2025届高中数学三轮冲刺高考模拟卷（三）含解析

高考仿真卷（三）

（时间：120分钟分值：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的）

1.若全集U=R,集合A={x[0Wx<3},B={x|l<x<4},则4门（〔亦）等于（）

A.[0,1）B.[0,1]

C.（-8,1）D.（-8,i]

2.已知z="£,贝！J2的虚部为（）

1—1

A.2iB.-2iC.-2D.2

3.已知两个非零向量a,b^^\a+b\=\a-b\,则a/在b上的投影向量为（）

A.bB.-bC.-bD.--b

22

4.已知球的半径为1,其内接圆锥的高为|,则该圆锥的侧面积为（）

5.已知函数兀c）=ln（ax+2）在区间（1,2）上单调递减，则实数〃的取值范围是（）

A.avOB.-lWavO

C.-l<6i<0D.a2-1

6.已知tana=2,tan（a+胃）=-l,则等于（）

A.士1B.-2C.12D.-

235

7.一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标以数字1到8,将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的

数字依次为xi,X2,事件A="为=3"，事件3="改=6"，事件C="Xi+X2=9"，贝U（）

A.AB=CB.A+B=C

C.A,B互斥D.B,C相互独立

8.已知椭圆C：?+胃=13>6>0）的左、右焦点分别为产1,上，A3为过点分的弦，M为的中点，

3丽=4用瓦AB±MF2,则C的离心率为（）

A.5-B.4-C.-3D.2-

7777

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分）

9.已知函数於）=sin（3%+以（①>0）的最小正周期大于],若曲线月（%）关于点得，0）中心对称，则下列

说法正确的是（）

B.y=f（x+5是偶函数

孰书是函数於）的一个极值点

D.7（x）在（0,以上单调递增

10.设抛物线C：寸=4丫的焦点为凡P是C上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A.点尸到F的距离比到x轴的距离大2

B.点P到直线y=x-3的最小距离为鱼

C.以P尸为直径的圆与x轴相切

D.记点尸在C的准线上的射影为H,则△PM不可能是正三角形

11.设xi，X2（xi<%2）是直线广。与曲线/（x）=x（l-lnx）的两个交点的横坐标，贝!］（）

A.xi%2<e

B.x21n%i>xilnX2

C.3tze（0,1）,X2-Xi>ea

D.V〃e（0,1）,xilnxi+xi>a

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

n

12.设（1+X）〃=ao+〃1X+42X2+…+〃仃"（〃三1,〃金N）,若"5>。4，且〃5>。6，贝U.

i=1

13.某人上楼梯，每步上一个台阶的概率为:，每步上两个台阶的概率为;，设该人从第1个台阶出发,

44

到达第3个台阶的概率为.

14.在梯形A3CO中，AB//CD,DA=DB=DC=1,则该梯形周长的最大值为.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（13分）已知各项均为正数的数列｛〃.｝的前n项和为S„,且2S„=an（a„+l）.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；（6分）

（2）证明：不+不+…+丁<2.（7分）

16.（15分）某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如表:

样本号i12345

第为天12345

参观人数%2.42.74.16.47.9

55

并计算得，s和尸85.2,S际=55,%=3,9=4.7.

i=1i=1

（1）求y关于x的经验回归方程，并预测第10天入校参观的人数；（7分）

⑵已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离

校的概率为?从另一处门离校的概率为I.假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名

参观者都从1号门离校，求他们从不同门进校的概率.（8分）

n

AAz

AA(%i-x)(yj-y)aA

附：经验回归方程y=bx+a,其中--------，a=y-bx.

i=l

17.（15分）正四棱台A3CD-AbBCiA的下底面边长为2鱼，AiB^AB,M为3c的中点，已知点P满足

AP=（l-^AB+^AD+AAA1,其中26（0,1）.

(1)求证：DiP±AC；(6分)

（2）已知平面与平面A3C。夹角的余弦值为,，当丸=|时，求直线DP与平面AMG所成角的正弦

值.（9分）

22

18.（17分）已知双曲线C：号卷=1（或>0,人>0）的左、右焦点分别为吊，F2,焦距为4,C上一点尸满足

cosZFiF2P=-y,且△尸尸风的面积为2V1

（1）求C的方程；（5分）

（2）过C的渐近线上一点7作直线/与C相交于点M,N,求7Mlim的最小值.（12分）

19.（17分）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,

为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数»=^（x>0）,<x）在区间［a,切上的图象连续不断,

从几何上看，定积分网便是由直线x=a,x=A,y=0和曲线所围成的区域（称为曲边梯形A3QP）

的面积，根据微积分基本定理可得方］dx=lnFlna,因为曲边梯形尸的面积小于梯形A3QP的面

积，即S曲边梯形AB°P<S梯形AB的代入数据，进一■步可以推导出不等式：

ab

（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：高3〈詈；（4分）

（2）已知函数於尸加+版+/］,其中a,Z?£R.

