2024-2025学年山东省济南市高一年级上册1月期末数学检测试题（含解析）

2024-2025学年山东省济南市高一上学期1月期末数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

f(%)=------+lrix

1.函数xT的定义域为(

A.[0,1川。,+吟B(0,l)U(l,+oo)C(-s,l)U(L+(»)D(。，+°°)

2.sin65°cos35°-cos65°cos55°=()

13

A.2B.一彳C.2D.2

V

3.命题“xeR，x2-xT>°，，的否定是)

ABxeR,x2-x-1<0BGR,x2-x-1>0

CVxeR,x~—x—140DGR,x2-x-1<0

4.工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示，已知扇面展开后形成一个中

3兀

心角为4的扇环，其中扇环的外圆半径为30cm,内圆半径为10cm,某同学准备用布

料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料（）

A.157rcm2B.307icm2c.30071cm2D.600兀cm2

6.已知Q=0・8°,,b=0・7°',c=log（）.3兀，贝“（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>a>b

7.如图所示，线段48为半圆的直径，。为圆心，C/为半圆弧上不与42重合的点,

0厂,44作于。,于£,设AD=a,BD=b,则下列不等式中可以直接

表示CEV小的是（）

a+b

4ab<

B.2

2ab

D.a+b

f（x}=cos2（yx-V3sin6?xcos<yx+—（6y>0）「0仃］

8.已知函数2在区间凹兀」有且仅有2个零点，则

。的取值范围是（）

1Z]8回713^Fr?竺］

,

33；R_3'3）V2'V2）口.［石■‘五J

二、多选题（本大题共4小题）

9.下列说法正确的是（）

A.若a>b,c>d,贝

B.若a>b,c>d,贝|Q-d>b-c

C.若QC2Vbe2,则a<6

—1《/—1

D.若a>b,则。6

f（x）=x--

10.己知函数》,则（）

A.）（"）为奇函数

B.）（尤）为增函数

C."X）的值域为R

D.对VaeR,方程/GA"：。有两个根

a,（3\Q<a</3<—\

11.如图所示，已知角I2J的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的

交点分别为42,M为线段的中点，射线OM与单位圆交于点C,则（）

（a+8.0+⑶

cos------,sin--------

C.点°的坐标为I22）

（cc/3B—a.cc/3./3—cc\

cos------cos--------,sin--------sm--------

D.点/的坐标为I2222J

12.通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合X的子集为元素的族「，

满足下列三个条件：（1）0和X在［中；（2）「中的有限个元素取交后得到的集合

在「中；（3）「中的任意多个元素取并后得到的集合在「中，则称族「为集合X上的

一个拓扑.已知全集。，为的非空真子集，且则（）

={123,4}480A*B,

A.族尸={0"}为集合"上的一个拓扑

B.族尸={0〃U}为集合u上的一个拓扑

C.族尸={0，4尻。}为集合U上的一个拓扑

D.若族P为集合。上的一个拓扑，将尸的每个元素的补集放在一起构成族0,则

°也是集合u上的一个拓扑

三、填空题（本大题共4小题）

3

sma=—

13.已知。为第二象限角，若5,贝tana的值为.

14.定义域为R的奇函数/（X）满足/（x+4）="x）,且当xe［0,2］时，/（x）=f-2x,

则了（7）的值为.

15.已知函数/6)=公讪^8次的图象关于直线"W对称，则'I，)的值为.

/、|lnx|+-,x>0

16.已知函数P-^+4,X<0；g(x)=r+a,若函数斤(x)=/(x)-g(x)有三个

零点西,9户3,则Xl-X2-X｝的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题)

，r-tA.在人A=\x\—x—12<0^,5={xl-m<x<3m—2\

17.已知集合IPlJ.

⑴若加=3,求/ns/UB；

(2)若xe/是xeB的充分不必要条件，求冽的取值范围.

/(x)=/sin|x+—|+B(A>0)

18.已知函数<6>的最大值为3,最小值为1.

(1)求A和8的值;

(2)把f(x)的图象上所有的点向右平移§个单位长度得到函数8(“)的图象，求名卜)的

单调递减区间.

19.已知函数/(》)=1。82(2'+小2')为偶函数.

