2025年北京高考数学复习热点题型专练：圆锥曲线综合问题（定义+焦点三角形+离心率+渐近线+中点弦）（9类题型全归纳）（解析版）

热点题型•选填题攻略

专题10圆锥曲线综合问题（定义+焦点三角形+离心率+渐近线

+中点弦）

*>----------题型归纳•定方向-----------*

目录

题型01根据定义求圆锥曲线方程.................................................................I

题型02椭圆（双曲线）上的点到焦点与定点距离和差最值.........................................4

题型03椭圆（双曲线）焦点三角形问题...........................................................7

题型04椭圆（双曲线）离心率问题.............................................................11

题型05双曲线渐近线问题......................................................................16

题型06根据曲线表示椭圆（双曲线）求参数.....................................................19

题型07抛物线定义的应用......................................................................21

题型08抛物线焦点弦问题......................................................................24

题型09圆锥曲线中点弦问题....................................................................27

o----------题型探析・明规律-----------♦>

题型01根据定义求圆锥曲线方程

【解题规律•提分快招】

1、椭圆定义：平面内一个动点尸到两个定点%尸2的距离之和等于常数（|产片|+|P6|=2。〉冏闾），

这个动点尸的轨迹叫椭圆.这两个定点（片，与）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（|公鸟|）叫作椭圆的焦

距.

椭圆定义定义的集合语言表述

集合尸={尸|尸片+\PF2=2a>闺8|}.

2、双曲线的定义：一般地，我们把平面内与两个定点片，心的距离的差的绝对值等于非零常数（小于

I片耳|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

双曲线定义集合语言表达式

双曲线就是下列点的集合：P={M\\\MF}\-\MF2\\=2a,0<2a<\FR|}.

3抛物线的定义：平面内与一个定点尸和一条定直线/（其中定点尸不在定直线/上）的距离相等的点的轨

迹叫做抛物线，定点尸叫做抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线.

抛物线的数学表达式：{MJ"F|=d}（d为点M到准线I的距离）

【典例1-1］（24-25高二上•北京丰台•期末）已知圆C:（x+iy+/=16及点在圆C上任取一点P,

连接CP，将点P折叠到点4记CP与折痕/的交点为M（如图）.当点P在圆C上运动时，点M的轨迹方

【答案】A

【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题一一椭圆

【分析】直接由题意可得：|CM|+HM|=r=4>XC=2,符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由

62="2-02=3求得6,可求点M的轨迹方程可求.

【详解】连接M4,

圆C:（x+1）2+/=16的圆心坐标为C（T,O）,半径为4.

因为将点尸折叠到点/,记c尸与折痕/的交点为〃，所以|PM|=XM，

所以|CM+MM=|CM+|WP|=r=4>|/C|=2,

所以点M的轨迹是以4c为焦点的椭圆，且2a=4,2c=2,所以a=2,c=l,

22

所以62=/-02=3,所以点M的轨迹方程为二+二=1.

43

故选：A.

【典例1-2］（24-25高三上•北京顺义・期末）已知点〃卜石,0）,N心,0）,若直线/=船上存在点尸满足

|尸闾-|产时=2,则实数上的取值范围是（）

C.（―8,—2）口（2,+8）D.（—2,2）

【答案】D

【知识点】利用双曲线定义求方程、已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或

范围

【分析】先求出动点的轨迹方程（双曲线的右支），再根据渐近线方程可求参数的范围.

【详解】因为1PM-|尸叫=2<2若=阿训，故P在双曲线的右支上，

而半焦距c=V^,实半轴长为1,

2

故双曲线右支的方程为：x*2-3^-=l（x>l）,故渐近线方程为>=±2》，

而直线歹=船与双曲线右支有公共点，故壮（-2,2）,

故选：D.

【变式1-1]（24-25高二上•北京•阶段练习）平的内动点P（x/）满足方程

7（x+l）2+y2+7（^-1）2+/=273,则动点p的轨迹方程为（）

22222222

A,土+匕=1B,土+匕=1C.土-乙=1D.匕-二=1

32233232

【答案】A

【知识点】利用椭圆定义求方程

【分析】利用椭圆的定义求解即可.

