2025年北京高考数学复习热点题型专练：函数的性质（单调性+奇偶性+对称性+周期性）（8类题型全归纳）（原卷版）

热点题型•选填题攻略

专题02函数的性质（单调性+奇偶性+对称性+周期性）

o------------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01根据函数单调性求参数...................................................................I

题型02根据函数单调性解不等式.................................................................2

题型03根据函数单调性比较大小.................................................................3

题型04函数奇偶性的应用.......................................................................4

题型05根据函数奇偶性求参数...................................................................5

题型06奇偶性+单调性解不等式..................................................................6

题型07根据函数周期性求值.....................................................................7

题型08函数对称性的应用.......................................................................8

O----------------题型探析・明规律----------O

题型01根据函数单调性求参数

【解题规律•提分快招】

「715-函薮丽戢丽破后革赢

设两个函数/（x）,g（x）在区间瓦）上的单调性如下表,则/（x）+g（x）在切上的单调

性遵循（增+增=增；减+减=减）

/（X）g(x)f(x)+g(x)

增增增

减减减

f(x)g(x)/(X)-g(x)=/(x)+[-g(x)]

增减增

减增减

（2）通过求导判断单调性

一_5,XW]

【典例1-1]（23-24高一上•北京•期中）已知函数a।是R上的增函数，则。的取值范

—,x>1

围是（）

A.（—8,—2）B.（—8,0）C.（—3,—2]D.[-3,-2]

【典例1-2]（23-24高一下•北京•开学考试）若函数〃x）在定义域内的某区间M上是增函数，且△工在M

X

上是减函数，则称函数“X）在〃上是"弱增函数"，则下列说法正确的是—

①若f（x）=x2,则存在区间初使“X）为"弱增函数"

②若〃x）=x+L则存在区间M使〃X）为"弱增函数"

X

③若/（x）=X+X3,则/（X）为R上的"弱增函数"

④若/（X）+（4一a）x+a在区间（0,2]上是“弱增函数"，则a=4

I"y-2_xy-y-|[-y*_1

【变式1-1]（24-25高一上•北京•期中）已知函数/（x）=一’一，若〃x）在（-叫+8）上单调递

[2ax-l,x＞-1

减，则a的取值范围是.

【变式1-2]（23-24高一上•北京•期中）已知函数J=/（x）（xeR）是偶函数，当时，/（x）=x2-2x,

若函数/（x）在区间[生。+2]上具有单调性，则实数a的取值范围是.

题型02根据函数单调性解不等式

【解题规律•提分快招】

一7口一函数H戢丽鹿后革篇瓯一一

设xe[a,瓦两个函数/（x）,g（x）在区间[a,瓦）上的单调性如下表,则/（x）+g（x）在xe[a,瓦）上的单调

性遵循（增+增=增；减+减=减）

f(x)g(x)/(x)+g(x)

增增增

减减减

/（X）g(x)/(X)-g(x)=/(x)+[-g(x)]

增减增

减增减

（2）通过求导判断单调性

【典例1-1]（24-25高一上・北京大兴•期中）定义在R上的偶函数〃x）满足：〃2）=0,且对任意的

王广2€[0,+8）（天产小），都有“马）一，」）＜0,则不等式切（幻＞0的解集是（）

x2一再

A.（-2,0）B.（一2,0）U（2,+8）

C.(一叫一2)U(0,2)D.(一与-2)U(2,+«0

【典例1-2](24-25高一上•北京•期中)已知奇函数定义域为R,当xNO时，/(x)=x2+2x,则

/(-4)=；若则实数机的取值范围是.

【变式1-1](24-25高一上•北京•期中)已知函数>=/(x)是定义在R上的偶函数，且在(-*0]上是增函数,

若不等式上/(X)对任意xe口，2]恒成立，则实数。的取值范围是()

A.(—°°,1]B.[-1,1]C.(—8,2]D.[—2,2]

【变式1-2](24-25高一上•北京房山•期中)已知定义在R上的奇函数当x>0时，/(x)=x2+2x.

