2025届高考数学一轮复习专练：一元二次函数、方程和不等式（含解析）

2025届高考数学一轮复习专题训练一元二次函数、方程和不等式

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.关于X的一元二次不等式（x—2）［（a—l）x+（2—a）］>0,当0<。<1时，该不等式的解集为（）

a-2]

A.{x|x>2或x|2<x<

a—1a-1J

C.{x|x<2或D.|A-|^1<X<2!

2.已知二次函数y=（左-3）f+2x+l的图象与x轴有交点，则上的取值范围是（）

A.左<4B.^<4

C.左<4且左w3D.左W4且左W3

3.不等式—%2+6%+27>0的解集为（）

A.1x|-3v%v9}B.1%|-9vxv3}

3或x>9}9或%>3}

4.不等式（Q—2）f+2（Q—2）x—4N0的解集为0，则实数〃的取值范围是（）

A.{4一2<a<2^B.{《一2<〃v2}

C.{4〃<一2或aN2}D.^a\a<2}

a9

5.若《1>0，”>0,且3ni+2〃-1=0,则—I■一的最小值为（）

mn

A.20B.12C.16D.25

6.设xeR，则“—3<%<3”是“无2+2%_3<0”成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.设集合A={—2,—1,0』,2},3=例d+x—2<o},则AB=()

A.{-2,-1,0}B.{-l,0}C.{-1,0,1}D.{0,l,2}

8.已知全集。=R，集合A={x|3x—6>0}，B={x|x2-5x+4<0)JO(^A)B=()

A(x|l<%<2}B-{^|2<%<4}C.1x|l<%<2}D.|x|x>l}

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知。>0,8>0，a+2/?=2，则下列结论正确的有()

A.ab的最大值LB/2+)2的最小值为1

2

C+2的最小值2D的最小值号

ab22a+ba+3b5

10.下列说法中正确的是()

A.若〃>Z?，则,<'B.若匕<〃,则〃</

ab

C若〃>/?>c,则(tz-c)2>(Z?-c)2D.若&<&，则a<b

711?

11.已知正数〃力满足〃>4+七/2±+±,则()

abab

]]2J311

A.cib3B.+Z?)212C.—I—2------D.—i—<\/2

ab3ab

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知不等式％2_2依+2>0对XER恒成立，求实数〃的取值范围__.

12

13.若i〉0，y>0，且x+2y=4，则—I—的最小值为.

xy

14.已知根,〃wR,定义运算切n=mn+2m+n,则(x—2)v0的解集为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知二次函数y=ax2+bx—a+2-

(1)若关于x的不等式依2+乐_〃+2>0的解集是{%[-1<%<2},求实数a,b的值;

（2）右a>O，b=2,解关于x的不等式ax2+bx—a+2>0-

16.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABC。和

EFGH构成的面积为ZOOM?的十字形地域。计划在正方形MNP。上建一座花坛，造价为4200元/n?；

在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/n?；再在四个空角（图中四个

三角形）上铺草坪，造价为80元/n?设总造价为S（单位：元），长为x（单位：米）。当x为

何值时，S最小？并求出这个最小值。

17.在“基本不等式”应用探究课中，老师提出了下列问题：已知正实数mb满足2a+b=l,求工+工

a2b

的最小值。

甲、乙两位同学对该问题给出了两种不同的解法，甲给出的解法是:

1-2a+b>lyflabny[ab<

+=~^-2^2x^2=4,

a2bVlab7ab

所以工+」的最小值为4。

a2b

乙给出的解法是：-+—=f-+—^2«+M=2+-+-+->2J---+-=-,

a2b2b）ab2\ab22

119

所以—i---的最小值为一。

a2b2

⑴请你判断哪位同学的解法正确，并指出解法错误的原因；

（2）结合上面的材料，求解下面的问题：

19

①已知正实数“，6满足一+—=1,求的最小值，并求出取得最小值时〃，8的值;

ab

211

②已知0<%<—,试求一+------的最小值，并求出取得最小值时x的值。

3x2—3%

18.已知定义域为R的函数,/（力=就言是奇函数.