(1)求实数。的值；

(2)解不等式/(x)+x>L

^AOB=-,OA=y/2,M

20.如图所示，在等腰直角AO/8中，2为线段的中点，点

7T

DC/A/DA彳/POQ=—

分别在线段上运动，且4,设乙4。尸=区

⑴设尸“=/("),求6的取值范围及/⑻；

(2)求△。尸0面积的最小值.

21.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明：某种红

茶用95℃的水泡制，再等到茶水温度降至55℃时饮用可以产生最佳口感，现在室温

25℃下，某实验小组为探究刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔

Imin测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据：

时间/min012345

水温/(95.0088.0081.7076.0570.9366.30

设茶水温度从95℃开始，经过xmm后的温度为现给出以下三种函数模型:

y=—(k>0)

X

=x

(2)yka+b(k>0,0<6Z<l,x>0)e

③片loga(x+后)(a>1,左>0,x20)

(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前

2min的数据求出相应的解析式；

(2)根据(1)中所求的函数模型，求刚泡好的红茶达到最佳饮用口感的放置时间

参考数据,坨3。0477,37。0.845

22.已知函数〃x)=x2+ax+6,xe[0,21

⑴若/(X)为单调函数，求。的取值范围；

(2)设函数g(x)T/(”,记gOO的最大值为“(岫)

(i)当。=。时，求知0)的最小值；

Pa,bwR,M(a,b}>—

(ii)证明：对2.

答案

1.【正确答案】B

【分析】由对数函数定义域以及分式型函数的定义域即可得解

卜-1/0

【详解】由题意，解得℃<1或x>l,

所以函数""）=口+"的定义域为（°，1）口（1，+0.

故选：B.

2.【正确答案】C

【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式可求得所求代数式的值

■、辛初Ysin65°cos35°-cos65°cos55°=sin65°cos35°-cos65°cos(90°-35°

【详解】I

=sin65°cos35°-cos65°sin35°=sin(65。-35°)=sin30°=；

故选：C.

3.【正确答案】A

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.

【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知,

命“VxwR,x2-x-1>0,,的3g；3xGR,-x-1W0

故选：A

4.【正确答案】C

【分析】利用扇形的面积公式可求出扇环的面积，即可得解.

S=1XX(3O2-102)=3OO7T(cm2)

【详解】由题意可知，扇环的面积为

故选：C.

5.【正确答案】C

【分析】结合幕函数知识，画出'=/（"）的图象，将该图象沿x轴对称即可.

【详解】结合题意可得：当x<。时，易知=”为幕函数，在（一叫°）单调递

增；

当X20时，易知/（x）=x2=«为事函数，在[°，+8）单调递增.

x-2,x<0

/（x）=<1

故函数[x'xNO,图象如图所示：

要得到"一/(x),只需将产"X)的图象沿X轴对称即可得到.

故选：C.

6.【正确答案】B

【分析】由指数函数、对数函数单调性即可求解.

【详解】由题意°=logoj^ogo^1=0<«=°-8°-7<。8°=1=0-7°<0V=b

故选：B.

7.【正确答案】D

【分析】根据条件和几何图形，用。力表示出CE,DF,即可求出结果.

,。尸=oc=巴心,。。=巴女

【详解】因为/D=a，">=6,所以22

在Rf中产历+\OD[=

又c“血，所以卬=加行-四「二耳匕1)2=而

在Rt^CDO中，DELOC,故忸必1。。=1°。卜0。1,

DDC

\ED\-\°\-\\-

1|_\oc\一”ba+b

得到

15时2不含普小

所以V(a+b)a+o

故选：D.

8.【正确答案】A

/(x)=cos2a)x+—+l(ty>0)「八］

【分析】由题意首先得函数I3>在区间必兀」上的两个零点只能

是兀，3兀，由此即可进一步列出不等式组求解.

f(%)=cos2<«x->/3sin(yxcos(yx+—

【详解】由题意2

1+cos2a)xV3._1兀、八、

=------------—sin2a)x+—=cosI2a)x+jl+>0)

_Tt71

t—LCDXH--=—<兀

当x=0时，33,

2

fcosci}x-y/3sma)xcosa)x+—(a)>0)rn_i

若函数2在区间W瓜」有且仅有2个零点，

则这两个零点只能是私3兀，

t=Icon+—>3K

<3

c兀L47

t=2(071+-<JTt—<(2?<—

则当x=7T时，I3,解得33.

