2024-2025学年苏科版八年级数学开学摸底考试卷（全解全析）

2024-2025学年八年级数学下学期开学摸底考

（苏州专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：130分）

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.在平面直角坐标系中，点2（2024,2025）的位置所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象

限的符号特点分别是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）；第三象限（-,-）；第四象限（+「）.根据各象限内点

的坐标特点，再根据尸点的坐标符号，即可得出答案.

【详解】解：.••点*2024,2025）,

点所在的象限是第一象限

故选：A.

2.下列各组数中，不是勾股数的是（）

A.5,8,12B.30,40,50C.9,40,41D.6,8,10

【答案】A

【分析】该题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数.注意：（1）三个数必须是正整

数.（2）一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.（3）记住常用的勾股数再做题可以提

高速度.

欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方.

【详解】解：A,52+82^122,不是勾股数，此选项符合题意；

B,302+402=502,是勾股数，此选项不符合题意;

C,92+402=412,是勾股数，此选项不符合题意；

D,62+82=102,是勾股数，此选项不符合题意；

故选：A.

3.观察下面四个图案，它们体现了中华民族的传统文化.其中可以看作轴对称图形的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】本题考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义是解题的关键.根据轴对称图形的定义：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做

对称轴，进行分析即可得出结论.

【详解】解：第一个图形是轴对称图形，

第二个图形是轴对称图形，

第三个图形是轴对称图形，

第四个图形是轴对称图形，

故可以看作轴对称图形的个数是4个.

故选：A.

4.如图，AABC沿z\DEC,B、C、。三点在同一条直线上，CE=3,AC=4,则50的长为（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】B

【分析】此题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键;

根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可.

【详解1解：空△DEC,CE=3,AC=4,

：.BC=CE=3,CDAC=4,

:.BD=BC+CD=3+4=7.

故选：B.

5.如图，面积为7的正方形/3C。的顶点A在数轴上，且表示的数为1,若AD=AE,则数轴上点£所表

示的数为()

A.V7B.-V7C.1-77D.

2

【答案】C

【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键.

根据正方形的边长是面积的算术平方根得“£>=/£=石，结合A点所表示的数及4E间距离可得点£所表

示的数.

【详解】解：：正方形48c4的面积为7,且=

AD=AE=5,

丁点A表示的数是1,且点E在点A左侧，

.,.点E表示的数为：1-g.

故选：C.

6.如图，在四边形48co中，AC与BD交于点O,其中48=40,BC=DC.下列结论：

@AABC^AADC；②NC垂直平分AD；③AD平分N48C；@S^ABCD=^ACXBD.其中正确结论的

个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定.①由之A4DC(SSS)证明；@

根据垂直平分线性质即可判断；③根据垂直平分线性质即可判断；④根据三角形面积公式得到四边形的面

积四边形ABCD的面积=S.ABD+S.BDC即可判断.

［详解】在LABC与AABD中,

AB=AD

<BC=DC,

AC=AC

.•.A^C^AADCCSSS),故①正确；

•1-AB=AD,BC=DC,

.14C垂直平分80,故②正确；

48不一定等于8C,ZM不一定等于。C,

・•.BD不一定垂直平分/C

二8。不一定平分/48C,故③错误；

AC±BD

.•・四边形ABCD的面积S=SAABD+S.BCD=^BD-AO+^BD-CO=^AC-BD,故④正确；

综上所述，①②④正确，共3个正确.

故选：C.

7.如图，在平面直角坐标系中，若直线必=-》+。与直线%=云-4相交于点尸，则下列结论错误的是

A.方程-工+。=及-4的解是x=l

B.不等式一%+。<一3和不等式乐一4〉一3的解集相同

C.不等式bx—4<—x+a的解集是

\y+x=a[x=1

D.方程组'h"的解是2

[y-bx=41)=-3

【答案】D

【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键.熟练掌握一次函数

的性质是解题的关键.

