2024-2025学年上海市崇明区九年级上学期期末考试数学试卷（中考一模）含详解

2024学年第一学期期末学业质量调研九年级数学

（满分150分，完卷时间100分钟）

考生注意：

1.本试卷含三个大题，共25题.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸，本试

卷上答题一律无效.

2.除第一，二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.

一,选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.如果斜坡的坡度i=l：石,那么斜坡的坡角等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

2.在锐角VABC中,如果各边长都缩小为原来的［那么/A的正弦值（）

A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的g

C.大小不变D.不能确定

3.如果抛物线y=+〃式的顶点是它的最高点，那么m的取值范围是（）

A.m>0B.m<0C.m>lD.m<l

4.已知直线/上三点AB、C,且而=：工,下列说法正确的是（）

A.AB=CBB.BC=BAC.G4=2BCD.CA=2BA

5.如图,在三角形纸片A3C中,AB=6,AC=4,BC=8,沿虚线剪下的涂色部分的三角形与VABC相似的是（）

6.二次函数y=⑪2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①c>0,②-丁<。,③a+Z?+c<0,④当—3<%<2时,y>0.

2a

其中所有正确结论的序号是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二,填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7.如果土=3,那么二二上的值为.

yy

8.计算：3（N+6）-2Z?）=

9.如果将抛物线y=（X-仔+2向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是.

10.己知£与单位向量工方向相反，且长度为5,那么2=.（用含向量"式子表示。）

11.如果线段AB的长为2,点P是线段AB的黄金分割点，那么较短的线段AP=.

12.若两个相似三角形的相似比是1：2,则它们的面积比是.

13.如图,/18〃。。〃砂，•9£=3:2,8尸=6,那么8£）的长等于.

AF）3AF

14.点。、E分别在VABC的边AB、AC上,如果弁==,那么二=___时,。E〃BC.

AB5CE

15.已知点A（-l,%）,3（1,%）都在抛物线y=a^+4ar（a<0）的图像上，那么X与内的大小关系是以上.（填

或“=”）

16.如图,长方形DEFG的边E尸在VA3C的边BC上，顶点ZXG分别在AB,AC上.已知VA3C的边3C长120cm，高

为40cm,且长方形DEFG的长OG是宽DE的2倍，那么DE的长度是cm.

17.如图，在VA3C中，点G是重心，过点G作GD7AC,交8C于点。，连接CG,如果5,8=2,那么S^ABC=

18.四边形ABC。中,4£>〃3。,//皿。=90。,钻=5,8。=12,4）=8,将43沿过点人的一条直线折叠,点8的对称点落

在四边形ABC。的对角线上，折痕交边BC于点尸（点尸不与点5重合），那么PC长为.

A

三,解答题(本大题共7题，满分78分)

cot450-cos30°

19.计算:tan260°+

~2sin30°「

20.已知抛物线y=/-2x-3的顶点为尸，与>轴相交与点Q.

(1)求点尸,。的坐标.

(2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与X轴的另一个交点为求sinNOM。的值.

21.如图,四边形中,AO〃3C,AC与即相交于点。,80=16,00=8,AO=5.

(1)求CO的长.

⑵设丽=。,0=5,试用&，方表示前.

22.九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面AB的中点C处竖直上升20米到达D处，测得

实验楼顶部E的俯角为55。,综合楼顶部厂的俯角为37。,己知实验楼防高度为8米，且图中点A、B、C、D、E、尸在同

一平面内，求综合楼”的高度.

(参考数据：sin37°a0.60,cos37°x0.80,tan37°~0.75,sin550~0.82,cos55°«0.57,cot55°b0.70,精确至I]0.1米.)

D

23.如图，在VABC中,AD是边BC上的中线，点E在AD上(不与4。重合)，连接3E,CE,并延长CE交于点

F,ZDCE=ZDAC.

(1)求证：ADBESQAB.

ADAr1

⑵当N5£D=ZACF时,求证：——=——

ACAE

24.已知在直角坐标平面中,抛物线y=ox2+Zzx+c(awO)经过点A(-2,0)、8(2,0)、C(0,-4)三点.