【详解】由题意，点P（x,y）到两个定点（T,。）,（1,0）的距离之和等于2AA>2,

根据椭圆的定义可知，点P（x,y）的轨迹为焦点为（T0）,（1,0）的椭圆，

旦2a=2V3,2c=2,即a=拒,c=1,贝!]62=/-/=2,

22

所以动点P的轨迹方程为土+二=1.

32

故选：A.

【变式1-2]（23-24高二上•北京延庆•期末）到定点尸。,0）的距离比到V轴的距离大1的动点且动点不在x轴

的负半轴的轨迹方程是（）

A.y2=8xB.y2=4xC.y2=lxD.y2=x

【答案】B

【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹

【分析】根据抛物线的定义即可得解.

【详解】因为动点到定点尸(1，0)的距离比到了轴的距离大1,

所以动点到定点尸(1,0)的距离等于到x=-l的距离，

所以动点的轨迹是以尸(L0)为焦点，x=T为准线的抛物线，

所以动点的轨迹方程是/=4x.

故选：B.

【变式1-3](2024・陕西西安•一模)平面上动点M到定点尸(3,0)的距离比〃到了轴的距离大3,则动点M

满足的方程为.

【答案】/=i2x或y=0(x<0)

【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程

【分析】考虑xNO和x<0两种情况，X20时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，=3,得到答案.

【详解】动点刊到定点厂(3,0)的距离比M到了轴的距离大3,

当时，动点M到定点尸(3,0)的距离等于到尸-3的距离，轨迹为抛物线，

设抛物线方程为必=28，则5=3，即0=6,所以/=i2x；

当x<0时，y=o满足条件.

综上所述：动点M的轨迹方程为：X20时，r=12x；尤<0时，y=0,(x<0).

故答案为：F=12x或y=0(x<0)

题型02椭圆(双曲线)上的点到焦点与定点距离和差最值

【解题规律•提分快招】

利用椭圆(双曲线)定义求距离和差的最值的两种方法：

(1)抓住I刊■与I|之和(差)为定值，可联系到利用基本不等式求I尸大H尸鸟I的最值；

PF2

(2)利用定义(|产片I+质|=2&)或||尸片\-\PF2||=24转化或变形，借助三角形性质求最值

22

【典例1-1](24-25高一上•广东•阶段练习)尸是双曲线上一匕=1的右支上一点，M、N分别是圆

916

(x+5>+/=4和(X-5)2+/=I上的点，则户的最大值为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【知识点】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、利用定义求双曲线中线段和、差的最值

【分析】根据题设及双曲线定义、圆的性质确定点到圆上点距离差的最大值.

.•.耳(-5,0),0(5,0),

•.,阀|-陷|=2a=6,

:.\PM\<\PF^+\MF^,PRM三点共线且片在尸,“之间时取等号，

冲以明-随则一|两归一|尸阊+|穹|,尸，鸟,N共线且N在P,月之间时取等号，

所以1PM尸N|W|尸团+|町|-|尸巴|+|陷|=6+1+2=9.

故选：D

【典例1-2](22-23高二上•北京海淀•阶段练习)已知双曲线/一/=七点耳、片为其两个焦点，点、p为

双曲线上一点，若PFJPF。,则|尸曰+|尸闾的值为.

【答案】473

【知识点】等轴双曲线、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用定义求双曲线中线段和、差的最值

【分析】首先根据定义得到归耳|--闻|=4,再结合勾股定理求出|咫卜|尸阊，最后平方即可求解.

【详解】双曲线龙2-「=4化为标准方程为二一廿=1,

■44

由定义知归片|-忸耳||=2。=4①，

又因为尸片_LPg,由勾股定理可知，忸耳『+忸用「=(2c旷=32②，

①式平方得|尸用,+|时「-2|P7讣归闾=16③，

联立②③得|巴讣|P闾=8,则(忸闻+卢巴『=附『+忸研+2忸4H尸闾=32+16=48,

则|尸£|+|尸闯=4百.

故答案为：4月

【变式1-1](24-25高二上•湖北•阶段练习)已知尸是椭圆C：5+>2=1的左焦点，尸为椭圆C上任意一点,

点0(4,4),则|尸0|+|尸产|的最大值为()

A.5+20B.5-272C.3+2亚D.3-2后

【答案】A

【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值

【分析】借助椭圆定义可得|尸0|+|尸盟=卢。|+2”「/区2°+|”],再借助两点间距离公式计算即可得.