【详解】解：由图可知直线M=-x+。与直线％=法-4的交点尸的坐标为

・,・方程-x+a=fer-4的解是％=1,故A选项正确，不符合题意；

・•.不等式-x+q<-3的解集为％>1,

不等式反-4>-3的解集为％,1,

・,.不等式一%+。<一3和不等式6%-4>一3的解集相同，故B选项正确，不符合题意；

・,・不等式区-4<-工+。的解集是x<l,故C选项正确，不符合题意；

[y=-x+a[y+x=afx=1

由题意可知方程组'J"，即方程组’八"的解是°,

[y-bx-4[y-bx--4[y=-3

y+x-a

无法求出方程组‘八"的解，故D选项符合题意.

[y-bx=4

故选D.

8.A,2两地相距640km,甲、乙两辆汽车从N地出发到8地，均匀速行驶，甲车出发lh后，乙车出发沿

同一路线行驶，设甲、乙两车相距skm,甲车行驶的时间为山，s与t的关系如图所示，下列说法：①甲车

行驶的速度是60km/h,乙车行驶的速度是80km/h；②甲车出发4h后被乙车追上；③甲车比乙车晚到gh；

【分析】本题考查了函数图象在行程问题中的应用；①由图象得蜂=丁，由第4小时乙追上甲，列出方程,

即可判断；②由图象得甲车出发4h后s=0,即可判断；③求出甲到达所用时间，即可判断；④甲出发小

时，甲、乙两车相距80km,分类讨论：当乙没有追上甲时，当乙超过甲后，但未到达3地时，当乙到达

B地时，即可判断；理解横纵坐标的实际意义，能将图象与实际行程过程的各个时段相联系是解题的关键.

【详解】解：①由图象得与=f=60km/h,

4x60=（4-l）v乙，

解得:v乙=80,故①正确；

②由图象得：

甲车出发4h后s=0,

..•甲车出发4h后被乙车追上，故②正确;

.•.甲车比乙车晚到gh,故③正确；

④甲出发th时，甲、乙两车相距80km,

当乙没有追上甲时，

60/-80（f-l）=80,

解得：/=0（不合题意，舍去）

此种情况不存在；

当乙超过甲后，但未到达B地时,

80«-1）-60/=80,

解得：峥8；

当乙到达8地时，

640-60）=80,

解得：:9；；

.•.甲车行驶8h或9；h时，甲、乙两车相距80km.故④错误;

故选：C.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9.比较大小：V103（填“〈”或

【答案】＞

【分析】本题考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键.

因为3=次,屈＞5所以Ji6＞3.

【详解】解：•••3=®,

V10>V9,

故答案为：＞.

10.如图，NBAD=NCAE,AB=AD,请你添加一个适当的条件：,使得"BC四”DE.

【答案】N4cB=NE或/B=ND或AC=AE（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由=得到=根据全等三角形的判

定定理即可得到结论，熟练掌握全等三角形的判定定理并能灵活运用是解决此题的关键.

【详解】解：当ZACB=NE,理由如下，

•//BAD=/CAE,

ZBAD+/CAD=/CAE+ZCAD,

即/BAC=ND4E,

在"3C和中，

ZBAC=ZDAE

<NACB=ZE

AB=AD

:.^ABC^ADE（AAS）■

当NB=ND,理由如下,

/BAD=/CAE,

/BAD+ZCAD=/CAE+ZCAD,

即NBAC=NDAE,

在△48。和石中，

ZBAC=ZDAE

<AB=AD?

NB=ND

:."BC知ADE(ASA)；

当/C=4£,理由如下，

•//BAD=/CAE,

/BAD+/CAD=/CAE+/CAD,

即/R4C=/D4E,

在"8C和A4DE中，

AB=AD

<ZBAC=ZDAE,

AC=AE

:.^ABC^ADE(SAS')■

当BC=DE,理由如下，

/BAD=/CAE,

ZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD,

即/A4c=/CUE,

在A48c和A4DE中，

AB=AD

<BC=DE,

ZBAC=ZDAE

:△ABC不一定全等于；

故答案为：N4CB=NE或NB=ND或4C=AE(答案不唯一).

11.已知一次函数V=-2x+6的图像经过点(-2,%)和(-3,%),则乂%.(填“〈”或“=”)

【答案】<

【分析】本题考查了比较一次函数值的大小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.

由-2<0可得y随X的增大而减小，再结合-2>-3即可得出结论.

