC的对称点"，连接尸过尸作尸G_LND于点G,

:.PE=PE',AE=AE'PE+PF=PE'+PF,

当E'、P、尸三点共线时，PE+PF=PE'+PF=EF,此时PE+尸尸最小，E'尸即为所求,

••・四边形/BCD是正方形，

:.ZDAC=ZBAC=45°,

二点£在边/。上，

,?GF1AD,ZD=ZBCD=90°,

二四边形CDG尸是矩形，

;.GD=CF,

■■■AE+CF=1,

：.AE'+GD=rl

:.GE'=12-(GD+AE')=12-7=5,

由勾股定理得，E'F=,GE"+G尸2=752+122=13，

PE+尸尸的最小值是13

故选：B.

10.如图，在菱形N8CD中，ZABC=80°,BA=BE,则乙4瓦3=()

A.95°B.105°C,100°D.110°

【答案】D

【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质

和等腰三角形的性质是解题的关键.由菱形的性质得3c=40。，再由等腰三角形的性质和三

角形内角和定理得/BAE=ABEA=70°,然后由三角形的外角性质即可得出结论.

【详解】解：・・•四边形Z5CZ）是菱形，乙450=80。，

:.ZABD=-ZABC=40°.

2

•・•BA=BE,

ZBAE=ZBEA=|x(180°-40°)=70°,

NAED=NBAE+ZABD=70°+40°=110°,

故选：D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.在矩形中，对角线/C,BD交于点O,要使矩形成为正方形，需添加的条件是（写

出一个符合要求的条件）.

【答案】AB=BC（答案不唯一）

【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，

【详解】解：添加的条件可以是=理由如下：

••・四边形N8CZ）是矩形，AB=BC,

.•・四边形48a＞是正方形.

故答案为：AB=BC（答案不唯一）.

12.如图，△ABC^ACEAECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有哪些____.

【答案】平行四边形ABCE,平行四边形ACDE

：.AE\\BD,

■.■AE-BC-CD,

••・四边形NECB,/£DC是平行四边形.

故答案为:045CE,nACDE.

点睛：本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件,

仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法.

13.如图，在菱形ABC。中，对角线NC、8。相交于点O,点E在线段2。上，连接/E.若

BE:OD=2:3,NEDA=2NEAC,EO=\,则线段4E的长为.

A

【答案】2V2

【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线证明三角形全等是解

题的关键；根据菱形的性质得到08=AC1BD,由BE:00=2:3,设8£=2x,则O3=OO=3x,得

到03=00=3,过。作于〃，根据全等三角形的性质得到均瓦汨(ASA),求得

AD=DE=3+1=4,根据勾股定理即可得到结论.

【详解】解：••・四边形A6CO为菱形，

OB=OD,AC1BD,

由BE:=2:3,

设BE=2x,则O8=OD=3x,

0E=x=l,

OB=OD=?>,

过。作£归_14£于%

ZDHE=ZAOE=90°,

/.ZEAO+ZAEO=ZAEO+ZEDH=90°,

・•.ZEAO=ZEDH,

•・•/EDA=2ZEAC,

・•.ZADH=ZEDH,

•：DH=DH,ZAHD=ZEHD=90°,

&ADH也△£DH(ASA),

AD=DE=3+1=4,

在RM/。。中，由勾股定理得：AOVAD—OD。=收一3?=近，

在RtZ\/OE中，由勾股定理得：AE=y]OE2+AO2=272，

A

故答案为：2母.

14.如图将04BCD沿对角线8。折叠，使点A落在E处，若4=56。，Z2=42°,则/C='

【答案】110

【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理及外角性质等，熟练掌握折叠

的性质是解题的关键.根据平行四边形的性质可得/。3=乙4助，根据折叠的性质可得=,

进一步可得=根据已知条件可得的度数，进一步求出//的度数即可求解.

【详解】解：在平行四边形N8C。中，CD//BA,

:"CDB=ZABD,ZA=ZC

折叠，

；.NEBD=NABD,

ZCDB=ZEBD,

•,-Zl=ZEBD+ZCDB=56°,

ZABD=ZEBD=28°

在中，N/=180°-NN80-N2=180°-28°-42°=110°,

.■.ZC=ZA=110°

故答案为：110.

15.如图，在△4BC中，点。是边8c的中点，连接4D,将A/CO沿着直线翻折.得至IJzUOE,连接

BE.若8C=6,AD=4,BE=2,则△4BC的面积为.

A

E

【答案】872

【分析】连接CE交的延长线于点G,根据翻折得/。垂直平分CE,结合8D=CD,根据中位线的性质

的得出。G||BE,DG=；BE=l,求出AD的长，根据勾股定理计算CE=《C?一台炉,得出EG、CG的

长，根据黑W=S梯形45EG十%ACG_$△BCE计算即可.

