2025届高考数学一轮复习专练：概率（含解析）

2025届高考数学一轮复习专题训练概率

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准

备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（）

A.lB.lC.lD.1

2346

2.从长度为1,2,3,4,5的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（）

A.0.2B.0.3C,0.4D.0.5

3.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，译出的概率分别!,则此密码能被译出的概率是

534

12八359

A.—B.-C.-D.—

605560

4.从标有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的

倍数的概率为（）

3132

A.—B.—C.—D.—

10353

5.甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每个人从第2层开始在每一层离

开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和为9的概率是（）

b?qDi

6.从标有数字1,2,3,4的四张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字相邻的概率是（）

A.lB.l1C.±2D.3_

3234

7.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为H7,第二次向上的点数记

为〃，则〃〈根《2〃的概率等于（）

131

AB.-C.—D.一

i644

8.一袋中装有大小、质地均相同的5个白球,3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑

球的概率是()

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.下列说法正确的是()

A.已知随机变量X服从二项分布B(4,J],则£>(X)=1

B.设随机变量X服从正态分布若尸(X>1)=0.15,则P(—l<X<0)=0.15

C.已知一组数据为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,则它的第70百分位数为7

D.若事件A,2满足P(A)>0,P(B)>0,尸(0A)=P(5)则事件A,8相互独立

10.小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人

所去景点相同”，事件3为“只有小张去甲景点”，则()

A.这四人不同的旅游方案共有64种

B.“每个景点都有人去”的方案共有72种

"团可=(

D.“四个人只去了两个景点”的概率是H

27

11.甲、乙、丙、丁四人共同参加4项体育比赛,每项比赛的第一名到第四名的得分依次为5分,3分,2

分,1分.比赛结束甲获得16分为第一名,乙获得14分为第二名，且没有同分的情况.则()

A.第三名可能获得10分

B.第四名可能获得6分

C.第三名可能获得某一项比赛的第一名

D.第四名可能在某一项比赛中拿到3分

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某校组织羽毛球比赛，每场比赛采用五局三胜制(每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比

赛)，两人第一局获胜的概率均为工，从第二局开始，每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若

2

上局获胜，则该局获胜的概率为匕£，若上局未获胜，则该局获胜的概率为匕“，且一方第一局、

22

第二局连胜的概率为上.则打完4场结束比赛的概率为.

16

13.小刚参加一种答题游戏，需要解答ABC三道题，已知他答对这三道题的概率分别为a,a,

2

且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为工，则他三道题都答错的概率为

4

14.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%,乙厂产品占40%,甲厂产品的合格率为85%,

乙厂产品的合格率为80%,在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率

为；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.2024年西部数学邀请赛于8月4日至10日在上海隆重举行，此次赛事不仅是对中学生数学能力的

一次全面考验，更是对数学教育未来发展的深刻实践探索，共有200多名学生参赛，引起社会广泛关注,

点燃了全社会对数学的热情.甲、乙、丙3名同学各自独立去做2024年西部数学邀请赛预赛中的某道

题,已知甲能解出该题的概率为2,乙能解出而丙不能解出该题的概率为L甲、丙都能解出该题的概率

38

为L

2

(1)求乙、丙各自解出该题的概率；

(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.

16.某出租车公司购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国纯电动汽车按续航里程数R(单

位：千米)分为3类，即A类：80<7?<150,B类:150WH<250,C类:R2250.该公司对这

140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：

类型A类B类C类

已行驶总里程不超过10万千米的车辆数104030

已行驶总里程超过10万千米的车辆数202020

(1)从这140辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过10万千米的概率；

(2)公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况解题思路，按表中描述的六种情况

进行分层抽样，设从C类车中抽取了w辆车

①求n的值；

②如果从这n辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万千米的概率.

17.袋子中放有5个除颜色外完全相同的小球，其中有标记为耳，&的2个红球，标记为

%,%的2个白球和1个标记为3的黑球，从中不放回地依次摸出2个球，观察球的颜

色.

⑴写出试验的样本空间Q并计算“（Q）;

⑵设事件A为“一黑一白”，求尸⑷.

18.甲乙两人各有5个材质、大小、形状完全相同的小球，甲的小球上面标有6,7,8,9,10五个数字，乙的

小球上面标有123,4,5五个数字.把各自的小球放入两个不透明的口袋中，两人同时从各自的口袋中随

机摸出1个小球.规定:若甲摸出的小球上的数字是乙摸出的小球上的数字的整数倍，则甲获胜,否则乙

获胜.