(1)求a,b的值；

⑵若对任意的/eR,不等式/(?-2?)+/(2/—Q<0恒成立，求实数k的取值范围.

19.某村民欲修建一座长方体形水窖，水窖的容积为6立方米，深度为L5米，底面周

长不超过10米，水窖的底部每平方米造价为400元，侧面每平方米造价为200元，顶部

每平方米造价为300元，设水窖的底面一边长为x(单位：米)，总造价为/(%)(单位:

元).

⑴求函数/(力的解析式及定义域.

⑵当X取何值时，水窖的总造价“X)最低？最低是多少？

参考答案

1.答案：B

解析：由0<a<1，则a—1<0，原不等式等价于不等式(x-2)卜-巴・]<0的解集,

又由0<a<l，则方程(x—2)(x—q二]=0的两根分别为jq=2，x,=幺二，

(a-1)a-1

当0<a<l时，2<@二,故原不等式的解集为[x|2<x<g].

a-1La-1J

故选：B.

2.答案：D

解析：由已知二次方程(左-3)f+2x+l=0有解，

所以左一3/0,且4—4(左一3)20,

所以4W4且左w3.

故选：D.

3.答案：A

解析：由一%2+6%+27>0,得6%—27<0，

即(X—9)(%+3)<0,解得一3<x<9，

所以不等式_%2+6%+27>0的解集为卜|一3<%<9}.

故选:A.

4.答案：A

解析：因为关于X的不等式(a—2)f+2(a-2)x-420的解集为0,

所以关于x的不等式(a-2)必+2(。-2)x-4<0的解集为R

当。-2=0,即a=2时T<0,显然满足题意；

当a-2*0,则『一2<°，解得-2<a<2；

,A=[2(a-2)]2+4x4x(a-2)<0

综上2<aW2,即实数。的取值范围是{a|-2<a<2}.

故选:A.

5.答案：D

解析：因为3帆+2〃一1=0,所以3机+2〃=1,

6Hz

(3m+2n)=9+—+—+4>13+213+12=25,

mn

-时取等号,

mn5

所以3+2的最小值为25.

mn

故选:D.

6.答案：B

解析：由尤2+2%—3<o,解得：—3<%<1，

因为一3<x<34—3<兀<1，而一3<%<1=—3<%<3，

所以“一3<x<3”是+2X-3<0”成立的必要不充分条件・

故选：B.

7.答案：B

解析：由题意知8=(-2,1),则A6={-1,0},故选B.

8.答案：C

解析：因为A={x|3x—6>0}={x|x>2},B=^x\x2—5x+4<0|=|x|l<x<4},

所以dA={x|x<2},.-.(^A)iB={x|l<x<2}.

故选：C.

9.答案：ACD

解析：A选项，ab=—'xa'x.2b<—x[a+^^\—J_,

22I2J2

当且仅当a=%=1时等号成立，所以A选项正确.

B选项，由。>0,b>0，a+2b=2,得a=2—2/?>0,则0<b<1，

-84

所以=（2—2人）2+入2=5人2—8人+4,对称轴为人=一

2^55

所以当6=±时，/+〃取得最小值为5x（±[—8义±+4=±，

5⑸55

所以B选项错误.

1211J\1I_2Zub2a

C选项,—I—二一+a+2355+工+

ab2aia~b

当且仅当：彳

4+2.=!,。=人=2时等号成立,

3

所以c选项正确.

D选项，设Q+2Z?=x(2Q+/?)+y(a+3Z?)=(2x+y)a+(x+3y)/?，

则尸x+y=i,解得<5；

%+3y=2_3

13

所以g(2a+b)+y(〃+3b)=2,

二匚【、i13(13)「l/c1\3/

所以-------1------------1---------(2a+Z?)~\--(a+3Z?)

2a+ba+3b\2a+ba+3bJ\_lQy710v7J

i3a+3b32a+/?、i3,la+3b2a+b8

=l+——x-----+——x----->1+——x2J-----x-----二一，

102a+b10a+3bIO72a+ba+3b5

当且仅当"+3"=20+b,2a+b—a+3b»〃=2b=l时等号成立，

2a+ba+3b

所以D选项正确.

