2025北师大版高二数学上学期期末教学质量模拟检测（三）（含解析）

2024-2025学年上学期北师大版高二年级期末教学质量模拟检测

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.在空间直角坐标系。xyz中，已知点？（1,3,5）,点0（—1,3,—5）,则（）

A.点P和点。关于x轴对称B.点P和点。关于y轴对称

C.点尸和点。关于z轴对称D.点P和点。关于原点中心对称

2.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究

一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为（）

「3「3「3r3

A.C^C：34B二12二46A4cj2yL643D.C?C^43

42

3.在空间直角坐标系中，点（4,-1,2）关于x轴对称的点的坐标是（）

A.(-4,-l,2)B.(TL-2)

C-(4,1,-2)D-(4,-1,-2)

4.已知点尸(a,l),Q(—2,—3),若|PQ|=5,则。=()

A.1B.-5C.1或—5D._i或5

5.抛物线＞2=4%的焦点到其准线的距离为（)

1

A.-B.1C.2D.4

2

6.已知向量Q=(1,2,-73),=(1,1,73),则。0=（）

A.-1B.0C.1D.2

7.已知《，工分别是双曲线C:?—£=1S〉O）的左、右焦点，M是双曲线C右支上的一个动

点，且|叫「的最小值是8«,则双曲线C的渐近线方程为（）

1-J2x/3（―

A.y=-~xB.y=±《-xC.y=~~^~xD.y=±j2%

22

8.设瓦，居分别是双曲线二-当=1（。〉0]〉0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P,

ab

使（O尸+明）书尸=0,0为坐标原点，且回|+|叫=（4+2我口，则该双曲线的离心率为（）.

A.V3+1B.①C,V6+V2D.^±^

22

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.已知两条平行直线加，n,直线相：3x+4y+2=0,直线“：6x+8y+a=0,直线/n,〃

之间的距离为1,则。的值可以是（）

A.-8B.-6C.12D.14

10.已知R是抛物线C：y2=4x的焦点,46是抛物线C上的两点，。为坐标原点，贝!]（）

A.若A的纵坐标为2,则|AF|=3

B.若直线AB过点F,则|AB|的最小值为4

C.若。4.08=7，则直线A3恒过定点（2,0）

D.若38垂直。的准线于点人且忸阴=2|（9同，则四边形QFB?的周长为3+拓

11.已知棱长为3的正四面体A—BCD，AE=AAD,BF="BC,EM=^EF,2,//e[0,l],

则下列选项正确的是（）

A•当〃=1•时，EFBC=O

B.当〃<!■时，⑼<2^

C.当周=逐时，2+〃的最大值为g

D.当⑷=有时，则1AM『的最大值为14：立

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为工，工」,而他自驾,坐公交

333

车，骑共享单车迟到的概率分别为L,，工,结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是

456

13.已知4—2,-M),6(2,3,3),则线段A3的中点坐标为.

14•点A(2,l)到直线l:x-2y-3=0的距离是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知双曲线］_/=1(6〉0)的离心率为手，求该双曲线的渐近线方程.

16.求焦点坐标为(0,-4)、(0,4%且过点(0,-6)的椭圆方程.

17.求经过点4(3,-1),并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是.

18.设圆C与两圆G(x+2)2+y2=1,02：(%-2)2+寸=1中的一个内切，另一个外切.

(1)求圆心C的轨迹E的方程；

⑵已知直线x—y+m=0(机＞0)与轨迹E交于不同的两点A,8,且线段A5的中点在圆

必+丁2=1()上，求实数相的值.

19.已知直线/:去—y+2左=0与圆C：(x—l)2+(y—2)2=4交于4B两点.

⑴若圆心C到直线/的距离为正，求左的值.

2

⑵是否存在过点的直线/垂直平分弦AB?若存在，求出直线/'与直线/的交点坐标；若

不存在，请说明理由.

参考答案

1.答案：B

解析：由题得点尸与点。的横坐标与竖坐标互为相反数，纵坐标相同，

所以点尸和点。关于y轴对称，

故选：B.

2.答案：A

解析：将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题

只需每个课题依次选三个人即可，共有中选法，最后选一名组长各有3种，

故不同的分配方案为：亡2禺或34,

故选:A.