故选：A.

9.【正确答案】BC

【分析】根据题意，结合不等式的性质，以及特殊验证，逐项判定，即可求解.

［详解］对于A,当a=3,6=l,c=T,d=_2时，ac=-3<bd=-2,错误；

对于B,因为所以-d>Y,又a>b,所以正确；

对于C,由2Vbe2,可得。2>0,根据不等式的性质，可得a<b,正确；

1,1

--1>—］--

对于D,取满足。“，而。一~b,错误.

故选：BC

10.【正确答案】ACD

【分析】利用函数的奇偶性及单调性，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.

/,/\_1

【详解】因为“厂”7,易知定义域为{x|x*o},定义域关于原点对称，

f(―x)=—XH=—f(x)f(x\

又x,即J为奇函数，所以选项A正确，

对于选项B,因为定义域为{x〔x*°},当x=-l时，/(-1)=-1+1=0；

x=l/f-V--2=--<0-1<1

当2时，22,而2,所以选项B错误，

因为'在定义域上单调递增，”二一(在区间(一8，°)，(°，+00)上单调递增，

所以X的增区间为（-°°，0）,（0,+co）,

又易知，当xeS。）时，""'"F勺值域为R,当xe（0,+co）时，的值

域为R,

所以对VaeR,方程/（x）-"=°有两个根，即选项C和D均正确，

故选：ACD.

11.【正确答案】ABC

【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函

数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的

余弦公式求解可判断D.

［详解］对于A：因为==。＜«＜尸＜5,所以乙4。8=£一a,正确;

/0-a

ZAOM=------

对于B：依题意加为线段45的中点，则0M,/B,则2

又网=L所以爪3。。"四5空,正确;

对于C：M为线段的中点，射线。河与单位圆交于点°,则°为蓝的中点,

/八八0-a0C+(3

ACOx=a+-----=-------

所以22

(a+8,a+/3\

\\_cos-------,sin--------

nr12

又35,所以点C的坐标为l2九正确;

1/\1小1(a*)3a_f3(cc+/3

Xz、

M=5(x4+xB)=5(cosa+cos0=3cosl+^—l+cosl^―

对于D：

1a+0a—/3.oc/3.a—f3a+。a-/3.ccB.a—B

—cos-------cos----------sin--------sin--------+cos--------cos--------+sin--------sin--------

222222222

a+£a—BccBcc-B

=L2cos------cos-=cos-cos-

22222,

y=g("+%)=g(sina+sin£)=g"a+P+F]+si“三

MsinFl

1.a+/3OL—BccB,cc—/3.ccBcc—BccB,cc—/3

—sin-------cos--------+cos--------sin---------bsm-------cos----------cos--------sin--------

222222222

1.a+Ba—B.a+Ba—B

=­•2sin-------cos--------=sin--------cos--------

22222,

(a+BB-a.a+BB-a

cos------cos--------,sin--------cos--------

所以点M的坐标为I2222错误.

故选：ABC

12.【正确答案】ABD

【分析】对于ABC,直接由拓扑的定义验证即可；对于D,不妨设族

尸={0，4广、4"},（心1）为集合。上的一个拓扑，则由定义可知，

0=4由此即可进一步求解.