则不等式〃x-l)+〃x)<0的解集是()

【变式1-3](24-25高一上•北京•阶段练习)已知定义在R上的偶函数/(X)满足：在[0,+8)上为单调函数,

/(-1)=-1,/(2)=1,若则t的取值范围是.

题型03根据函数单调性比较大小

【解题规律•提分快招】

(1)函数相加或相减后单调性:

设瓦两个函数/(x),g(x)在区间[a,瓦)上的单调性如下表,则/(x)+g(x)在xe[a,瓦)上的单调

性遵循(增+增=增；减+减=减)

/(x)g(x)f(x)+g(x)

增增增

减减减

/(X)g(x)/(X)-g(x)=/(x)+[-g(x)]

增减增

减增减

(2)通过求导判断单调性

【典例1-1](24-25高一上•北京•期中)已知函数y=/(x)在上单调递增，且函数/(x)的图象关于直

线x=l对称，设b=f(l),c=/(3),则a,b,c的大小关系为()

A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c

【典例1-2](24-25高一上•北京•期中)若定义域为R的函数/(x)满足：对VaeR,都有

f(fl-l)=/(l-a),且/(x)在[1,+⑹上单调递增，则下列结论中一定正确的是()

A./(-2)>/[j]>/(-l)B./(-2)>/^1]>/(0)

C./(-1)>/^|]>/(-2)D./(-2)>/(-1)>/(0)

【变式1-1](24-25高一上•北京•期中)已知奇函数/(x)在R上是增函数，g(x)=#(x).若

a=g(-2),b=g⑴,c=g(3),则的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【变式1-2](2024•北京•模拟预测)函数/(x)=占，记'[一g[b=/(345),c=/"og5gj,则

()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

【变式1-3](24-25高一上•北京丰台•期中)己知/'(x)是定义域为R的偶函数，且在区间(-叫0)上单调递

增，则/(/-2a+4)与/(-2)的大小关系为()

A./(a2-2a+4)>/(-2)B./(a2-2a+4)=/(-2)

C./(a2-2a+4)</(-2)D.不确定

题型04函数奇偶性的应用

【解题规律•提分快招】

7(行「面闰底布前公其冠涯汪君禾而留藐；

/'(X)

/(X)g(x)/(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

【典例1-1］（24-25高一上•北京•期中）函数“X）是定义在R上的奇函数，当x>0时，/（X）=X2-3X,则

/（/（1））=—,

【典例1-2］（24-25高三上•北京•阶段练习）已知/（x）是定义在R上的偶函数，且当xe（-8,0］时，

〃x）=2，+；,则.

【变式1-1］（23-24高三上・北京顺义・期末）己知函数了=/（力在R上是奇函数，当xVO时，

/（%）=2X-1,则/⑴=.

【变式1-2］（23-24高一上•北京•期中）设“X）是定义在R上的奇函数，当xNO时，f（x）=2x+b,则

题型05根据函数奇偶性求参数

【解题规律•提分快招】

7（行「新£）希i而而公共冠还汪看禾而知藐；

/(X)

/（X）g(x)/(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

【典例1-1］（23-24高一上•北京海淀•期末）已知函数/3=右则"。=1"是""X）为奇函数”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典例1-2］（23-24高一下•北京・开学考试）已知函数〃x）=N-闻-2,且函数〃x+2）是偶函数，求实

数々=_________

2

【变式1-1](24-25高三上•北京・开学考试)设/(好=皿^一+〃)是奇函数，则使/。)<。的工的取值范围

1-x

是()

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(—00,0)D.(—00,0)kJ(1,+co)

【变式1-2](23-24高三上•北京•期中)若函数=为偶函数，则。=,/(x)的最小值

为.

【变式1-3](24-25高三上•北京海淀•开学考试)函数/(》)=竿¥是奇函数，且对任意xeR成立,

X+1

则满足条件的一组值可以是b=

题型06奇偶性+单调性解不等式

【解题规律•提分快招】

商716厂前6三百「而万堤薮城正看示面前连瓦

/(X)

/(x)g(x)/(x)+g(x)/(x)-g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

【典例1-1](24-25高一上•北京•期中)设奇函数“X)在(0,+co)上为减函数，且/(1)=0,则不等式x-〃x)<0

的解集为()

A.(-l,0)U(l,+»)B.(-s,-l)U(0,l)C.(-l,0)U(0,l)D.(-s,-l)U(l,+s)

【典例1-2](23-24高一上•北京东城•期中)定义在R上的奇函数/(x)的图象是一条光滑连续的曲线，在

区间(-叱-1]上单调递增，在区间[-1川上单调递减，且/(3)=0,则不等式/(x)/(x+5)<0的解集是

().