⑴求该抛物线的表达式:

⑵点P是抛物线上在第一象限内的动点，点P的横坐标为加

①如果AR4c是以PC为斜边的直角三角形，求机的值.

②在y轴正半轴上存在点H,当线段PH绕点H逆时针方向旋转90。时,恰好与抛物线上的点Q重合,此时点Q的横坐标

为〃(">0),求〃一根的值.

25.已知RtAABC中,448=90。，4。=6,比=8,8，帅,垂足为。,点尸是线段。。上一点(不与C,。重合)，过点8

作班人AF交AF的延长线于点E,AE与BC交于点H，连接CE.

AHBH

⑴求证:

CH~EH

(2)当CE〃AB时，求CE的长.

⑶当ACFH是等腰三角形时，求CH的长.

1.B

【分析】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的定义及求解方法是解题的关键.根据坡角的

正切值为坡度求解即可.

【详解】解：设坡角为aWi=tana=心.

3

A<z=30°.

故选：B.

2.C

【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

根据锐角三角函数的定义，即可得到答案.

【详解】解：在锐角AABC中，每个边都缩小为原来的|,那么每个角的大小都不变.

/.NA的正弦值不变.

故选：C.

3.D

【分析】此题考查了二次函数的图象和性质.根据抛物线y=(〃Ll)f+mr的顶点是它的最高点得到抛物线开口向下，

则〃工-1<0,即可求出机的取值范围.

【详解】解：：抛物线y=(〃Li)d+巾的顶点是它的最高点.

抛物线开口向下.

m—1<0.

m<1.

故选：D

4.D

【分析】此题考查了平面向量.画出图形，由题意得到与与：W方向相同，且网=3国，即5是AC的中点，根据图形进

行判断即可.

【详解】解:如图.

——1------------------------1-------------------------1---------/

ABC

—►1—►

•：AB=-AC.

2

・•・AB与亚方向相同，且网相，即3是AC的中点.

uuuuum_k.

■■AB=BC,BC^AB,CA=2CB,CA=2BA.

综上可知,只有m=2丽正确.

故选：D.

5.A

【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键.

根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可.

【详解】解:在三角形纸片ABC中,AB=6,AC=4,BC=8.

DC?1AC41DCAC

A.因为脸=：=，黑=?=：,则为=£],又由“=NC,故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与VABC相似，故此选项

AC42JDCO2ACBC

符合题意.

B.因为当=：=:，要=。=々：彳?，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与AABC不相似，故此选项不合题意.

62AC8442

C.因为空=]，丝=?=?,即：故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与AABC不相似，故此选项不合题意.

AB3BC8434

pr\1RR441

D,因为3,为=?，刀片不故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项不合题意.

nC2AB332

故选：A.

6.B

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键.根据图象

1A

与y轴交点（0©在y轴正半轴，可得c>o,故①正确,根据图象可得二次函数的对称轴为x=-不由于对称轴为x=--,

即可判断②正确，当x=l时,y=a+>+c>。,即可判断③，当-3<x<2时，图象位于x轴上方，即当-3<x<2,所对应的

>>。,故④正确.

【详解】解：①当x=0时,y=c,根据图象可知，二次函数丁=依2+区+。的图象与y轴交点（o,c）在y轴正半轴，即0>0,

故①正确，符合题意.

②根据图象可知，二次函数，=+bx+c（a>0）的对称轴是直线x==工=,即-白=-；<0,故②正确，符合题意.

乙乙乙a乙

③由图象可知，当尤=1时,y=q+>+c>o,故③错误,不符合题意.

④根据图象可知，当-3<x<2时，图象位于X轴上方，即当-3<x<2,所对应的y>o,故④正确，符合题意.

综上所述，①②④结论正确，符合题意.

故选：B.

7.2

YY-V

【分析】此题考查了比例的性质.由一=3得到％=3几代入一^即可求出答案.

yy

Y

【详解】解：,・,一=3.

y

x=3y.

,%一丁=3y-y=@=2

故答案为：2.

5-

8.—a+Ab

2

【分析】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则,注意平面向量的加减适合加法交换

律以及结合律，适合去括号法则.根据平面向量的加法法则计算即可.