3.答案：C

解析：在空间直角坐标系中，点(4,-1,2)关于无轴对称的点的坐标为(4,1,-2).

故选：C

4.答案：C

解析：因为点P(a,l),2(-2,-3)，所以।PQ|=J(a+2)2+(1+3)2=5，

所以|a+2|=3,则a=l或-5-

故选:C.

5.答案：C

解析：因为抛物线的焦点到准线的距离为P，

所以由抛物线＞2=4x可得p=2,

则焦点到其准线的距离为2.

故选：C

6.答案：B

解析：Va-Z?=lxl+2xl+(-V3)xV3=0,

故选:B

7.答案：B

解析：方法一：不妨设耳(―c,0)，Q(c,0)，/(%,%)，且x°N2,则

2c248c

\MF^-\MF^[=（xQ+c）+-[（^o-）+]=^o'所以8c=8指，解得°=指，

b=y[2,故双曲线C的渐近线方程为'=±4》.故选B.

方法二：因为

M小M小（眼娟—|M闾）.（胸|+"|）

=4（|MF；|+|MF,|）=4（4+2|MF；|）＞4[4+2（c-2）]=8c,所以8c=8#,解得c=娓，则

b=s/2,故双曲线C的渐近线方程为'=±3》.故选B.

8.答案：A

解析：由（O尸+（?&）•&?=0,

得（OP+O8）（OP—08）=0,

即|0门2-|0叶=0,

所以|0n=|0可=。，

所以APFB中,边与耳上的中线等于闺闾的一半，

则「耳，「工.

即|期「+P阊2=#2,

又巧|=阎叫,

解得归大上百c,|Pg|=C

又|PK|—|PE|=gc—c=2a.

所以e=6+l.

故选：A

9.答案：BD

解析：根据题意得直线机可化为6x+8y+4=0,二加，〃之间的距离[=±±=1,

A/62+82

|a-4|=10,.,.。=14或-6.故选8口.

10.答案：BC

解析：由题意得，p=2,F(1,O),准线方程/：%=—1.

A.由A的纵坐标为2得，A(l,2),故|AE|=2,选项A错误.

B.如图，设直线AB方程为：x=my+1,,

,鼠=切+1”日0

由12信，y-4加y-4=0，

y=4%

二%+%=4根,%+々=根（%+%）+2=4根2+2,

2

•••|AB|=^+x2+/?=4m+4>4>当加=0时，|ABln=4,选项B正确.

C.如图，设直线A3方程为：x=my+t,巩%，%），

,\x=my+t,

由｛2倚，V-4my-41=0，

y=4x

2222

..yiy2--4t,XtX2----r,

2

OA-OB=xix2+yiy2=t-4t=-4^解得［=2，

二直线AB方程为：x="y+2,恒过定点(2,0),选项C正确.

o1

B

D.如图，设点3在第四象限.

由题意得，|叫=1,则网=2|OC|=2.

由准线方程为l=—1得，/=1，故3(1,—2)，BX-1,-2),

•••IBF|=2,|0^|=7(-1)2+(-2)2=75,

，四边形0FB6'的周长为5+«，选项D错误.

故选：BC.

11.答案：ACD

解析：由正四面体A—5CD，可知=/RAD,NCAD=60°,

选AB,AC,AD为空间内的基底向量，

当〃=5，EF=EA+AB+BF=-AAD+AB+-(AC-AB)

=-AAD+-AB+-AC,

22

BC=AC-AB^所以EFBC=(-AAD+^AB+^AC)(AC-AB)

1121.21

=-AADAC+-ABAC+-AC+AADAB——AB——ACAB

2222

=-2x3x3x—+—x3x3x—+—x32+2x3x3x--—x32-—x3x3x—0-故A正确;

22222222

因为EF=EA+AB+BF=-AAD+AB+^AC-AB)

=-AAD+(1-〃)AB+,

当;I=〃=0,EF=AB=3>?故B错误；

2

.2°

EF=[-2A£>+d-ju)AB+//AC]2

,2.2-2..