【详解】如图，取椭圆U：+V=l右焦点F,则厂'（1,。），

则由椭圆定义可知归尸|+户川=2a=2后，

则|尸。|+\PF\=\PQ\+2a-\PF'\<2a+\QF'\=2五+^（4-1）2+42=5+2血,

当且仅当P、尸'、。三点共线，且尸'在尸。之间时取等，

故归。|+|尸尸|的最大值为5+2VL

【变式1-2]（24-25高二上・江苏南通・阶段练习）已知点M在椭圆1+：=1上，点-则

|儿回+|九码的最大值为（）

1121

A.—B.4C.-D.5

44

【答案】C

【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值

【分析】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可.

【详解】

作椭圆的左焦点片（一1，0）,贝”加目+|〃5|=|加留+4-|班|44+|/可，

当且仅当点〃为线段/4的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得H耳|=b3=|

71

故|皿+|皿=|必+4-3区4+|工周=彳，

故选：c

22

【变式1-3]（24-25高二上•北京•期中）已知椭圆C:芯+七=1的左、右焦点分别为片、F2,M为椭圆C

上任意一点，N为圆E:（x-5『+（y-4『=1上任意一点，则|九亚|-|龙*I的最小值为.

【答案】-2

【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值

【分析】利用椭圆的定义，将|应明|转化为6TM4|,结合图形，得最小值.

【详解】在椭圆C中，a=3,b=亚,则C=V7^=2，即点耳（一2,0）、外（2,0）,

如图，M为椭圆C上任意一点,则|阿|+|"|=2。=6,

又因为N为圆氏（》-5）2+（尸4）2=1上任意一点，

|A/AAp|A^|=|7Wp（6-|M^|）=|7W|+|M^|-6>|Affi,|-l+|M^|-6

>|£,^|-7-^（5-2）2+（4-0）2-7-5-7=-2.

当且仅当M、N、E、用共线且M、N在.E、鸟之间时等号成立.

所以片的最小值为-2.

题型03椭圆（双曲线）焦点三角形问题

【解题规律•提分快招】

常用技巧

（1）椭圆（双曲线）定义

（2）余弦定理（勾股定理）

（3）三角形面积、周长公式

（4）基本不等式（对勾函数）

【典例1-1】（2023,北京•模拟预测）已知一个离心率为长轴长为4的椭圆，其两个焦点为片，£,在

椭圆上存在一个点尸，使得N甲岑=60。，设△片尸耳的内切圆半径为r,则:一的值为（）

A.—B.叵C.—D.立

6323

【答案】D

【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题

【分析】在△力笆中，利用余弦定理求得|巴讣|尸阊=4,再由

邑呻=如耳卜|以讣sin60。=g（附|+忸尸J+|百鸟|）求解.

【详解】解：因为椭圆的离心率为长轴长为4,

所以a=2,c=1,

在△尸4耳中,由余弦定理得：出研=|尸片「+|尸研-2忸片|.户/讣360。，

=（附|+|尸7<-3陷中闾，

解得|尸耳卜|尸阅=4,

所以邑呻=（|尸胤尸鸟卜sin6（T=$（|w]+]P司+山鸟|）,

1,V31/“小

—x4x=—rx（4+2）,

222v7

角军得r=，

3

故选：D

【典例1-2]（24-25高二上•北京•阶段练习）已知点?是曲线办2+勿2=1（其中〃，b为常数）上一点，设

M,N是直线〉='上任意两个不同的点，且|"N|=，.给出下列三个结论：

①当〃6〉0时，方程"2+勿2=]表示椭圆：

②当。=（，6且"4时，使得是等腰直角三角形的点尸有6个：

③当。=（，且0<1<4时，使得是等腰直角三角形的点尸有8个.

则所有正确结论的序号是.

【答案】②③

【知识点】由方程研究曲线的性质、根据椭圆的有界性求范围或最值、椭圆中焦点三角形的其他问题

【分析】当a=6>0时可表示圆判断①；设点P（2&cos&2夜sin@,再应用点尸到直线/的距离结合对称

性判断②③.