【详解】解：3（万+（万-25）

-1f

=3a+3b—a+b

2

5-

=—N+4b.

2

5_

故答案为：-a+4b.

9.y=（x+2『+2

【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键.根据抛物线的

平移规律：“左加右减”的法则即可得出结论.

【详解】解：将抛物线y=（x-l）2+2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是y=（X-1+3）2+2,即

y=（X+2）2+2.

故答案为：y=（x+2『+2.

10.-5e

【分析】本题考查了平面向量，涉及相反向量，向量的模.根据Z长度为5,得到忖=5恸=5,再根据Z与单位向量2方向相

反即可求解.

【详解】解：与单位向量工方向相反，且长度为5.

|a|=5|e|=5.

a=-5e•

故答案为：-5e.

11.3-75

【分析】设较短的线段AP=4则5尸=AB-A尸，根据黄金分割点的性质列方程并求解，即可得到答案.

【详解】设较短的线段AP=x

,/AB的长为2

BP=AB-AP=2-x

,BPAP

.2-x_x

（2-x）2=2x

；.x=3+6或3-石（经检验均为方程的根）

3+君＞2,故舍去

•/2-X=2-（3-A/5）=75-1^0

AX=3-V5

，较短的线段AP=3-石

故答案为：3-亚.

【点睛】本题考查了黄金分割点，分式方程,一元二次方程，二次根式的知识,解题的关键是熟练掌握黄金分割点，分式方程,

一元二次方程，二次根式的性质，从而完成求解.

12.1:4

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比即可求得.

【详解】：两相似三角形的相似比为1：2.

.•.它们的面积比是1：4.

故答案为：1：4.

【点睛】本题考查了相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是解题的关键.

13.10

AFRF32

【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理.根据平行线分线段成比例定理得到等=箸==,求出=：跖=4,

ECDF23

即可求出的长.

【详解】解：VAB//CD//EF,AE:CE=3:2.

.AEBF_3

*'EC-DF-2,

,:BF=6.

：.DF=-BF=4

3

：.BD=BF+DF=1O.

故答案为：10.

【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

根据相似三角形的判定和性质，平行线的判定解答即可.

AF)4

【详解】解：当小〃Be,1rh

AEAD3

~AC~~AB5

•AEAE_3

~CEAC-AE~2

喑总可推导嘘播3

5

•・・NA=NA.

.\AADE^AABC.

.\ZADE=ZB.

:.DE//BC.

15.＞

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点满足其解析式.

先根据二次函数图象上点的坐标特征,分别计算出自变量为-1和1时的函数值，再比较大小即可.

【详解】解：当久二一1时,必=ax(-l)2+4〃x(-l)=—3a.

2

当％=1时,y2=axI+4〃x1=5〃.

*.*4Z<0.

—3a>5a.

%〉为•

故答案为：＞.

16.24

【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

设交。G于点由题意得，。6〃石尸,4＞石。=90。,四，5。,得出四边形0£“£是矩形,由。6〃石尸得到

AADGSAABC,继而得到晋W，即三=署计算即可求解.

【详解】解：设交0G于点心如图.

•・•长方形DEFG的边EF在VABC的边3C上，顶点D、G分别在AB,AC上.

•：AHYBC.

:.AL±DG.

二•四边形DEHL是矩形.

:.DE=LH.

・.・DG〃BC.

：.AADG^ABC.

ALDG

,AH-BC,

,/AH=40cm,BC=120cm,DG=2DE.

.\AL=AH-LH=40-DE.

.4Q-DE2DE

-40-120,

DE=24cm.

故答案为：24.

17.18

【分析】本题主要考查了三角形的重心,三角形的面积，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识.连接

FG1

AG并延长交3C于点瓦连接5G并延长交AC于点区由重心的性质得笠=彳,根据中线的性质可得

EA3

S1

S.BGE=S.CGE=S.CGH=S.H，证明AEDGS^ECA得,设S.EDG=兀，代入可求出X=1，进而可求出“板=18.

利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解.

【详解】解：如图，连接AG并延长交5C于点E,连接BG并延长交AC于点H.