A.(-8,-5)o(-3,3)B.(—8,—5)(-3,—2)kJ(0,3)

C.(-8,-2)u(0,3)D.(-8,-3)u(-3,-2)u(-2,3)

【典例1-3](23-24高一上•北京•期中)已知〃x)是定义在R上的奇函数，/(3)=0,若内,％e(0,+⑹

且国Ax?满足'(*)一/(々)>。，则犷(切>0的解集为()

x^-x2

A.(-。,-3)"3,+8)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-3,0)0(3,+s)D.(-8,-3)u(0,3)

【变式1-1](24-25高三上・北京•阶段练习)已知“X)是偶函数，它在[0,+句上是增函数.若

/(lgr)>/(l),则x的取值范围是()

A.儒，1)B.(0,：卜(10,+句C.(Qo)D.(0,1)310,+。)

【变式1-2](24-25高三上•北京•阶段练习)已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+。)上单调递减,

若aeR+,且满足2/(2),则。的取值范围是()

10,149,+8)

B.—oo—C.D.

9

fr2r>0

【变式1-3](23-24高一上•北京东城•期中)已知函数/(%)=；一八，若Vxe(-co,l],都有

[-X,x<0

/(x+m)<-/(^)，则实数加的取值范围是().

A.[-l?+oo)B.[-2,+co)C.(-oo,-l]D.(-oo,-2]

题型07根据函数周期性求值

【解题规律•提分快招】

函薮葡筋函的膏甬结至写皮亏

设函数>=/(x),xeR,<7>0.

①若/(x+a)=/(x—a),则函数的周期T=2a；

②若/(x+a)=-/(x),则函数的周期T=2a；

③若/(x+a)=7=，则函数的周期7=2。；

/(x)

④若/(x+a)=一二工，则函数的周期7=2。；

/(x)

@f(x+a)=f(x+b),则函数的周期T=|a-b

【典例1-1](23-24高一上•北京•期中)函数〃x)=?(xeN,其中[可表示不大于x的最大

整数.)的值域为()

A.{0}B.{1}C.[0,1]D.{0,1}

【典例1-2](24-25高三上•北京•阶段练习)已知奇函数〃x)的定义域为RJ(x+3)=-〃-x),且

"2)=0,贝1]45)=；/(x)在[0,6]上的零点个数的最小值为.

【变式1-1](23-24高二下,北京•期末)已知函数〃x)对任意的xwR都有〃x+8)=-〃x),若y=〃x+2)

的图象关于点(-2,0)对称，且"3)=3,则〃43)=()

A.0B.-3C.3D.4

【变式1-2](23-24高三下•北京・开学考试)设是定义在R上的奇函数，且/=当

-lVx<0时，/(x)=log3(-6x+3),则〃2024)的值为()

A.-1B.-2C.2D.1

【变式1-3](23-24高三上•北京西城•阶段练习)黎曼函数由德国著名数学家黎曼(Riemann)发现提出黎

曼函数定义在[0,1]上，其解析式为：当》=:为真约数且p,qeN*时尺(X)=；当x=0,1或[0,1]上的无理

数时R(x)=0,若函数〃无)是定义在R上的偶函数，且VxeR,/(x)+/(x+2)=0,当xe[0,l]时，

/(x)=R(x),贝心j=()

2£2

A.B.C.D.

555

题型08函数对称性的应用

【解题规律•提分快招】

(1)轴对称：若函数/(%)关于直线％对称，则

①/(a+x)=/("x);

②/(x)=/(2"x)；

③/(-%)=/(2。+%)

(2)点对称：若函数/(%)关于直线(见0)对称，则

①/(Q+M=_/(〃一1)

②/(%)=-/(2"%)

®f(~x)=~f(2a+x)

(3)点对称：若函数/(x)关于直线伍力)对称，则

①/(Q+X)=-/(。一X)+2b

②/(x)=_/(2tz-x)+2Z)

(3)/(-x)=-f(2a+x)+2Z?

