江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题（含答案）

江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位，则复数(3−i)(4−i)在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知单位向量a，b的夹角为2π3，则|A．1 B．2 C．3 D．33．i是虚数单位，则z=1A．12+12i B．124．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=1，A=135°，则b+csinA．24 B．22 C．2 5．已知向量a=(3,−4)，b=(2,A．(3,0) B．(326．下列命题正确的是（）A．ABB．若向量a=(2023,2024)，把C．在△ABC中，AB⋅AC>0D．在△ABC中，若λ为任意实数，且CP=λ(|CB|⋅CA+|7．苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖．建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为30°，45°，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（）A．350米 B．400米 C．450米 D．500米8．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，BF=13BC，AF与BE交于点G，若BA=A．27a+17b B．1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在△ABC中，下列说法正确的是（）A．若A>B>C，则sinB．若A>B>C，则sinC．若A>B>C，则cosD．若A>B>C，则cos10．z1，zA．若z12<0B．若|z1C．若z1，z2互为共轭虚数，则z1D．若z1211．已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点（含边界），且AP=AB+λA．△PCD的面积为定值 B．∃λ使得|C．∠CPD的取值范围是[π6,π3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知a，b为两个不共线的非零向量，若ka+b与a−2b13．△ABC中，若sin(A+π4)=−14．已知△ABC的外接圆半径为1，则AB⋅BC的最大值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数z在复平面上对应点在第一象限，且|z|=2，z（1）求复数z；（2）设复数z、z2、z−z2在复平面上对应点分别为A、B、C16．已知向量OA，OB不共线，点P满足OP=xOA+yOB，（1）若x=y=12，则点P是线段（2）x+y=1是A、B、P三点共线的充要条件．17．在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C满足：A在x轴的正半轴上，C的横坐标是−7210，|OA|=|OB|=|OC|=1，OA（1）求cos(α−β)（2）求β−2α的值．18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AD=1，CD=2，△ABC为等边三角形，记∠ADC=α．（1）若α=π3，求△（2）若α∈(π2,19．某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形ABCD某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若P，Q分别为边AB，DA上的动点，当△APQ的周长为2时，PQ有最小值（图1）、∠PCQ为定值（图2）、C到PQ的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题．（1）如图1，求PQ的最小值；图1（2）如图2，证明：∠PCQ为定值；图2（3）如图3，证明：C到PQ的距离为定值．图3

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：(3−i)(4−i)=11−7i，在复平面内对应的点是(11,−7)，位于第四象限.故答案为：D.【分析】由(3−i)(4−i)=11−7i可知复数在复平面内对应的点所在的象限．2．【答案】C【解析】【解答】解：因为两个单位向量a⇀,b所以a⇀故答案为：C.

【分析】利用向量的数量积计算即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：z=11−i故答案为B.【分析】由复数的四则运算计算出z=12+4．【答案】C【解析】【解答】解：由正弦定理可得asinA∴b+csinB+sinC【分析】直接由正弦定理可得asinA5．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可知a⃗⋅b所以a在b上的投影向量为a故答案为：A.【分析】利用投影向量的定义直接求解即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：A.、AB−AC=B、把向量a=(2023,2024)向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(2023,2024)，故B错误；

C、由AB⋅AC>0可知A为锐角，但不能说明△ABC是锐角三角形，因此充分性不成立，故C错误；

D、因为CP=λ(|CB|⋅CA+|故答案为：D.【分析】利用向量的减法运算对A进行判断，利用向量平行(共线)关系的坐标表示对B进行判断，利用向量数量积的坐标运算，结合充分条件的判断对C进行判断，利用向量的加法运算，结合平面几何知识对D进行判断，从而得结论.7．【答案】C【解析】【解答】解：设金融中心的高度为h，由题意可知ℎtan60故答案为：C.【分析】设金融中心的高度为h，可知ℎtan8．【答案】B【解析】【解答】解：设BG=λBE，BE⃗=BC⃗+CE⃗=b⃗+12a⃗，

∴BG=λBE=λb+12a【分析】设BG=λBE，AG=μAF，然后再根据向量线性运算得到9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、因为A>B>C，所以根据大角对大边得a>b>c，由正弦定理可得2RsinA>2RsinB>2RsinB、取A=75∘,B=60∘,C=45∘，满足A>B>C，

但sin2C=sin90∘=1，故sin2C>sin2A，sin2C>sin2B，故B错误；

C、因为0<C<B<A<π，y=cosx在0,π上单调递减，所以cosA<cosB<cosC，故故答案为：ACD.【分析】由正弦定理及大角对大边即可判断A；取A=7510．【答案】A,C【解析】【解答】解：设z1A、z12<0，即a2−b2+2abi<0，所以a=0或b=0，当b=0时，z12=a2≥0不符合题意，故a=0，b≠0，

所以z1是纯虚数，故A正确；

B、若|z1|=|z2|，则a2+b2=c2+d2，

z12=a2−b2+2abi,z【分析】根据复数的四则运算、模长公式以及复数的概念，一一判断即可.11．【答案】A,C【解析】【解答】解：如图：

因为AP=AB+λAFλ∈R，所以BP=λAFλ∈R，

而P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，因此点P在线段BE(含端点)上运动.