।EG1

•S^BCH=S^ACE=5S^ABC'S^BGE~^^CGE^^CGH~^AGH,~•

•C—V

,°&BGE-LAG”•

1Q—V—V—V

•BGE~°ACGE-JACGH-Q&AGH♦

・,GD//AC.

\△EDG^AECA.

设S&EDG=X-

X1

则3(x+2厂5,

••X=1•

S&BGE=S^CGE=S^CGH=S以GH=1+2=3

・q―q—Q

,,U4BCH-乙ACE-7•

•q

•,J4ABC=18.

故答案为：18.

26571

18.——或——

38

【分析】本题考查的折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分点5的对称点？落在对角线AC上和落在对角线

8。上两种情况,分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键.

【详解】解：如图，当点5的对称点？落在对角线AC上时.

由折叠可得,AB'=AB=5,PB'=PB,ZABrP=ZABP=90°.

：.ZCBrP=90°.

ZABC=90°,AB=5,BC=12.

•*-AC='JAB2+BC2=A/52+122=13.

B'C=AC-AB'=13-5=8.

设尸3'=P3=x，贝!JPC=12—x.

,/PB'-+B'C-=PC'.

222

A%+8=(12-X).

解得x=?

如图，当点B的对称点3'落在对角线BD上时，设AP与相交于点G.

由折叠可得,

ZAGB=ZBGP=90°.

'：AD//BC,ZABC=90°.

：./BAD=180°-ZABC=180°-90°=90°.

BD=^JAB^AD2=A/52+82=-

S,=-BD-AG=-ABAD.

Ar\.RDLJn22

.「x屈xAG」x5x8.

22

.-.AG=^

89

25A/89

BG7AB2-AG?二

89

ZBAG+ZABG=90°,/PBG+ZABG=90°.

：.ZPBG=ZBAG.

又•・•ZBGP=ZAGB=90°.

：.ABGPS八AGB.

.BPBG

ABAG

BP89

即~---1=•

540V89

89

•••I

综上,PC长为--或■—.

3o

林上生

M故答案为：胃26或-71

3o

以V

【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算.代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可.

cot45°-cos30°

【详解】解：tan260°+

2sin30°

2

2xl

-4拒

2

20.⑴P（l,Y）,Q（0,-3）

03如

13

【分析】本题主要考查了二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

(1)先利用配方法求出顶点p的坐标，再令x=o求出y的值，即可得到点Q的坐标.

(2)设平移后抛物线的解析式为y=V-2x+m,求出加的值，即可得到点M的坐标，得到sinNOMQ=£，计算即可得到

答案.

【详解】(1)解：y=x2-2x-3=(x-l)2-4

顶点P坐标为(1,T)

令尤=0厕y=-3.

(2)解：设平移后得解析式y=x?-2x+机

把(0,0)代入得机=0.

y=x2-2x=x(x-2),

.•.当y=0时,再=0,x2=2.

・•・另一个交点M(2,0).

OM=2.

•.•12(0,-3).

OQ=3.

在Rt^OMQdp,QM=y]0(f+0M2=岳.

.■.sinZOMQ=2Q=^.

QM13

21.(1)CO=10

__.22

(2)CO=-a--b

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质和向量的知识，掌握了以上知识是解题的关键.

(1)利用已知条件AD//3c证出AAODSACOB,再得出"=—，然后代入计算即可求解.

COBO

.2.

(2)先求得再根据刀=丽-元=”5,然后即可求解.

【详解】(1)解：,：AD//BC.

；・△AOD^MJOB.

.AODO

**CO-BO,

49=5,00=8,30=16.

._5_=A

••CO_16，

解得：co=io.

(2)解：,：CO=2AO.

：.CO^-CA.

3

又：由与反同向.

—.2-.

/.CO=~CA.

3

"•"CA^BA-BC^a-b,

—.9

CO=-a一一b.

33

22.约为13.7米

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，作DMLAF，DNL3E,垂足为M、N,由题意可得

NMDF=37°,Z7VDE=55°,AM=CD=BN=20米,DM=DN.

BE=8米，即得硒=12,分别解RLADEN和Rt△。叱，求出EN,MF即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：作ZMf_LAF,Z)N_L3E,垂足为M、N,则=NN=90。.