【详解】对于A,首先@℃={0a}满足条件（1），

其次，°={0々}中的有限个元素取交后得到的集合为0或"，都在0={0"}中，满

足条件（2）,

再次，PH。，。}中的任意多个元素取并后得到的集合为0或"，都在0={00}中，

满足条件（3）,故A正确；

对于B,首先0"eP={0，U,处满足条件（1）,

其次，尸={04，"}中的有限个元素取交后得到的集合为0或0或A,都在

尸=修山}中，满足条件（2）,

再次，P={°a'/}中的任意多个元素取并后得到的集合为0或0或A,都在

P={00,4}中，满足条件（3）,故B正确；

对于C,不妨设,={L2}，8={2,3},则'C'={2},/1'={1,2,3},不在

P={0,4民。}中，故c错误；

对于D,由题意不妨设族尸={0〃”…4，°}，（心1）为集合"上的一个拓扑，

由条件（2）可知尸={@4…4"卜（"？1）中的有限个元素取交后得到的集合都在

P={0，4，..、4M，6»I）,

且由条件（3）可知尸={0M"'4"}'（"21）中的任意多个元素取并后得到的集合都在

尸={0，4广、4〃},（心1）,

所以不妨设0口4三…

则。={。，64,…，64，0}，（〃21）,且0<Q,4a…164

首先0,Ue°={U，a4,…，d4，0}，（〃？l）满足条件（1）,

其次，。={.d4,…，。4，0}，（〃？1）中的有限个元素取交后得到的集合都在

。=彩©4，一n4，0}，（"21）中,满足条件（2）,

再次，。={℃4「*4，°}，（心1）中的任意多个元素取并后得到的集合都在

0={u©4,…,。4，0},（〃之1）中，满足条件（3）,故D正确.

故选：ABD.

关键点点睛：判断D选项的关键是首先得到014［…14由此即可顺利得解.

_3

13.【正确答案】4/-0.75

【分析】先根据同角函数的平方关系求得5,再根据正切公式求解即可.

•3卜-4

sma=-coscr=-vl-sina=——

【详解】因为。为第二象限角，且5,所以5,

3

sina53

tana=------=—^―=——

coscr_44

所以5

3

故北

14.【正确答案】1

【分析】由奇函数的性质以及周期性代入即可求解.

【详解】由题意/⑺=/(3)="7)f(l)7Jxl)=l.

故1.

15.【正确答案】0

【分析】由题意利用辅助角公式，化简"x)=as2+cosx,结合图象关于直线对

称可求得夕的值，即可求得。的值，进而求得答案.

［详解］由题意得函数/(x)=asinx+cosx=JZZsin(x+e),

.1a1

sin(p=/,cos(p=丁-,tan(p=一

显然J/+iVa2+1a,

----F0=—F左兀,kGZ

又函数/(x)=asinx+cosx的图象关于直线*=W对称,故4"2

71.1

(p=—+kn,k^7jtan(p=tan(z—+E7)=1=一

则4故4。

故0

16.【正确答案】G行"]

【分析】由题意首先得“*(2,4],

C241,111,1.

2<〃=-x,+4——InXQ+X)4=In1----1—--=In占+占HW4

%%/J_w

马，进一步有马迅=1,由此

即可顺利得解.

【详解】由题意设“x）=/（x）+"则函数/（x）="x）-g（x）的零点即为方程

g）=a的根，

在同一平面直角坐标系中分别画出函数'（"）的图象以及直线了=°如图所示:

若函数/（无）=/（无）一g（x）有三个零点再户2户3,（不妨设为再<乙<三），

则方程'（"）="的根有三个根4马，三，且网WO<Z<1<X3,

所以ae（2,4],

2.1.111,1

2<a=-石+4=—1InX]+%2=In1---1—-——Inx2+/-4

x2x2x21x3

且X2,

.ix__L

y=lnx+x+-A,\3--YY-}

因为x在单调递增，所以Z,即迎％-1,

XXX=X

所以1,2,3\9

令2=〃=一/+4,x<0,解得x=-Q,令4=。=一/+4,x<0,解得x=°,

所以龙|“2・退=无]€6拒,0]

故答案为.S]

关键点睛：关键是根据函数单调性得到/鼻=1,由此即可顺利得解.

17.【正确答案】（l）/n8={x|-2Wx<4},^U5={x|-3<X<7}

⑵加“

【分析】（1）解不等式确定集合A,根据集合的交集以及并集运算，即可求得答那;

（2）由题意可得A呈3,列出相应不等式组，即可求得答案.

【详解】（1）解--工-12<0可得-3<x<4,

故可知/={X「3<X<4},

当机=3时，^={x|-2<x<7}；

所以/n8={x|-2Wx<4},/U8={X|-3<X47}.

（2）因为xe/是的充分不必要条件,

j3m-2>4

所以A呈B,则H一根4一3,

解得机24.

18.【正确答案】(1)/=11=2

—+2bi,—+2foi(keZ)

⑵[33.