【详解】方程"2+如2=1中当“=/,>0时可表示圆，故①错误；

22

在②③中：椭圆方程为二+匕=1,椭圆与直线/均关于原点对称，

248

设点尸（2疯os。,2后sin。），则点尸到直线/的距离为

|2V6cos0-2V2sin^|4V2sinf6^---j

d=­忑—==4smrd中可

对②：f=4时，

（1）若P为直角顶点，如图，贝"AW|=f=4,d=2<4,满足△肱VP为等腰直角三角形的点尸有四个,

（2）若尸不是直角顶点，如图，贝ij|ACV|=，=4,d=4,满足APAW是等腰直角三角形的非直角顶点尸有

两个，

故才=4时，使得△ACVP是等腰直角三角形的点尸有6个，②正确;

对③：0</<4时，

（1）若尸为直角顶点，贝=d=；<4,满足△MAP为等腰直角三角形的点尸有四个.

（2）若P不是直角顶点，如图，则|九亚"乙d=t<4,满足△MVP是等腰直角三角形的非直角顶点尸有

四个.

故0</<4时，使得△MAP是等腰直角三角形的点P有8个，③正确.

故答案为：②③.

2

【变式1-1］（23-24高二上•北京朝阳•期末）在平面直角坐标系xOy中，设瓦丹是双曲线C:一一匕=1的

2

两个焦点，点"在c上，且丽・丽=0,则△GEM的面积为（）

A.V3B.2C.V5D.4

【答案】B

【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题

【分析】利用双曲线的几何性质求解即可.

【详解】因为点M在C上，片，耳是双曲线的两个焦点,

由双曲线的对称性不妨设“片>MF2,

贝|]|町|一]四|=。=①，22

22F[F2=2C=2yla+b=273,

因为西.近=0,所以町_LM&,

由勾股定理得|叫「+W里「=|耳名「=12②，

①②联立可得|町|=6+1,\MF2\=45-l,

所以其"^=曰叫||峥|=2,

故选：B

【变式1-2]（2023•北京西城・二模）已知两点耳（T0）,用（1,0）.点尸（cos[sin。）满足|期则

的面积是___；e的一个取值为___.

1兀

【答案】-/0.5-（答案不唯一）

26

【知识点】三角函数定义的其他应用、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题

【分析】根据条件求出点尸的轨迹方程，联立方程后求点P的坐标，即可求解面积和角的取值.

【详解】由点尸（cos仇sin。）可知，cos26>+sin26>=l,所以点尸在圆x?+/=1,

且|国H9l=收，则点尸在双曲线的右支上，其中2a=亚，2c=2,b2=c2-a2=^,则双曲线方程为

2x2—2y2=1,x>0

2

x+/=lx=——x=——

联立2/—2/=1,解得：<;或＜2

1

x>0y=—一

”52

则AP耳月的面积S=；x闺£|XN=；X2X；=；；

当x=,y='时，tan0=，。="7+2E，左eZ,

2236

当x=,y=—工时，tan0=—->9=H2痴，k&Z,

2236

则其中e的一个取值是台JT.

0

故答案为：；；7（答案不唯一）

26

22

【变式1-3]（24-25高二上•北京•期中）已知点片，£是椭圆C：土+匕=1的两个焦点，点〃在椭圆C

一259

上，则△片的周长为.

【答案】18

【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的焦点、焦距

【分析】根据椭圆的定义求出|九明|+四闾以及闺国的长，从而得到△甲明的周长.

【详解】

22

因为椭圆C：工+匕=1,所以。=5,6=3,c=4,

259

由椭圆定义可得|九阕+W明=2a=10,闺段=2c=8,

所以△邛典的周长为|孙|+|峥|+出闾=18.

故答案为：18.

题型04椭圆（双曲线）离心率问题

【解题规律•提分快招】

常用技巧

（1）椭圆（双曲线）定义

（2）余弦定理（勾股定理）

（3）齐次不等式

一【五祠工]]~（一2024疝亲函僮二桎丁巨疝/丁无重而直而无施喔而公其正£「万丁6重百斤缸而不获瓦

且尸，。关于原点对称，乙隼。=寻，若椭圆的离心率为勺，双曲线的离心率为02,则工+占的最

小值是（

1+V32^/3

丁

【答案】A

【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围

【分析】设出椭圆的长半轴长q,双曲线的实半轴长为出，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出。,02

的关系式，最后通过"1"的妙用求解出最小值.