由题意可知：NMDF=37°,ZA©E=55°,AM=CD=BN=20米,DM=DN.

3E=8米.

EN=\2米.

DN

在mADEN中,cotZNDE=——.

EN

DN=12-cot55°p8.4米.

DM=DN=8A.

MF

在RtADAZF中,tanZA/DF=方^~.

.•.MF=84tan37°e6.3米.

:.AF=AM-MF=20-6.3=13.7米.

答：综合楼"的高度约为13.7米.

23.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等角对等边:

CDAD

(1)先证明ADCE^ADAC得到＜=三，再由三角形中线的定义得到CO=BD,据此可证明结论.

DECD

ARAC

(2)先由相似三角形的性质得到“a=由,再证明“BSAMC,得到就=肃，导角证明加石=册，得到

EifT□口ABAC

钻="'则可证明益=益

【详解】(1)证明：,/ZDCE=ZDAC,ZCDE=ZADC.

..ADCE^ADAC.

CDAD

,DE~CD

又・・•A。是边5c上中线.

CD=BD.

.BDAD

,~DE~^D'

又・：ZBDE=ZADB.

..^DBE^^DAB.

(2)证明：♦.♦△DBES/\DAB,

:.ZBED=ZABD.

•：ZBED=ZACF.

:.ZABD=ZACF

又,:ZCAF=ZBAC.

:.^ACF^ABC.

.ABAC

,,法―赤•

又・・・ZAFE=ZABD+/DCE,ZAEF=ZACF+ZDAC,ZDCE=ZDAC.

ZAFE=ZAEF.

,\AE=AF.

.ABAC

24.(l)y=x2-4

(2)①机=2g，②n—m=l

【分析】(1)由抛物线y=ax?+bx+c(a^0)经过点A(-2,0),3(2,0),C(0,-4),再建立方程组解题即可.

(2)①作PN_Lx轴,垂足为N.由题意可得AN=〃7+2,尸双=病一4,。4=2,。？=4,证明1311/"/=131144。0，再建

立方程求解即可，②作PE，y轴于E,，y轴于歹，证明△。网"HEP，可得PE=FH,HE=QF，设Q(n,n2-4)，再进

一步解答即可.

【详解】(1)解：・抛物线y=加+—+。(。工0)经过点4(一2,0),3(2,0),。(0,-4).

4a-2b+c=0a=l

.•.,4。+2匕+。=0,解方程组得：\b=0

c=-4c=-4

’.抛物线的表达式为：y=x2-4

-A(-2,0),C(0,-4).

AN=m+2,PN=m2-4,OA=2,OC=4.

;ZPAN+ZOAC=ZACO+ZOAC.

,ZPAN=ZACO.

.tanZPAN=tanZACO.

PNAO

"A2V-CO'

m+24

解得777=21，经检验符合题意.

②作PELy轴于E,Q尸，y轴于下.

/./PEH=ZQFH=ZQHP=90°.

・・・ZFHQ+ZQHP=/PEH+ZHPE,

ZFHQ=ZHPE.

X-HQ=HP.

:./\QFH"Z\HEP.

:.PE=FH,HE=QF.

设Q（〃,〃2_4）.

由PE=m,OE=m2-4,QF=n,OF=n2-4,

FH=m,HE=n.

•：OF—OE=FH+HE.

n2-4一（疗—4=m+n.

整理得：n2—m2=m+n.

m>0,n>0.

:.n—m=l.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应

用，作出符合题意的图形是解本题的关键.

25.⑴见解析

14

Q）CE=不

97

⑶5或I

【分析】(1)根据题意NA£B=NACB,//田证明及/即可求证.

(2)根据题意可得△CHESAAHB,则有NCEH=,由CE〃,得到=3”,如图所示，作HGLAB，垂足是G,

由勾股定理,三角函数的计算得到回皿“,咚在RtA防G中,8SWC=需则有焉咚得到皿=*再

根据崔=需，即可求解•

(3)根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当/CM=NCHF时，可证AH平分/C钻,根据角平分线

的性质，锐角三角函数即的计算可解得HG，第二种情况：当NCHF=ZHCF时，可得tanNCHF=tanNC4B,则釜=,