【详解】解：：一次函数/=-2》+6的图象经过点”（一2,%）和3（3,%）,且一2<0,

“随x的增大而减小,

二必<%，

故答案为：<.

12.如图所示，在△4BC中，N4cB=90°,BE平分NABC,OE垂直平分48,如果BE=3cm,

DE=2cm,那么NC=cm.

c

【答案】5

【分析】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键.

根据角平分线的性质和垂直平分线的性质可得CE=DE,BE=/，然后求出NC=/£+=3E+DE=5cm

即可.

【详解】解：•••N/C2=90。，BE平分NABC,OE垂直平分48,,

CE=DE,BE=AE

AC=AE+CE=BE+DE=5cm.

故答案为：5.

13.如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换.若原来点8的坐标是（-5,2）,则经

过第2023次变换后，点B的对应点的坐标为

关于X关于J关于X关于V

轴对称轴对称轴对称轴对称

【答案】（5,2）

【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循

环，用2023除以4,然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，解答即可.

【详解】解：点A第一次关于x轴对称后在第三象限，

点A第二次关于J轴对称后在第四象限，

点A第三次关于x轴对称后在第一象限，

点A第次关于v轴对称后在第二象限，

即点A回到原始位置，

所以，每四次对称为一个循环组依次循环，

•••2023+4=505…3,

经过第2023次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第一象限，坐标为（5,2）.

故答案为：（5,2）.

14.如图，点£在等边△4BC的边2c上，BE=6,射线垂足为点C,点P是射线CD上一动点,

点尸是线段48上一动点，当EP+EP取最小值时，若B尸=7,则此时48的长为.

【答案】10

【分析】作E点关于8的对称点E',连接尸则当E',P,厂三点共线，且E7FA8时，此时磅+£?

的值最小，由题意可得ZF£5=30。，贝=尸，再由2尸=7,BE=6,可得14=2CE+6,解得

CE=4,然后根据43=8C=8£+C£即可求出48的长.

【详解】解：如图，作E点关于CD的对称点/，连接尸

EP+FP=PE'+FP,

:.当E',P,尸三点共线，且时，此时尸夕+FP的值最小，即及5+EP的值最小,

•・•△4BC是等边三角形,

Z5=60°,

E'F1AB,

AFE'B=30°,

•••BE'=2BF,

•••BF=1,

BE=14,

•••BE=6,CE=CE',

：.14=2CE+BE=2.CE+6,

解得：CE=4,

AB=BC=BE+CE=10,

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），根据成轴对称图形的特征进行求解,

垂线段最短，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，线段的和

与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）是解题的关键.

15.如图，在长方形CUC8中，点A,8分别在x轴、了轴正半轴上，点C在第一象限，04=8,

OB=6.动点尸在直线了=2》-4上，点。在线段NC上，当△ADP是以AD为斜边的等腰直角三角形，则

直线PD的的解析式为.

【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分点P在8C

下方和在2c上方，两种情况进行讨论求解即可，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形.

【详解】解：设点P（”,2”-4）.

①当点尸在8C下方时，如图1,过点尸作斯〃8C,交了轴于点E,交NC于点尸.贝U：

EF=OA=8,/BEP=ZPFD=90°,PE=a,AF=OE=2a-4,

.-.BE=OB-OE=6-（2a-4）=10-2af

△BPD是以5。为斜边的等腰直角三角形,

.../BPE+ZDPF=ZDPF+/PDF=90°.

.../BPE=/PDF.

.•.△BPE也△DCW（AAS）.

PF=BE=10—2〃，EP=DF=a.

AD=AF+DF=3。—4,

...Z）（8,3a—4）,

EF=EP+PF=tz+10-26z=8.

a=2,

二点尸（2,0）,点2（8*2）,

设直线。尸的解析式为：y=kx+b（k羊0）,

j_

k=

2k+b=03

则:8左+6=2，解得：＜

_2f

b=

~3

②当点尸在3C的上方时，如图2,过点尸作斯〃5C,交歹轴于点E,交/C的延长线于点尸.

同理，可证△瓦力丝下，

:.BE=PF=2a-4-6=2a-10

EF=EP+PF=a+2a-10=8,

a=6,所以2Q-4=8,

；.点尸(6,8),0(8,2)

同①法可得直线尸。的解析式为：y=-3x+26.