（1）写出基本事件空间。

⑵你认为“规定”对甲、乙二人公平吗?说出你的理由

19.已知关于尤的二次函数/（力=依2—4桁+1.

（1）设集合P={1,2,3}和Q={—1,1,2,3,4卜分别从集合P和。中随机取一个数作为a和仇求函数

y=/（x）在区间［1,+oo）上是增函数的概率；

x+y—8Ko

（2）设点（a,。）是区域{%>0内的随机点,记事件“函数y=/（x）有两个零点,其中一个大于

y>0

1,另一个小于1”为事件M求事件M发生的概率.

参考答案

1.答案：B

解析：将4个盒子按顺序拆开有A：=24种方法，

若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，

则前两个盒子都是白球或都是黑球，有A；A；+A；A；=8种情况，

则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为尸=_§_=工.

243

故选:B

2.答案：B

解析：从长度为123,4,5的5条线段中任取3条，

则可能结果有

（1,2,3），（1,2,4）,（1,2,5），（1,3,4）,（1,3,5）,（1,4,5）,（2,3,4）,（2,3,5）,（2,4,5），（3,4,5）共10种情况,

其中满足这三条线段为边能构成一个三角形的有（2,3,4）,（2,4,5），（3,4,5）共3种情况，

所以以这三条线段为边能构成一个三角形的概率P=—.

10

故选:B

3.答案：C

解析：用事件A,B,C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，

则尸⑷=占，P（3）=；P（C）=；

534

.——-4232

且P（ABC）=P（A）P（B）-P（C）=-x-x-=-.

23

/.此密码能被译出的概率为1--=-.

55

故选：C

4.答案：C

解析：根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，

有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,

（4,5）,（4,6）,（5,6）共15种取法，

其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有（1,3）,（1,6）,（2,3）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,

（4,6）,（5,6）共9种情况，

93

则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率P='=2.

155

故选：C.

5.答案：C

解析：将甲乙两人离开电梯的楼层数配对，组成6x6=36种等可能的结果，用表格表示

如下：

乙

甲

234567

2(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)

3(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)

4(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(4,7)

5(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(5,7)

6(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(6,7)

7(7,2)(7,3)(7,4)(7,5)(7,6)(7,7)

记事件A="甲乙两人离开电梯的楼层数的和是9”，

则事件A的可能结果有6种，即A=｛（2,7）,（3,6）,（4,5）（5,4）,（6,3）,（7,2）｝,

所以事件A的概率为：P（A）=—=-,

'J366

故选：C.

6.答案：B

解析：由题意可知，样本空间。=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）卜共6种，卡片数字相邻的有

（1,2）,（2,3）,（3,4）共3种,

所以所求概率尸=▲=！.

62

故选：B.

7.答案：D

解析：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，

将第一次向上的点数记为北

第二次向上的点数记为〃，基本事件总数有6x6=36种,

n<m<2n包含的基本事件(m,n)有9种，分别

为:(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4),(6,3),(6,4),(6,5)

91

:.n<m<2n的概率为P=一=一.

364

故选:D

8.答案：B

故选B

9.答案：AD

解析：因为随机变量X服从二项分布814,；],

则Z>(X)=4xgx(l—；)=1,故A正确；

因为随机变量X服从正态分布N(0,1),

则对称轴为〃=0,P(-l<X<0)=1[1-2P(X>1)]=0.35,故B错误；

这组数据的第70百分位数为匕^=7.5,故C错误；

2

因为「(3|A)=f^=P(3),

所以P(AB)=P(A)尸(3),

所以事件A,B相互独立

故选：AD.

10.答案：CD

解析：A选项，每个人都有3种选择，故共有34=81种旅游方案，A错误;

B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，

另外两个景点各去1人，

故有里C.A；=36种方案，B错误；

C选项，恰有两人所去景点相同，

即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，

由B选项可知，“（4）=36,

又事件A3,即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，

其余1人去另一个景点，

故“（AB）=C；C；A；=6,

所以P画A）=少学=LC正确；

'7"（A）6

D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，

第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有C；C：A；=24种方案,

第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有£.A；=18种方案，

A；

由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，

故“四个人只去了两个景点”的概率为生更=匕，D正确.