LM1-1](24-25高一工.元京至东.期市)已右函函获于宣磁X=1对称，全>玉>藏

[〃％)-〃再)]优一王)<0恒成立.设a=/[£|/=〃2),c=/(3),贝1]0,6,c的大小关系为()

A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a

【典例1-2](23-24高二下•北京顺义・阶段练习)已知函数/(x)是定义域为(-*+⑹的奇函数，满足

/(2-x)=/(2+x),若/⑴=2,则〃1)+/(2)+〃3)+…+”2023)=()

A.-2B.0C.2D.4

【变式1-1](23-24高一上•北京朝阳•期末)己知函数〃x)的图象是在R上连续不断的曲线，〃x)在区间项

[1,+⑹上单调递增，且满足〃2-x)+/(x)=0,42)=3,则不等式-3</(工+1)<3的解集为()

A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,2)D.(1,3)

【变式1-2](2023•北京大兴三模)己知函数〃x)对任意xeR都有〃尤+2)=-〃x),且〃-x)=-〃x),

当时，=d.则下列结论正确的是()

A.函数.=/(x)的图象关于点美,0)(左eZ)对称

B.函数N=/(x)的图象关于直线》=2后(左eZ)对称

C.当xe[2,3]时，/(x)=(x-2)3

D.函数>=的最小正周期为2

【变式1-3](24-25高一上•北京•期中)已知函数/(一(xeR)满足/(T)=2-/(X),若函数了=」与

X

y=/(x)图象的"2个交点为(占,弘),口2，%),…几)，则(占+%)+伍+%)+…+(%,+»“)的值是.

*>----------题型通关•冲高考-----------♦>

1.(2024•北京海淀•三模)下列函数既是奇函数，又在(0,+s)上单调递增的是()

A./(刈=工B./(x)=2w

x-1

C./(x)=tanxD.f(x)=2x~—

x

2.（2024•北京西城•三模）下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+8）上单调递减的是（）

B.y=x2C.y=cosxD.y=-ln|x|

【答案】D

3.（2024•北星西城，一*模）设a=，—=，2+。，其中—1</<0,则（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

4.（2023•北京•模拟预测）下列函数中，与函数/（x）=2,-5的奇偶性、单调性均相同的是（）.

A.y=exB.y=tanxC.y-x2D.y=x3

5.（2024•北京西城・三模）已知函数〃x）=2"若VXi'eR,且再<x?,则下面结论错误的是（）

A./(无])</(无2)B-2—

C./区％)=/区)+/(%)D./(x1+x2)=/(x1)/(x2)

—%_|_4xx<]

6.（2024•北京昌平•二模）已知函数/（x）='，'若对任意的x都有|/（x）上办恒成立，则实数。

In（x—1）,x〉1.

的取值范围是（）

A.（-℃,0]B.[-4,0]C.[-3,0]D.(一叫2]

7.（2024・北京延庆•一模）已知函数/（x）=3，-2x-l,则不等式/（x）<0的解集是（）

A.（0,1）B.（0,+co）C.（-oo,0）D.（-<»,O）vj（l,+oo）

8.（2023•北京•模拟预测）设函数〃x）=2|x-l|+log3（x-l）2,不等式〃办）4〃x+3）在无e（l,2]上恒成立,

则实数。的取值范围是（）

A.B.（-<»,2]

「，51「351

C.-1,-D.U1,-

L2jL22jL2j

9.（2024•北京•模拟预测）定义在R上的函数满足：/（-l+x）-/（-l-x）=0,且

/（l+x）+/（l-x）=0,当时，f（x）=ax-2,则的最小值为（）

A.-6B.-4C.-3D.-2

10.（2023・北京•模拟预测）己知函数/（力=/一F工，下列命题正确的是（）

①〃x）是奇函数；

②方程/（x）=f+2尤有