=22AD+(1-M2AB+/LTAC-22(1-//)AZ)-AB+2//(l-//)AB-AC-2/72AD-AC

=93+9(1-+9储-92(1-ju)+9ju(l-/z)-9//A=9A2+9//2—9(X+〃)+9

=9(2+//)2-9(2+//)+9-182//>9(2+//)2-9(2+//)+9-18x>

X|EF|=75,所以529(2+〃)2—9(/U〃)+9—18X('；〃)2，

整理得9(2+〃)2_9(2+〃)+4—18'出土立40,当且仅当4=〃时取等号，

4

化简得9(/l+〃)2—18(力+〃)+8<0，解得;+故C正确；

AM=AE+EM=AE+-EF=2AD+-(-2AD+(1-//)AB+//AC)

1

=-[AAD+(1-〃)AB+〃AC],

所以=；[4AD+(1_〃)AB+〃ACf

=；[9/2+9(1—〃)2+9/?+92(l-//)+9//(l-//)+9//2]

=1[922+9/?+91-9//+9]，

由9力+9〃2+9=9(4+〃)+5，所以卜河『=；[18X+5]，

因为彳2+〃2_.+〃)=_:,所以Q_g)2+(〃_g)2=1,|=_L,

所以Q—所以4—所以彳三义+工，

21823V23V22

所以=-[182+5]<-[18(^+-)+5]=14+3A^>故D正确.

11443024

故选：ACD.

12.答案：竺

37

解析：设小明迟到为事件A,小明自驾为事件仇

则P(A)=L><L+LXL+J_XL=^,P(AB)=LXL=L.

V7343536180'73412

1

则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为P(B|A)=,符=留=A

180

故答案为：11.

37

13.答案:(0,1,2)

解析：因为A=(—2,—1,1)，8=(2,3,3)，所以线段AB的中点坐标为(0,L2)，

故答案为：(0,1,2).

14.答案：些

5

解析：点A(2,l)到直线/:龙—2y—3=0的距离为d=

故答案为:还

5

15.答案：y=±二

2

解析：根据题意,双曲线E—《=1付＞0)的离心率为亚，

4〃''2

所以£=立,所以c=6,

a2

2

由0?=4+〃，得〃=1，所以双曲线方程为三-寸=1，

因此该双曲线的渐近线为y=士二.

2

故答案为：y-+—■

2

22

16.答案：二+匕=1

2036

解析：因为椭圆的焦点坐标为(0,-4),(0,4),所以c=4,

又椭圆过点(0,—6),所以。=6，廿=/一。2=36—16=20,

22

所以椭圆方程为工+匕=1.

2036

22

17.答案：----=1

88

解析：设双曲线的方程为/—/将点a。—1）代入得：9—1=2，故双曲线的标准方程

22

为:土-^=1；

88

22

故填:-------=1

88

18.答案：⑴f-匕=1

3

⑵士2

解析：⑴圆G：（x+2y+y2=i的圆心为G（_2,0）,半径为1,

圆G：（x—2）2+丁=1的圆心为&（2,0）,半径为1,

设圆C的半径为r,

若圆c与圆G内切，与圆。2外切

则■=-1,陷|=厂+1，

可得|CGHCGI=2；

若圆c与圆G内切，与圆G外切

则陷|=厂-1阳|=厂+1,

可得

综上所述：归G|—|CG||=2，

可知：圆心C的轨迹E是以G、G为焦点的双曲线，且a=l,c=2,

可得Z?2=02—储=3

所以圆心C的轨迹E的方程好一二=1.

3

X2_£=1

⑵联立方程3

X—y+m=0

消去y得2/—2s—3=0,

则△=4m2-8（-m2-3）=12（m2+2）＞0

可知直线与双曲线相交，

设4（石,乂）,3（孙％）

线段A3的中点为M（%,%）,

且在圆/+y2=10上

解得m=±2,

所以实数加的值为±2.

7

19.答案：（1）左=1或左=，；

17

（2）不存在，理由见解析

解析：（1）由圆C：（x—iy+（y-2）2=4可知，圆心C（l,2），半径厂=2

圆心C到直线I的距离d=匕2+2左|=叵,

V17F2

化简得17左2_