①证明：对任意两个不相等的正数沏，X2，曲线y/x）在点（X1，«xi））和。2，八%2））处的切线均不重合；（6

分）

②当b=-l时，若不等式#x）22sinOl）恒成立，求实数a的取值范围.（7分）

答案精析

1.B[由B={x|l＜%＜4},

得C阳小＜1或x24},

而4={4。＜尤＜3},

所以An(C/)=[O,1].]

=-2-2i,

则"2+2i,，的虚部为2.］

3.B［由|〃+加二|a-5|,得|a+肝二|a-肝，

即(^+2ab+b1=a1-2a-b+b1,整理可得ab=O,

所以a-b在b上的投影向量为件皆斗=(吉及=心］

4.C［因为球的半径R=\,其内接圆锥的高h=l,

所以圆锥的底面圆半径/2_(|_1)2号,母线长/=佰)2+©2=7_,

所以侧面积S=7rr/=7rx^xV3=y.］

5.B［因为函数於:)=ln(<*+2)在区间(1,2)上单调递减，

且产Inx在定义域内为增函数，所以产G+2在(1,2)上单调递减，且恒大于0,

6.D[因为tana=2,

tan(a+0)—tana_-1-2

所以tan夕=tan[(a+夕)-a]二

l+tan(a+0)tanal+(-l)x2

sin(cr-/?)_sinacosj?-cosasin^_tana-tan^_2-3_1

cos(a+0)cosacos/?-sinasin01-tanatan^1-2x35

7.D［对于A,事件C发生时，事件AB不一定发生，所以A错误；

对于B,当修=1,尬=8时,事件C发生，但事件A+B不发生，所以B错误；

对于C,当xi=3,检=6时，A,8同时发生,所以C错误；

对于D,P(B)=i,P(C)=i,P(BO=5,P(B)xP(Q=P(BC),所以D正确」

ooo4

8.A［设|A尸i|=4x,因为3丽=4用，M为A尸i的中点，

所以|5尸i|=3x,\MFi\=2x.

由椭圆的定义可得5BI+LB尸2|=2〃z\AFi\+\AF2\=2a,

所以|4/2|=2。-4元,\BF2\=2a-3x.

又因为A3LM&,以为AR的中点，

所以M尸2旧尸匹F・|MB|2二|5尸2|2・|函2,|AB|二|西尸2|,

设椭圆的半焦距为。，

所以4c2-4x2=(2a-3x)2-25x2,2a-4x=2c,

所以^c^-3ax-Sx1,^=~~I

以(0-〃)(0+〃)+3〃乂。2。+3(。2—0,

所以(5Q-7C)(Q-C)=0,

因为a>c,所以5a=lc,

所以椭圆C的离心率e=?W」

9.ABC[因为危)=sin(3久+或(0>0)的最小正周期大于1,

所以空冷，即。<“<4.

又y=/H)关于点C，o)中心对称，

所以三。+三=也(止2),

所以a)=-l+3k,因为0<to<4,所以当仁1时，0=2,

所以加)=sin(2x+g).

对于A,/(R)=sin(2x]++-sinA乎,故A正确;

对于B,f(x+S=sin[2(%+5)+f|=sin(2x+%cos2x,

由cos(-2x)=cos2x且,

所以y=f(x+与是偶函数，故B正确；

对于c,7(x)=2cos(2x+,

令八x)=0得x4，止Z,

当^雪，白)时,7(x)>0,外)单调递增,

当它偌，加,/«<o,_/u)单调递减，

所以广总是函数兀0的极大值点,故c正确；

对■于D,由彳+2左兀左兀,kGZ,

得一净EWx君+E,旧’

函数外)的单调递增区间为［—工+km巳+田，kJ,

当上。时,回一碧，高，

当I时，x卡，等］,

显然函数段)在(0，以上不单调，故D不正确.］

10.BC［由抛物线C：^=4y,可得焦点F(0,1)，准线方程为y=-l,

设P(xo,yo),

因为IP外光=%+1-%=1<2,因此A不正确；

因为Vo=^-,

L_^_I

则点尸到直线y=x-3的距离公O\^3=攵嗯超2壶=企，

当x0=2时取等号,可得点P到直线y=x-3的最小距离为鱼,因此B正确；

设尸尸的中点为"，则加=等=*尸I,于是以P尸为直径的圆与x轴相切,因此C正确；

Wo,-1),令|PH|=|FH］,

则yo+l=J耳+(T—,

又据=4州,解得y0=3,

此时|PR=|PF|=|阳=4,是正三角形,

因此D不正确.]