19

故答案为：y=或y=-3x+26

16.如图，在△4BC中，已知//5C=90。，AB=4,BC=3,在平面内有一点Z),8=2,连接4D,当ANCD

是直角三角形时，AD的长为.

【答案】回或"'/后或回

【分析】本题主要考查了勾股定理，注意分类讨论的思想：

利用勾股定理求出/C=5,再分类讨论，分别利用勾股定理求解即可.

【详解】解：•，8C=90。,42=4,BC=3,

AC=ylAB2+BC2=5，

当NZCD=90。时,如图:

A

CD=2,

AD=y]AC2+CD2=V29;

当N40c=90。时，如图：

AD=y/AC2-CD2=V21;

•，•AC>CD,

.•.ZA丰90°

综上所述，当A/CO是直角三角形时，AD的长为回或后,

故答案为：回或回.

三、解答题(本大题共11小题,第17,18每小题5分，第19,20,21每小题6分，第22,23,24每小题8分,

第25,26,27每小题10分，共82分，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明)

17.计算：

(1)^64+(-1)2-A/9；

(2)求(％-4)3=-27中工的值.

【答案】⑴2

⑵X=1

【分析】本题主要考查了实数的混合运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，立方根的实际应

用等知识点，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键.

(1)先求立方根、乘方及算术平方根，然后再进行加减运算即可；

(2)将(x-4)=-27中的(尤-4)看作一个整体，然后利用立方根的概念解方程即可.

【详解】(1)解：V64+(-l)2-V9=4+l-3=2；

(2)解：•,■(X-4)3=-27,

x-4——3,

x=1.

18.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,的顶点都在正方形网格的格点(网格

(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点/坐标为(1,3),点8坐标为(2,1)；

⑵请画出A/BC关于y轴对称的图形与G，并写出点片的坐标为.

【答案】(1)见解析

(2)见解析，(-2,1)

【分析】本题主要考查了作图-轴对称变换等知识点，

(1)根据a8两点坐标，确定平面直角坐标系即可；

(2)分别作出B,C的对应点4，B1,G即可解决问题；

熟练掌握轴对称变换的性质是解决此题的关键.

【详解】(1)—(1,3),

.•夕轴在/点的左方1个方格所在直线上，x轴在/点下方3个方格所在直线上,

・•.如图所示即为所求,

(2)如图所示：由关于y轴对称的点的坐标特征为：横坐变为相反数，纵坐标不变，画图即可,

故答案为：(一2,1).

19.在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度〃(千米)与此高度处气温/(℃)

的关系.

海拔高度%(千米)012345

气温/(℃)201482-4-10

根据如表，回答以下问题：

(1)自变量是「因变量是「

(2)写出气温/与海拔高度力的表达式：一

(3)当海拔是10千米时，求气温是多少？

【答案】(1)海拔高度人气温/

⑵/=20—6%

(3)气温是-40C

【分析】此题考查了函数关系式的应用能力，关键是能根据题意求得对应的函数解析式.

(1)结合题意和函数的定义进行求解；

(2)根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：h每增加1千米，气温就下降6℃,即可解答;

(3)把〃=10代入/=20-6力中进行计算、解答.

【详解】(1)解：由题意得，自变量是海拔高度加因变量是气温人

故答案为：海拔高度万，气温f;

(2)解：由题意得，〃每增加1千米，气温就下降6℃,

可得f=20-6/z,

.•・气温f与海拔高度力的关系式：「=20-64，

故答案为：t=20-6h；

(3)解：由题意得，当〃=10时，

f=20-6xl0=-40(℃),

答：气温是-40℃；

20.如图，DE上AB于点、E,DFJ.AC于点、F,BD=CD,NDBE=NC.

(1)求证：AADE包ADF；

(2)若48=6,CF=2,求/C的长.

【答案】(1)见详解

⑵4c=10

【分析】(1)先根据AAS证明△D2E也△DCF,则可得DE=Z)F,再根据HL证明/即可.

(2)根据全等三角形对应边相等可得3£=3=2,/尸=/£=8,进而可得NC的长.

