高考备考资料之数学人教A版全国用课件98曲线与方程

§9.8曲线与方程第九章平面解析几何基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：知识梳理这个方程的解曲线上的点那么，这个方程叫做

，这条曲线叫做

.曲线的方程方程的曲线2.求动点的轨迹方程的基本步骤任意x,y所求方程1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.2.曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.【知识拓展】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.(

)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.(

)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(

)(4)方程y＝

与x＝y2表示同一曲线.(

)(5)y＝kx与x＝

表示同一直线.(

)(6)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(

)基础自测123456√×××××几何画板展示题组二教材改编2.[P37T3]已知点

，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是A.双曲线

B.椭圆C.圆

D.抛物线答案解析123456√解析由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.3.[P35例1]曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为______.答案123456解析在曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|＝|x0y0|＝2.解析2题组三易错自纠4.(2017·广州调研)方程(2x＋3y－1)＝0表示的曲线是A.两条直线

B.两条射线C.两条线段

D.一条直线和一条射线答案123456解析√123456即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.5.已知M(－1,0)，N(1,0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是A.双曲线

B.双曲线左支C.一条射线

D.双曲线右支解析答案123456解析由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.√6.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_________________.解析答案123456解析连接OP，则|OP|＝2，∴P点的轨迹是去掉M，N两点的圆，∴方程为x2＋y2＝4(x≠±2).x2＋y2＝4(x≠±2)题型分类深度剖析解答题型一定义法求轨迹方程师生共研典例(2018·枣庄模拟)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程.解

由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>2＝|MN|.应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解.思维升华跟踪训练

已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.解答几何画板展示解

如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0).设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝3<4＝|O1O2|.典例

已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；题型二直接法求轨迹方程师生共研解答化简得y2＝8x(x≠0).又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.解

如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，知|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，证明(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点.证明

由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，其中Δ＝－32kb＋64＞0.即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，整理得2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，

③将①②代入到③中并化简得8(b＋k)＝0，∴k＝－b，此时Δ＞0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0).直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，有建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.思维升华(1)求椭圆C的标准方程；解答因此a＝3，b2＝a2－c2＝4，解答(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.几何画板展示解

若两切线的斜率均存在，设过点P(x0，y0)的切线方程是y＝k(x－x0)＋y0，即(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k1，k2，若两切线中有一条斜率不存在，因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2＋y2＝13.典例(2017·合肥质检)如图所示，抛物线E：y2＝2px(p>0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.题型三相关点法求轨迹方程师生共研解答(1)求p的值；解

由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y2＝2px，解得p＝1.解答(2)求动点M的轨迹方程.解

由(1)知抛物线E：y2＝2x.思维升华“相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.跟踪训练(2018·安阳调研)如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1<t<3与椭圆C2：

＋y2＝1相交于A，B，C，D四点.点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.解答几何画板展示设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，(1)求抛物线与椭圆的方程；规范解答分类讨论思想在曲线方程中的应用思想方法思想方法指导思想方法指导(1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x2，y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论.(2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程.(3)区分求轨迹方程与求轨迹问题.规范解答所以抛物线的方程为y2＝4x，其焦点为F(1,0)，即椭圆的右焦点为F(1,0)，得c＝1.可得b2＝4－1＝3，(2)设Q(x，y)，其中x∈[－2,2]，设P(x，y0)，因为P为椭圆上一点，此轨迹是两条平行于x轴的线段；

[8分]此轨迹表示实轴为y轴的双曲线满足x∈[－2,2]的部分；

[10分]此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[－2,2]的部分.[12分]课时作业基础保分练12345678910111213141516答案解析1.(2017·衡水模拟)若方程x2＋

＝1(a是常数)，则下列结论正确的是A.任意实数a方程表示椭圆B.存在实数a方程表示椭圆C.任意实数a方程表示双曲线D.存在实数a方程表示抛物线√解析当a>0且a≠1时，方程表示椭圆，故选B.2.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是A.y2＝2x

B.(x－1)2＋y2＝4C.y2＝－2x

D.(x－1)2＋y2＝2解析答案12345678910111213141516√解析如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又∵|PA|＝1，3.(2018·湛江模拟)在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足

(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是A.直线

B.椭圆

C.圆

D.双曲线√解析答案12345678910111213141516又λ1＋λ2＝1，∴化简得x＋2y－5＝0，表示一条直线.解析答案123456789101112131415164.(2017·宜春质检)设定点M1(0，－3)，M2(0,3)，动点P满足条件|PM1|＋|PM2|＝a＋

(其中a是正常数)，则点P的轨迹是A.椭圆

B.线段C.椭圆或线段

D.不存在√当|PM1|＋|PM2|＝6时，点P的轨迹是线段M1M2；当|PM1|＋|PM2|>6时，点P的轨迹是椭圆，故选C.5.已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是A.2x＋y＋1＝0 B.2x－y－5＝0C.2x－y－1＝0 D.2x－y＋5＝0解析答案12345678910111213141516√解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.6.(2018·广州模拟)如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是A.直线

B.抛物线

C.椭圆

D.双曲线的一支√解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析本题可构造如图圆锥.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆.故选C.解析答案123456789101112131415167.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________.4π解析设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.∴P的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆.即轨迹所包围的图形的面积等于4π.解析答案12345678910111213141516解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，E，F分别为两个切点，则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，解析答案123456789101112131415169.已知△ABC的顶点A，B坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sinB＋sinA＝

sinC，则C点的轨迹方程为________________.则|AC|＋|BC|＝10>8＝|AB|，∴满足椭圆定义.10.如图，P是椭圆

＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且

，则动点Q的轨迹方程是____________.解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解答1234567891011121314151611.(2017·广州模拟)已知点C(1,0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足

＝0，设P为弦AB的中点.(1)求点P的轨迹T的方程；12345678910111213141516由垂径定理知，|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9，设点P(x，y)，则(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得x2－x＋y2＝4.解答12345678910111213141516(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.12345678910111213141516∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，解得x＝1或x＝－4.由x≥0，故取x＝1，此时y＝±2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2).12.如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足解答12345678910111213141516(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；12345678910111213141516解

设M(x，y)，则D(x,0)，∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴x2＋4y2＝4，解答12345678910111213141516(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.12345678910111213141516解设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，

(*)∴y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)＝k(x1＋x2)－6k∵四边形OAEB为平行四边形，12345678910111213141516消去k，得x2＋4y2－6x＝0，由(*)中Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)>0，技能提升练解析答案12345678910111213141516√13.(2018·宿迁模拟)若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是12345678910111213141516A项，直线x＋y＝5过点(5,0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；答案解析123