【详解】解：如图，连接CE交的延长线于点G,

\//

VX"G

E

•.•将dCD沿着直线AD翻折得到,

.••点E与点C关于直线对称，

••.40垂直平分CE,

ZAGC=90°,EG=CG,

•・,点。是边&C的中点，BC=6,AD=4,BE=2,

­.BD=CD=-BC=3,

DG\\BE,DG=-BE=\,

2

ZAGC=ZBEC=90°,

AG=AD+DG=4+l=5,

■CE=S!BC2-BE2=V62-22=4V2.

；.EG=CG=LcE=26,

2

SAABC=S棉衫.EG+—%BCE=,x（2+5）x242+—x5x2V2——x2x4A/2=8A/2,

故答案为：872.

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、三角形的面积公式、梯形的面

积公式等，正确地作出辅助线是解题的关键.

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16.如图，在Rt乙12C中，ZC=90°,G4=CB=8,点P是8c边上的一个动点（不与点8,C重合）,过

点尸作直线交AB于点。.在NC边上存在一点M、当点河关于直线尸。的对称点N恰好落在边

48上时，解决下列问题：

（1）若CP=1,贝=；

（2）若NM=6,则CP=；

⑶连结CN,当△/CN是等腰三角形时，画出一种符合条件的示意图，并直接写出CP的长.

【答案】⑴2

（2）3

⑶2或2血

【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，

对于（1）,先说明四边形CPDM是矩形，再说明/，=肱V,根据C尸得出答案；

对于（2）,仿照（1）解答即可；

对于（3）,分CN=AN，/C=/N=8情况，根据等腰三角形的性质解答即可.

【详解】（1）如图所示，根据题意可知==/?£>〃=90。，

二四边形CPDM是矩形，

/.CP=DM=DN,ZAMN=9QP.

AC=BC,ZC=90°,

N4=45°,

AM=MN.

■：CP=1,

・•.AM=MN=2；

故答案为：2；

(2)vAM=6,

:.MN=6,

：.DM=CP=3；

故答案为：3；

(3)2或2VL

当CN=ZN时，

・•.AM=CM=MN=4,

当ZC=/N=8时，

根据勾股定理，^AM2+MN2=AN2,

解得417=MV=4后，

-CP=DM=242-

17.如图，口力5。。的对角线ZC、8。相交于点。£、尸是ZC上的两点.

⑴添加一个条件使四边形8网㈤是平行四边形；

⑵在（1）添加的条件下，写出证明过程.

【答案】（1）。尸（答案不唯一）

（2）见详解

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键.

（1）添加一个条件使四边形加DE是平行四边形即可.

（2）由平行四边形的性质得再由。b=OE,即可得出结论.

【详解】（1）解：添加条件：。b=。£.使四边形BEDE是平行四边形，

故答案为：OF=OE（答案不唯一）

（2）证明•.•四边形/ger•是平行四边形，

OB=0D,

又・：OF=OE,

.•.四边形BFDE是平行四边形.

18.如图，在DNBC。中，4ELBD于点E,CFLBD于点、F,求证：DF=BE.

【答案】见解析

【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质证明三角形

全等是解题的关键.

根据平行四边形的性质可得48=。，/。尸由此可证ACEDM”即（44S），根据全等三角形的

性质即可求解.

【详解】证明：V四边形ABCD是平行四边形,

:.CD〃AB,CD=AB,

/./CDF=ZABE,

：.CFVBD于点F,AE工BD于点E.

:.ZCFD=ZAEB=90°,

在ACFD和&AEB中,

ZCDF=/ABE

<ZCFD=ZAEB,

CD=AB

:ACFD=△AEB(AAS),

:.DF=BE.

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.如图，菱形488中，NABC=120°,尸是0c的中点，/尸的延长线交BC的延长线于£,直线BF与

直线。E相交于E,求48Mo度数.

【答案】ZBMD=60°

【分析】本题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质、三角形外角的

性质，连接AD,先证△28是等边三角形，求出/M3C=g/CBD=30。，再证明CE=C。求出

ZCEM=30°,即可求出结论.

【详解】解：连接8。，

菱形/BCD中，ZABC=ZADC=120°,AD=CD=BC,AD//BC,

ZBCD=60°,/DCE=ZADC=120°,

是等边三角形，

•.•尸是0C的中点,

NMBC=-ZCBD=30°,DF=CF,

2

ZAFD=ZEFC,

;.4AFD//\EFC,

CE=AD,

CE=CD,

...“府」80。一1之二3。。,

2

ZBMD=ZMBC+ZCEM=300+30°=60°.

20.（1）回归课本

请用文字语言表述三角形的中位线定理:

（2）回顾证法

证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成.下面是其中一种辅助线的添加

方法.请结合图2,补全求证及证明过程.

已知：在中，点分别是/瓦/。的中点.

求证:

证明：过点C作C尸〃/3,与的延长线交于点尸.

（3）实践应用

如图3,点3和点C被池塘隔开，在8C外选一点A,连接分别取2反/C的中点D,E,测得。£

的长度为9米，则氏C两点间的距离为

图2

【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）DE〃BC,

OE=33C；详见解析；（3）18米

【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可;

(2)过点。作。尸〃与。E的延长线交于点尸，证明△ADEg/M?在再证四边形。8CF是平行四边

形，即可证明结论；

(3)直接利用三角形中位线定理求解即可.