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

【详解】(1)证明：-DE±AB,DF1AC,

：2E=ZDFC=90°,

又•••BD=CD,ZDBE=ZC,

ADBEjDCF(AAS),

*'.DE=DF,

[DE=DF

在RS/QE和Rb/Q尸中，-

AD=AD

Ri/\ADE^Rt^ADF(HL)；

(2)解：•••△DBEmADCF,dADE包ADF,

/.BE=CF=2,AE=AF,

又•・,AB-6,

AF=AE=8,

•.AC=AF+CF=8+2=10.

21.如图，每个格子都是边长为1的小正方形，ZABC=90°,四边形/BCD的四个顶点都在格点上.

⑴求四边形的周长；

(2)连结4C,试判断△/C。的形状，并说明理由.

【答案】⑴12+5夜

(2)A/CD是直角三角形

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正确计算是解题的关键.

(1)利用网格和勾股定理求出四边形ABCD的各边长即可求解;

(2)利用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义可得A/C。是等腰直角三角形.

【详解】(1)解：N3=4,BC=3,CD=打+42=5，AD=M+72=56，

*C四边物BCD=4+3+5+5>/2=12+5A/2；

(2)解：A/CD是等腰直角三角形，理由如下,

AC=A/32+42=5-CD=A/32+42=5>AD=5亚，

.•.JC2+Cr>2=50,AD2=50,AC=DC

■■AC2+CD2=AD2，

.•.A/。是等腰直角三角形，ZACD=90°.

22.已知一次函数歹=履+6的图象经过点（0,2）和点8（-1,3）.

（1）求该一次函数的表达式；

（2）若？（机,必），。（加T%）是该一次函数图象上的两点，比较必与力的大小关系；

（3）当-34><2时，求x的取值范围.

【答案】⑴尸T+2；

⑵必<了2；

（3）0<x<5.

【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的

关键.

（1）待定系数求解析式即可求解；

（2）根据解析式左=-1<0,了随x的增大而减小，结合题意可得利〉帆-1,解不等式即可求解；

（3）分别求得当>=-3和>=2时，x的值，据此求解即可.

【详解】（1）解：•••一次函数了=履+6的图象经过点（0,2）和点8（-1,3）.

,：[b=2,

[~k+b=3

[k=-l

解得：k），

[b=2

・•・这个一次函数表达为y=-x+2；

（2）解：・・・y=-x+2,左=一1<0,

.•/随％的增大而减小，

•・,点P（祖M）,。（加-L%）在该一次函数的图象上，m>m-\,

・•・%<%；

（3）解：对于y=-x+2,

当歹=一3时，一3=—％+2,解得x=5,

当y=2时，2=-x+2,解得x=0,

y=—x+2,左=—1<0,

•・J随x的增大而减小，

.•.当-34y<2时，

0<x<5.

23.如图，ND是△N8C的角平分线，DE,。尸分别是△48。和ANCD的高.

(1)求证：4D垂直平分E尸；

⑵若/B=3,AC=2,△48C的面积是4,求DE.

【答案】(1)证明见解析；

(2)|.

【分析】(1)由角平分线的性质得DE=O/，再由丝RtA/EE)(HL),得4E=4F,从而证明结论;

(2)根据三角形的面积S.ABC=S.4BD+S.ACD，代入计算即可；

本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角

平分线的性质是解题的关键.

【详解】(1)证明：是UBC的角平分线，DE,。尸分别是和A/CD的高，

・•.DE=DF,

在RtAAED与Rt^AFD中,

[AD=AD

[DE=DF'

・•.RtA^D^RtA^T^(HL),

AE-AF,

•・,DE=DF,

••*AD垂直平分EF；

(2)解：•；DE=DF,

・,•由=S^ABD+'

贝（JgABED+gNC\D尸=gDE+/C）=4,

,/AB=3,AC=2,

...；D£x（3+2）=4,

,-.DE=^,

24.遵义市规定了每月的用水20立方米以内（含20立方米）和20立方米以上两种不同的收费标准，该市

的用户每月应交水费》（元）是关于用水量x（立方米）的函数，其图像如图所示.

（1）某用户用水为20立方米，应交水费是_元.