8127

故选：CD

11.答案：ABD

解析：由题设，

第一名16分,情况如｛2个第一,2个第二｝、｛3个第一,1个第四｝,

第二名14分,情况如｛1个第一,3个第二｝、｛2个第一,2个第三｝,

｛2个第一,1个第二,1个第四｝,

所以，第一名与第二名各比赛项目组合情况如下：

第一种情况为：第一名｛2个第一,2个第二｝,第二名｛2个第一,2个第三｝,

或｛2个第一,1个第二,1个第四｝,

第二种情况为：第一名｛3个第一,1个第四｝,第二名｛1个第一,3个第二｝,

综上，第三名最好成绩为｛2个第二,2个第三｝，即最高分为10分，

故A正确,C错误；

当第三名｛2个第二,2个第四｝，则第四名｛2个第三,2个第四｝时，

此时第四名获得6分，故B正确；

当第三名｛1个第二,2个第三』个第四｝，则第四名｛1个第二,3个第四｝时,

此时第四名在某一项比赛中拿到3分，故D正确；

故选：ABD.

165

12.答案:

512

解析：令事件a为一方在第z•局获胜，，=1,2,3,

5

则连胜两局的概率=解得;4,

16

若打完4场结束比赛，则需一方以3：1获胜,

因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可,

其中一方在第1、2、4场获胜的1概53率3=:4匕5

128881024

其中一方在第1、3、4场获胜的概率鸟=二1*]3><33><二5=4:5^

228881024

135575

其中一方在第2、3、4场获胜的概率

328881024

45+45+75165

所以打完4场结束比赛的概率P=2仍+2+4)=2x—~

'123/1024512

165

故答案为:

512

13.答案：-

4

解析：记小刚解答A,B,C三道题正确分别为事件。，E,F,

且。，E,F,相互独立，

且尸(O)=P(E)=a,P(F)=-

因为他恰好能答对两道题的概率为工,

4

可得P(DEF+DEF+DEF)

=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)

=axtzx(l-—)+tzx(l-a)x—+(l-a)xax—=—,

2224

整理得(1—a)2=；,

所以他三道题都答错的概率为P(DEF)=P(D)P(E)P(F)

,11

=(l-a)2(l--)=-

故答案为：一.

4

14.答案：0.255或a-；0.83或坦

200100

解析：在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为:

4x0.85x（1-0.85）=0.255,

在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为：

0.6x0.85+0.4x0.8=0.83-

故答案为：0.255;0.83.

15.答案：⑴1,2

24

（2）—

24

解析：（1）设“甲解出该题”为事件A“乙解出该题”为事件民“丙解出该题”为事件C,

则相互独立，

由题意得P（A）=|,P（AC）=P（A）P（C）=|.p（C）=g

所以P（c）=；，P®）=尸⑻尸©=尸（砌1-尸©）=尸（8）（1-

所以P（B）=L,所以乙、丙各自解出该题的概率为

''224

（2）设“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件2

则D=ABC，

因为P（A）=|,P（B）=；，P（C）=*

所以P（可伍）=g,尸（6=g

因为彳、耳、「相互独立,

所以P（Z＞）=1—P（5）=1—P（丽。）=1—P⑷尸闾P©=1—；小；=葛

所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为空.

24

2

16.答案：（1）

7

3

（2）①5；②一

5

解析：（1）由题意，从这140辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过10万千米的概率为

20+20+203

1407

（2）①依题意i=30+20xi4=5.

140

②5辆车中已行驶总里程不超过10万千米的车有3辆，记为a,b,c;

5辆车中已行驶总里程超过10万千米的车有2辆，记为机，n.

“从5辆车中随机选取两辆车”的所有选法共10种：ab,ac,am,an,be,bm,bn,cm,cn,

mn.

“从5辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过10万千米”的选法共6种：am,an,bm,

bn,cm,cn,

则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过10万千米的概率£=^=|.

17.答案：⑴答案见解析，〃（Q）=20;

⑵P（A）=g

解析：（1）袋子中放有5个除颜色外完全相同的小球，从中不放回地依次摸出2个球，

则该试验的样本空间可表示为

C=｛（%鸟）,（&叱）,（&叱）,（45）,（鸟叫）,（0叱）,（鸟㈤,（%叱），（％可,例㈤,

（鸟,4）,（%«）,（%«）,（民用）,（叼4）,（%鸟）,（昆&）,（叫叫）,（5叫）,（反吗）｝，

"Q）=20.

（2）事件A为“一黑一白”包含的样本点（叱,可，（吗,与），（民叱），（氏叱），共