【详解】解：(1)三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.

故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；

(2)求证：DE//BC,DE=-BC.

2

证明：,••点2E分别是/瓦/C的中点，

BD=AD,AE=CE,

过点C作CF〃/8,与DE的延长线交于点F.

：.NADE=ZF,

ZADE=ZF

在/\ADE和ACFE中，，乙4ED=ZCEF

AE=CE

4ADE义工CFE.

:.AD=CF,DE=EF=-DF.

2

CF//BD,CF=BD.

四边形D8C尸是平行四边形，

DF//BC,DF=BC,

y.-：DE=-DF,

2

DE//BC,DE^-BC.

2

故答案为：DE//BC,DE=-BC-

2

(3)•••点分别是的中点，Z)E=9米，

：.DE=-BC,即：2c=2。£=18米

2

故答案为：18米.

【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常

用辅助线，构造特殊四边形解决问题.

21.如图，在△22C中，ZACB=90°,CD是中线，作垂足为。，交3c于点E,点尸在C。上,

且EF=EC,连接3尸.

(2)若43=10,8尸=6,则8E=

【答案】⑴见解析

【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的

性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关性质是解答的关键.

(1)连接NE,依题意得DE是线段的垂直平分线，则=进而得

ZEAB=AEBA,贝UNAEC=2ZEBA,根据BD=CD,EF=EC得ZDCB=ZEBA=ZEFC,贝UABEF=2ZEBA,

由此得/BE尸=//EC,进而可依据SAS判定ABEE和A/C£全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论；

(2)由ABFE和A/CE全等得/C=8尸=6,ZBFE=ZACB=90°,进而得2c=8,设EF=CE=a,则

7

BE=BC-CE=.-a,在RM的中，由勾股定理可求”“进而即可求解•

【详解】(1)证明：连接NE,如图所示:

•.•在A48C中,ZACB=90°CD是中线,

/.AD=BD=CD,

•/DE1AB,垂足为

一.是线段48的垂直平分线,

/.BE=AE,

ZEAB=NEBA,

AAEC=NEAB+NEBA=2AEBA,

BD=CD,

ZDCB=NEBA,

•・•EF=ECf

ZDCB=/EFC,

ZDCB=/EFC=NEBA,

/.ZBEF=ZDCB+/EFC=2/DCB=2NEBA,

ZBEF=ZAEC,

在△AFE和中，

BE=AE

</BEF=NAEC

EF=EC

:ABFE、ACE妗AS）,

:.AC=BF-

（2）解：由（1）可知：ABFE安公ACE（SAS>）,

:.AC=BF,/BFE=/ACB=90。,

・・.BF=6,

：.AC=BF=6,

在Rt△45c中，AC=6,45=10,

由勾股定理得：BC=YJAB2-AC2=8,

设EF=CE=a,则BE=BC-CE=8-a,

•・•NBFE=NACB=90。,

「.△HE尸是直角三角形，

在Ri八BEF中，EF-a,BE=8-〃，BF-6,

由勾股定理得：BE2=EF2+BF2

（8-^）2=4Z2+62,

7

解得：a—

4

25

：.BE=8—CI=——

4

25

故答案为：彳

五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.

22.【操作感知】如图1,在矩形纸片的4D边上取一点尸，沿AP折叠，使点/落在矩形内部点"

处，把纸片展平，连接加、BM.ZDPM=60°,则的大小为度.

【迁移探究】如图2,将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片N2CD按照【操作感知】进行折叠，并延

长尸初交C。于点0,连接80.

(1)证明：AMBQ必CBQ；

(2)若正方形N2C。的边长为4,点P为中点，则C。的长为.

4

【答案】【操作感知】：30；(1)见解析；(2)-

【分析】本题主要考查正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定等知识，

操作感知：根据折叠求出N4aP=NMBP=30。，即可得出结论；

迁移探究：

(1)根据HL证。丝RtACB。即可；

(2)设C。的长为x,则。。=4-x,MQ==^BC2+CQ1-BM2=x,利用勾股定理求出x的

值即可.

【详解】解：【操作感知】：由折叠知，NAPB=ZMPB,ZABP=ZMBP,乙4=NM=90。，

•••ZDPM=60°,

...ZAPB=ZMPB=(180°-NDPM)+2=60°,

；.NABP=NMBP=3Q0,

：.ZMBC=90°-ZABP-AMBP=30°,

故答案为：30；

【迁移探究】(1)证明：•••正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，

AB=BM=BC,NA=ZBMP=NBMQ=NC=90°,

在RUMBQ和Rt^CBQ中，

[BQ=BQ

[BM=BC'

Rt^MBQ^RUCBQ(HL),

即AA/80ACBQ；

(2)解：设CQ的长为x,

••,正方形/BCD的边长为4,点P为ND中点，

.-.DQ=4-x,MQ=^BQ2-BM2=^BC2+CQ2-BM2=x,PM=AP=^x4=