（2）当x>20时，求〉与x的函数解析式.

（3）若小明家某月交水费100元，则小明家实际用水多少立方米？

【答案】（1）50

（2）y=2x+10

（3）小明家实际用水45立方米.

【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求解析式，一次函数图象的性质的实

际运用是解题的关键.

（1）根据图示信息即可求解；

（2）运用待定系数法求解即可；

（3）把水费100元代入解析式即可求解.

【详解】（1）解：根据图示，当x=20时，y=50,

故答案为：50；

（2）解：设当x>20时，y与x的函数解析式为了=h+6（左/0）,

根据图示，函数图象经过（20,50）,（30,70）,

「204+6=50fk=2

130左+6=70'解得'(=10

・•・一次函数解析式为：y=2x+10（x>20）；

（3）解：,水费100元大于50元，

••・小明家某月的用水量大于20立方米，

.•.当>=100时，2x+10=100,

解得，x—45,

二小明家实际用水45立方米.

25.已知点8,C分别为射线和/N上的一动点（点8,C都不与点A重合）.过点8作一条直线与线

段NC交于点D,对于线段3。给出如下定义：若线段AD可以将△N8C拆分成两个等腰三角形，则称线段

BD为&4BC的“腰剖线段”.

⑴如图1,当/M4N=25°,线段时，画出△N8C的“腰剖线段”3。，并写出此时NBDC=

（2）如图2,当线段8CL/N时，若存在ZUBC的“腰剖线段”AD,且40=2,则△48C的面积为.

（3）设/M4N=a（O°<a<45。）.若存在△N8C的“腰剖线段”3。.直接写出//8C的大小（数字或含a的式

⑵皿

33

(3)90。或3a或180°-3a或135。-或180°-5々.

【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、勾股定理，理解题中定义,

分类讨论是解答的关键是解答的关键.

⑴根据题意，当点。为线段NC中点时，5。为△N8C的“腰剖线段”，画出对应图形，利用等腰三角形的

性质和三角形的外角性质求得/8。。=50。；

(2)根据题意可得2C=C。，AD=BD=2,利用勾股定理求得=0，利用三角形的面积公式求解即

可；

(3)根据题意，分类讨论，画出对应图形，结合等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质分别

求解即可.

【详解】(1)解：-：BCLAM,

ZABC=90°,

•:NMAN=25°,

ZACB=90°-ZA=65°,

当时，NABD=ABAD=25°,

贝1|4>2。=90。-25。=65。，

NDBC=NDCB=65°,

BD=CD,

则AABD和ABCD是等腰三角形，且点。为线段NC的中点，

如图，3。为△A8C的“腰剖线段”，

此时，ZBDC=ZABD+NBAD=50°,

故答案为：50；

(2)解：如图，

N

c

ABM

图2

■■BCIAN,存在△48C的“腰剖线段”2D,点。在线段/C上，

BC=CD,AD=BD=2,

22

在RtA5CD中，由BO?=CD2+BC=2BC得BC==BD=五,

2

・•.△ABC的面积为gm3C=；x2xC=血；

(3)解：根据题意，分以下情况：

①当BD=AD,。。=区0时，2。为△/2C的“腰剖线段”，如图,

止匕时，ZABD=ZBAD=a,NDBC=NDCB,

2ZABD+2NDBC=180°,则ZABD+ZDBC=90°,

■■.ZABC=90°；

此时，NABD=ZBAD=a,NDBC=ZBDC=2/4=2a,

NABC=ZABD+ZDBC=3a；

③当=BC=BD^,8。为△48C的“腰剖线段”，如图,

N

c

/

ABM

止匕时，/ABD=/BAD=a,/BCD=NBDC=2/BAD=2a,

/ABC=180。-N4-/BCD=180。-3。；

④当4B=AD,CQ=BO时，为△Z5C的“腰剖线段”，

•・•ZADB=ZDCB+ZDBC=2ZDBC,

ADBC=|ZADB=；（180。一a）,

3

/ABC=/ABD+ZDBC=135°——a；

4

©vAMAN=a（0。<a<45。），

・•・当=时，BCwBD,BCwCD,此时，不存在为△45。的“腰剖线段”;

⑥当AB=BD,CD=BD^,5。为△/5C的“腰剖线段”，如图，

止匕时，ABDA=AA=a,/DBC=/DCB,

•••ZADB=ZDBC+ZDCB=2ZDCB,

ZDCB=-AADB=-a,

22

3

/ABC=180。一一/DCB=180°——a,

2

@vAMAN=a(0。＜a＜45。)，

.•.当加=80时，BC手BD,BC^CD,此时，不存在AD为△NBC的“腰剖线段”，

一33

综上，满足条件的，/5C度数为90。或3a或180。-3a或135。-二。或180。-7a.