故选：ACD

10.答案：CD

解析：对于A,当Q==—1时,=1>—1=J■，故A错误；

ab

对于B,当〃=—11=1时/=i，故B错误；

对于C,若则Q—C>Z?—C>0，

所以（a—c）2>e—c）2,故c正确；

对于D,若血<C,则0<&<G，则〃<匕,故D正确•

故选:CD.

11.答案：ABD

解析：a2—+—力2—+—,所以a+Z?2±+±,即a+人23・巴上，因为a+/?>0,所以"23,故A

abababab

正确;(a+b)N仅Jab)>^2V3j=12,故B正确;取a=2,b=2,则满足aN—卜卫,bN—i~g,此

时—I—=1<———，故C不正确;所以一<――，同理一<――，所以—I—<J5，故D正确.故选ABD.

ab3a2b2ab

12.答案：(-V2,V2)

解析：因为不等式2奴+2>0对xeR恒成立，

所以△=(-Zap-4-2<0,所以-夜<a<VL

故答案为：(-V2,V2)

Q

13.答案：-

4

121fl2\、1(2xrr\9

解析：—I—=_x—I—(x+2y)=—x5cH------1-----N—x(5+2o,4)=一

xy4{xy)y41yxl4、4

当且仅当在=型时等号成立，因此最小值为2

yx4

故答案为：2

4

14.答案：｛x|—2<x<l｝

解析：因为x(x-2)<0,

贝!]—2)+2x+x—2=%?+%一2<0,

解得—2<x<1.

所以x(x—2)<0的解集为｛幻―2<%<1｝,

故答案为：｛x[—2<x<l｝.

15.答案：⑴。=—2,b=2；

(2)答案见解析.

解析：⑴由不等式而：2+云_。+2>0的解集是｛x[T<]<2｝，

得-1和2是一元二次方程依2+辰_。+2=0的两个实数根，且a<0,

b

—1+2=—

a

于是，解得a=—2，Z?=2,

-a+2

-1x2=

a

所以Q=—2力=2・

(2)a>0,不等式ax2+2x—a+2>0化为(x+l)(tzx—〃+2)>0,即(x+l)(x-------)>0,

a

当0<a<l，即巴2<-1时，解不等式(x+l)(x—伫2)>0,得工<纥2或%>—1；

aaa

当。=1，即—1=伫2时，不等式(x+l)(x—巴3>o的解为xw—i；

aa

当a>l，即—1〈伫2时懈不等式(x+l)(x—g)>0,得％<—1或工〉纥^,

aaa

所以当0<〃<1时，不等式的解集为［x\x<―――或%>—1｝；

a

当〃=1时，不等式的解集为｛XIXW-1｝;

当a>1时，不等式的解集为［x\x<-1或犬>—一-)•

a

16.答案：％=时，5mhi=118000元

解析：设=则f+4孙=200ny=笆—工］，

x4

则S=4200x2+210x4xy+80x2/

2

=4200/+210x（200-x2）+1601-

=4。。收+乎+38。。。

X

>2A/4X103X4X105+38000=118000

当4000酎=4。0？00=9=100,x=&5时，取等号

X

故当x=时，5mhi=118000元。

17.答案：(1)答案见解析

⑵①最小值为8；a=2,b=4-

②2+6

解析：(1)乙的解法正确

甲的解法中使用两次基本不等式时，等号不能同时成立

（2）①2a+6=（2a+Z?）

、[/b4a[c

当一二——nb=2a,

ab

即〃=2,b=4时，等号成立

「.2Q+Z?的最小值为8

2

②，0<x<—，

3

2—3x>0,

3+3(2-3%)+3x(4+2@xg=2+百

3x2-3x+1十

当3(2—3x)3xn(3x)2=3(2—3x)2,

3x2—3%

解得x=l-3时，等号成立

3

-+―1—的最小值为2+石

x2-3%

18.答案：（1）〃=2/=1

解析：（1）因为/（尤）是R上的奇函数,

所以/（0）=0,即/^=0,解得匕=1.从而