11ACD[由函数危)=x(l-lnx)的定义域为(0,+°°),可得八x)=-lnx,

令八x)=0,

可得x=l,

当0<x<l时，f(x)>0,»a(0,1)上单调递增；

当x>l时，八x)<0,危)在(0,1)上单调递减，

所以当x=l时，可得函数兀0的极大值为41)=1.

当天—0时，火x)f0；当L+8时，兀V)一—8,

结合函数4X)的单调性可得图象如图所示.

对于A,由图可知,l<x2<e,所以xiX2<e,所以A正确；

对于B,构造函数g(x)=等,可得gQ尸手，

当0<r<e时,gf(x)>0,g(x)在(0,e)上单调递增,

又0<%i<l<X2<e,所以g(xi)<g(%2),可得〈见三，

X1X2

可得X21n%i<%ilnx2,所以B错误；

对于C,由图可知，当〃>0且0时，％2一e,0=X2-xife,

又因为当。一0时，e。-1,

所以加£(0,1),X2-X\>ea,所以C正确；

对于D,因为，所以即Inxi=x\-a,所以％ilnxi+x2>〃等价于即+%2>2。,

要证Va£(O,1),xiln为+%2>〃成立，即证为+x2>2〃,因为2a<2,故只需证XI+、2>2,

因为0<xi<l,l<%2<e,只需证且％2与2-»均大于1.

又因为7(x)在(1,+8)上单调递减,

只需证人X2)勺(2-X1),

即证./(无I)勺(2-X1),

令砥x)=A尤)式2-幻，尤G(0,1),

可得F'(x)=f(x)+f(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-lnx(2-x)>0,

所以Rx)在(0,1)上单调递增，

且F(^i)<F(l)=0,

所以/(xi)勺(2-苞)成立，所以D正确.]

12.1023

解析13^3(1+x)n=ao+aix+cn>c2^---,〃CN),

。5>。4i曰〃5>。6/

w

贝!]n=10,令x=l,ao+a\_+ai+--■+an=2,

n10

10

又Oo=l,所以2。k2o;=2-l=l023.

i-1i-1

13.-

16

解析到达第3个台阶的方法有两种：

第一种，每步上一个台阶，上两步，则概率为;

第二种，只上一步且上两个台阶，则概率为:，

所以到达第3个台阶的概率为白+；=?

16416

1

14—17

4

解析设NBAD=a,aG(0,；),

则NB£)C=a,AADB=it-2a.

在△A3。中，由余弦定理得沸2DA£)BCOS/AOB

=2-2cos(7i-2a)=2+2cos2a=4cos2a,

所以AB=2cosa.

在△BCD中，由余弦定理得

所以BC=2sin(

贝！JAB+BC=2cosa+2sin2=-4sin2^+2sin1+2

(.a1\29

=-4A(sm----)+-,

V24，4'

因为正(0,力所以4(0,：),sin*(0,y),

则当siW=；时，A8+BC取得最大值：,

所以梯形ABCD周长的最大值为%2=?

15.(1)解因为2S*。〃(诙+1),①

②

所以2Sn+i=an+i(an+i+l),

2s尸。1（。1+1）,③

由③得43-1）=0,又斯＞o,

所以41=1,

②-①得2斯+1=撼+「忌）+（即+1-4”）,整理得（4"+1+斯）（斯+1-%1）=。，

又因为｛。.｝各项均为正数，

所以如+1-斯=1,

所以｛。〃｝是公差d=l的等差数列，an=ai+（n-1）d=l+（n-l）=n.

⑵证明由⑴得

n(ai+a九)_n(n+l)

S=

n2一2

所以土』」等

Snn（n+l）nn+1

所以工+工+•••+工=仁--)+f---)+•­•+(---)=2--<2.

SrS2Sn\12)\23/\nn+ljn+1

55

A1ZXiyi-Sxy

16.解⑴依题意，b=8-------------------=85£5胃4.7=]47,

55—5X5

Z(%j-x)2Zxf-5x2

i=li=l

AAA

a=y-bx=0.29,所以y=1.47x+0.29.

当x=10时,y=14.99,

故第10天入校参观的人数约为14.99千人.

⑵记“甲、乙两名参观者从不同门进校”为事件A,“甲、乙两名参观者都从1号门离校”为事件3,

贝！］P(B)=-xixix-+-x-x-x-+-xixix-x2=-

v/2323232323234

所以P(A|B)=需三.

故所求的概率为:.

17.(1)证明方法一,

/.AA^-AB=AA^-AD=242X^=2.

二印石1+费=(1U麻+(1-3前+(4-1)所,

：.D^P-AC=U1-A)AB++(2-1)AA^-(AB+砌

=(1-/1)AB2+QA-3而2+(人］)相丽”1)而.初

=8(1-A)+8(|^-|)W-1)=O.

：.D^P1AC,即DiP_L4c.