A、因为在边长为1的正六边形ABCDEF中，BE和CD的距离为32，

所以△PCD的面积为12×1×32=34，为定值，故A正确；

B、连AC，在正六边形ABCDEF中，直线BE是线段AC的中垂线，所以PA=PC，故B错误；

C、当点P与点B(或E)重合时，∠CPD最小，最小为π6；

当点P与线段BE的中点重合时，∠CPD最大，最大为π3，所以∠CPD的取值范围是[π6,π3]，故C【分析】利用向量的加减与数乘混合运算和共线(平行)向量，结合平面几何知识得点P在线段BE(含端点)上运动，再利用平面几何知识逐项判断.12．【答案】−1【解析】【解答】解：a⃗，b是两个不共线的向量，因为向量ka+所以ka⃗+b⃗=λ(a⃗−2【分析】由向量ka+b与a−213．【答案】4【解析】【解答】解：因为A∈(0,π)，A+π4∈所以A+π4∈π,5π4【分析】由题意先求出cosA+14．【答案】12【解析】【解答】解：因为△ABCAB→⋅BC→=|AB|⋅|BC|⋅cos⁡(π−B)=−4sin⁡Csin⁡Acos⁡B

若AB⋅BC的值最大，则π2<B<π，【分析】AB→15．【答案】（1）设z=a+bi(a,b∈R)，则|z|=a2+因为|z|=a2+所以a2解得：a=1b=1或a=−1又复数z在复平面上对应点在第一象限，所以a=1b=1，故（2）因为z=1+i，所以z2=(1+i)所以A(1,1)，B(0AB【解析】【分析】(1)设出复数的代数形式的式子，根据已知条件列出方程组求解即可；(2)写出所给的三个复数在复平面内对应的点的坐标，由向量的数量积坐标运算求解即可．16．【答案】（1）证明：因为x=y=12的，所以OP=所以OP−OA所以P是线段AB的中点（2）证明：充分性：若x+y=1，则y=1−x，所以OP=x所以OP所以BP=x(所以A、B、P三点共线必要性：因为A、B、P三点共线，所以存在实数x满足：BP所以OP−OB所以OP=x所以x+y=1综上所述，x+y=1是A、B、P三点共线的充要条件【解析】【分析】(1)利用平面向量线性运算求得AP=(2)利用平面向量共线定理与三点共线，从充分性和必要性两方面求证即可.17．【答案】（1）解：因为|OA|=|OB所以OA⋅所以cosα=又α为锐角，所以sinα=因为钝角β的终边与单位圆O的交点C的横坐标是−7所以cosβ=−72所以cos（2）解：由（1）知sinα=255，cosα=所以sin2α=2cos所以sin因为α为锐角，所以0<α<π2，所以又cos2α<0，所以又β∈(π2,所以β−2α=π【解析】【分析】(1)利用数量积求出cosα，sinα，由三角函数的定义求出cosβ(2)利用二倍角公式和两角差的正弦求sin(β−2α)18．【答案】（1）解：在△ACD中，由余弦定理得，AC所以AC=3，所以∠DAC=90°又因为△ABC为等边三角形，所以AB=AC=3，且∠BAD=∠BAC+∠DAC=150°所以S（2）解：不妨设∠DAC=β．在△ACD中，由余弦定理得，ACcosβ=在△ACD中，由正弦定理，ACsin∠ADC=所以sinβ=所以S=1又因为α∈(π所以α−π所以sin(α−即△ABD的面积的取值范围为(2+【解析】【分析】(1)利用余弦定理和三角形的面积公式求解即可；(2)利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换和三角形的面积公式求得S△ABD=sin19．【答案】（1）解：设∠QPA=θ，因为△APQ的周长为2所以PQ所以PQ=2因为θ∈(0所以22所以1<2所以PQ=即PQ的最小值为22（2）解：设∠PCB=α，∠QCD=β，则PB=tanα，所以AP=1−tanα，AQ=1−因为△APQ的周长为2，所以2=1−tan所以tan即tan(α+β)=1因为0<α<π2，所以0<α+β<π，所以α+β=所以∠PCQ=