【分析】（1）由题意列出方程组即可得解

（2）首先得且々）表达式，进一步整体代入列出不等式组即可求解

JA+B=3fA=l

【详解】（1）因为/>。，由题意可得1一"+8=1,解得18=2.

⑵由（1）得LI6）,所以㈠I6）,

57r

—+2kn<x--<—+2kn,(keZ)—+2fot<x<+2kn,(kGZ)

由262'。得3

2兀_75兀_7

z、-F-----F2A71ReZ)

所以g1町的单调递减区间为L33

19.【正确答案】（1）1

（2）{x|x>0}

【分析】（1）由偶函数的定义得恒等式，由此即可得解

（2）由对数函数、指数函数单调性等价变形即可求解.

【详解】（1）设/（“）的定义域为/,

因为“X）为偶函数，所以Vxe/,都有

x

即噫。+a♦21log2（2'+a-2-）对VxeZ都成立，

等价于2一,+a•2,=2、+a•2T对Vxe/都成立，

整理得也"（。-1）（2,-2->0都成立，

所以"1=°,解得。=1.

所以。的值为1.

（2）由题意1嗨（2、+2一%>1,

移项得I°g2&+2T）>I,

所以1吗(2工+2-，)>四221

所以2，+2-，>21,

整理得4*+1>2,即4">1,

解得x>。，

所以不等式的解集为{x|x>0}.

/(e)=tan任0,-

20.【正确答案】(1)(4JL4.

⑵亚-1

^rr，几

OM=1,^AOM=-,OM1AB收0,-

【分析】(1)根据条件得4,即可得L4」，在

RM0MP中，利用9=(W,tan/P。”即可求出结果；

„1(1-tan^^八、

SQPQ=---n+tan^

(2)根据条件得到21l+tane九再利用基本不等式即可求出结果

【详解】(1)因为AO/8为等腰直角三角形，(%=亚，河为线段48的中点，

71

OM=1,ZAOM=-,OMLAB

所以4.

0e0,-

因为点尸在线段上运动，所以L4」，

ZPOM=--0,PM=OM-tanZPOM=tanI--0

因为=所以414

/（6>）=tanf--6»Ve[o,-

所以」UJ14」.

71

ZPOQ=ZMOA=-

（2）因为4所以/QOM=。,QM=OM-tan/QOM=tan0

PQ^PM+QM^tan[^-0\+tan0

所以

1（1-tan。

SCPC=LPQ-OM==tanf--6»|+tan6>+tan。

所以°22〔14J.2v1+tan^

2

+1+tan0—2

1+tan。

当且仅当tane=6-le[0,f|时，等号成立,

所以△。尸Q面积的最小值为V2-1.

21.【正确答案】(1)应选择模型②，理由见解析，y=70x0.9'+25

(2)8min

【分析】(1)根据题中描述的函数模型特点选择相应的函数模型，待定系数即可求解

(2)由指对互换、对数运算性质解方程即可求解.

［详解］(1)选择②y=3'+6(左>0,0<a<l，xW0)作为函数模型.

对于模型①，当工=°时，函数无意义，故而排除；

对于模型③，由表中数据可知当自变量增大时，函数值减小，故而排除；

对于模型②，所给函数单调递减，且符合茶水温度不低于室温的要求；

故应选择模型②.

95=k+ba=0.9

<88=ka+b1左=70

将前2min的数据带入，得［81.7=加+6,解得〔6=25,

所以所求函数解析式为7=70x0.9^+25

33

09X=—%=log—

(2)由(1)中模型可得70x09+25=55,即.7,所以°97,

Ig3-lg7_lg7-lg3〜0.845-0.477_0.368_

X——~——o,

即lg0.9l-21g31-2x0.4770.046

所以刚泡好的红茶放置8min能达到最佳饮用口感.

22.【正确答案】(I)。—或

(2)(i)2;(ii)证明见解析

【分析】(1)利用对称轴与区间的关系，即可求得。的取值范围；

(2)对于(i)表示出M0)=1n+再根据例,14+目的大小讨论即可;对于

(ii)先讨论对称轴与区间的关系并表示出"S'),再对表达式屈(。，°)中的绝对值大

小进行讨论.