方法二以底面正方形ABCD的中心。为原点，以两方向为y轴正方向，过0点平行于反方向为x轴正

方向，

以过点。垂直平面A3CD向上方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设正四棱台的高为h,

则有A(鱼,-V2,0),B(V2,V2,0),C(-V2,V2,0),D(-y/2,-V2,0),

小(¥，-F，八)，Ci(一苧,?，。，"(一号，一导h),M(0,V2,0),

ZC=(-2V2,2V2,0),XP=(14)(0,2V2,0)+

|^(-2V2,0,0)+A(-y,y,%)=(一学九2鱼—学九Ah),

册(娱一去i),

—_~?Ari(3V2-,3V23V2-,3V2,\

D］P=。14+力P=(——AH——,——AH——,Anh—hj.

故尼.用=-2岳(—争+争+2遮x(—?+苧)=0,

所以OPLAC.

⑵解同⑴方法二建立空间直角坐标系股平面ABCD的法向量为"=(0,0,1),

平面AMG的法向量为m=(x,y,z),

施=(-/,2V2,0),疝=(一誓，娱%),

则有理皿=0,

f-V2x+2历=0,

即，3V23V2,

—y+hz=0f

v*x-2y[2h,贝!]m=(2y/2h,y[2h,3).

又题意可得COS〈m,〃〉上喘=一声H,可得h=2.

因为2=|,所以m=彼+而=(鱼,-V2,0)+(-V2,V2,3=(。，0，J，

故P(0,0,1),DP=(V2,V2,I).

将h=2代入，可得平面AMG的法向量m=(4V2,2鱼,3).

设直线DP与平面AMG所成的角为e,

则廊，书喘黜上=陪

3

18.解(1)在尸上2中，

因为cosZFiF2P=-y,

2

所以sinZFiF2P=y/l—COSZ.F1F2P=^-.

所以SAPS$尸画I哂sin/P/2P$4X|PB畔=2e，

解得IP巳1=8.

在△PBB中，由余弦定理，

得|PR|2=|尸码2+尸典2-2|尸网尸画cosNFi用尸=19+2x75x4x曰=27,

所以|尸6|=3假

因为P在双曲线上,

所以2a=\PFi\-\PF2\=2V3,

得/=3,/=(72-〃2=1

2

所以C的方程为早产1.

(2)方法一设7(尤0,州)，则,羽=0,

当直线/J_y轴时，设直线I：y=yo与C交于点M(x\,Jo),N(-xi,y0),

丫2

所以j-羽=1,即好-3羽=3,

所以TM][77VHxi-xo|山+%o|二|好-诏|二|好-3羽1=3.

当直线/与y轴不垂直时,设直线/的方程为x-my+n,M(%i,y),N{xi,yi),利用对称性不妨设T(xo,yo)

在直线x-V3j=0上.

联立『。一8如：6得州=£.

(%0=my0+71,73-m

联立『2_3y：=3,并消去

(%=my+n

得(加2-3)y2+2m〃y+几2-3=o,

rm2-3W0,

A—(277m产—4(m2—3)(n2—3)>0,

所以《,-2mn

八71+7J乙2=m2—-3,

n2-3

[y—=E,

贝！J|TW|=A/1+7n2|yo-yi|,

同理，得177Vl+僧2MH

所以177W][77V|=(1+W)|yo-y11|知-?|

=(l+m2)|y^-jotyi+j2)+jij2|

o.In2n-2mn,n2-31

=(l+m丽赤-京Xw+gl

=1笔等卜出+总性1(当且仅当加=0时，取等号，满足/>0)，

综上，ITMIITW的最小值为1.

方法二设T(x0,jo),

2门

则v家羽=0，

当直线/_Lx轴时,则直线/的方程为x=xo(ko|>V3),设M(xo,yi),N(x。，-yi),

贝！JlTM]177Vl=伙)平||四+力|=|九-资|.

伴-无=L..

因为|3?两式相减，得犬-弁=1,所以TM||77V|=L

仁-诏=。，

当直线/的斜率存在时，设直线I的方程为y=Kx-x0)+y0,

M(xi,力),N(X2,72),利用对称性不妨设T(x0,yo)在直线x-恁=0上,故州=今(),

(x2—3y2=3,

由、y=fc(x-xo)+yX0，

消去y并化简，

rl-3k200,

4=4[3(%Q-3)/c2—2V3%Q/C+%Q+3]>0,

所以无+x_04卜6k2)Xq

l-3k2'

(一342+26义-1)就一3

、％1%2=

贝！J|TW|=’1+/2仅0_%]|,

同理|T/V|=，1+女2,0_必|.

所以TM||77V|=(1+S)|沏mllxo-刈

=(1+3)|诏-的(即+冗2)+%1%2|

(一3k2+2回一1)就一3