42

26.如图，直线4：y=；x+2和直线与无轴分别相交于48两点，且两直线相交于点C,直线4与了轴相交

于点。(0,-4),OA=2OB.

备用图

⑴求出直线4的函数表达式；

(2)在y轴上有一点P,使得8P+CP最小，求点P的坐标；

(3)若尸是直线4上方且位于〉轴上一点，满足NNCF=2NC4。，请求出点尸的坐标，判断aBC尸的形状并

说明理由.

【答案】(1)夕=2》-4

4

⑵(0?)

(3)~0,6),/XBCF的形状为：等腰直角三角形，理由见解析

【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量值，一次函数交点问题，轴对称求

最短路径问题，等腰直角三角形判定及性质等.

(1)先求出N(-4,0),再将。(0,-4)和8(2,0)代入＞=履+6(左二0)中得到4的函数表达式；

(2)过点8作y轴的对称点9，连接。9交V轴于P,此时3P+C尸有最小值，再求出c(4,4),再设C8'

直线解析式为：乂=0+43=0),求出后令x=0即可得到本题答案；

(3)设直线4：y=；x+2与了轴交于N,过点C作CA/〃x轴，证明A/ON和ACW全等，继而得到

MF=ON=2,即可求出产(0,6),再将C/2=4?+(6_4)2=20,CB2=42+(4-2)2-20,FB2=22+62=40,

即可得到本题答案.

【详解】(1)解：口：y=}+2与％轴交于A点,

.•.令y=0,即0=gx+2,解得：x=-4f

・・・/(-4,0),

•・•OA=2OB,

OB=2,

・•・8(2,0),

・••直线4与了轴相交于点仇0,-4),

设直线4的解析式为：y=kx+b(k^0),

将。(0,-4)和8(2,0)代入了=履+6(4/0)中得：

b=-4b=-4

,解得:

2k+b=0k=2

.-.y=2x-4,

・・•直线4的函数表达式：y=2x-4；

(2)解：过点B作了轴的对称点玄，连接CQ交了轴于尸，此时2P+C尸有最小值,

”(2,0),

,.•7]:y=；x+2,4的函数表达式：y=2x-4,

1-

y=­x+2,%=4

2,解得:

尸4

y=2%-4

.-.C(4,4),

・,・设C9直线解析式为：%=占％+乙(人工0),

・•・将。(4,4),以―2,0)代入必=皑+以左NO)中得,

2

4k,+b}=43

0+八o,解得：

・4轴上有一点尸，

4

.•.令％=0,即必=§,

•••点尸的坐标：(°[)；

(3)解：尸是等腰直角三角形，理由如下:

ZMCA=ZCAO,CM"轴，N(0,2),

•・•ZACF=2ZCAO,

・•.ZMCA=ZMCF=ZCAO,

・”(-4,0),C(4,4),

OA=MC=4,

•・•ZCMF=ZAON,

・•.在"ON和△CW中，

ZMCF=ZCAO

<OA=MC,

ZCMF=ZAON

AAON且△CAZF(ASA),

:.MF=ON=2,

・・・F(0,6),

,-.CF2=42+(6-4)2=20,CB2=42+(4-2)2=20,FB2=22+62=40,

■■-CF2+CB-=FB2,CF=CB,

...△83是等腰直角三角形.

27.如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴正半轴、了轴正半轴上取/、2两点，若两点坐标分别是4

(a,0)、8(0,b),且6满足：仅a—36+31+b~—66+9=0.

(2)点C为了轴负半轴上一点，连接/C,于点交CM于N.

①如图1,求证：AAO