【详解】如图，设椭圆的长半轴长为6,双曲线的实半轴长为电，

则根据椭圆及双曲线的定义得：|尸耳|+忸国=2%,|尸耳|-|尸乙|=2出，

27r

尸团=%+%,|%|=%-。2,设区月|=2C,N%0=H，

7T

根据椭圆与双曲线的对称性知四边形小。耳为平行四边形，则/耳尸乙=§,

则在△尸片片中，由余弦定理得，4c2=（4+出）+（%—出）—2（%—%）COS§,

13

化简得a：+3靖=4c之，BP—+—=4,

L十一

7+1+7+1

q匕2

>-x

6

x4+2-

63

373+4

当且仅当，即

故选：A.

13，

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用余弦定理得到石+==4,最后对原式变形再利用基本不等式即可

求出其最小值.

22

【典例1-2］（24-25高二上・北京•阶段练习）已知椭圆6：亍+a=1（。＞6＞。）与圆。2：/+/=62,若G

n

上存在点尸，过P可作C2的两条切线力和尸8,且44尸8=§,则£的离心率的取值范围是（）

%

【答案】C

【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围

【分析】根据题意画出图形，求出临界情况的离心率，再结合题意即可求出取值范围.

【详解】

从椭圆长轴端点向圆引两条切线尸4,PB,则两条切线形成的夹角//尸2最小.

若在椭圆G上存在点P,过P作圆的切线尸切点为A,B,使得NBR4=g,

则只需即/APOV30°,

OAb1

sin//尸O==—＜sin30°=一,

OPa2

所以心2b,则所以/N4（/-c2）,

所以即士，所以eN也，

又因为e<l,所以椭圆G的离心率的取值范围是.

故选：C.

v-22

【变式1-1]（24-25高二上•北京•阶段练习）已知椭圆初:「+qv=1（〃>6>0）,双曲线

ab

22

N:：-与=1（加>0/>0）.设椭圆M的两个焦点分别为片，为，椭圆M的离心率为G，双曲线N的离心

mn

率为e2,记双曲线N的一条渐近线与椭圆”一个交点为尸，若尸耳，学且闺闾=2|尸周，则员的值为

e2

A.B.C.V3-1D.V3+1

22

【答案】A

【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或

离心率的取值范围

【分析】结合椭圆定义求得椭圆离心率，由双曲线的渐近线方程求得双曲线的离心率，相比即得.

【详解】椭圆M：W+[=l（a>6>0）中，期,根且闺闾=2|尸周，

ab

则|尸阊=两尸耳I，椭圆长轴长为2a=|尸耳|+|尸典=（1+七）|尸耳

所以椭圆离心率为。=>滤，=扁=6-1,

双曲线N：W-==1（机>0,〃>0）的渐近线方程为〉=±'工，故即〃=百加，双曲线的半焦距为

mnmm

c'=dm2+几2=2m，

所以双曲线的离心率为4=邑=2,

m

所以曳=与1

e22

2222

【变式1-2］（24-25高二上•北京丰台・期末）设椭圆=+当=1（〃>6>0）与双曲线2=1的离心率分别

abab

为q,e2,若双曲线渐近线的斜率均小于寺，则与乌的取值范围是（）

3131

A.（丁1）B.（1,1）C.（O,1）D.（0,《）

【答案】A

【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心

率的取值范围

【分析】由题意及双曲线的渐近线的斜率可得2<2叵，再由椭圆，双曲线的离心率的求法，分别判断出所

a5

给命题的真假.

【详解】由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为则0<2〈拽,

所以G=g

a

所以eYe2=

3

则所以A正确.

故选：A.

22

【变式1-3］（24-25高二上・北京•阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆C：］+方=1（。>6>0）的左、右焦

AF.3

点分别为片、£，直线/过耳，且和椭圆C交于48两点，=工与△3片月的面积之比为

DrxJ

3:1,则椭圆C的离心率为.

【答案】孝

【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围

【分析】设H周=3x,忸用=5x,|/用=3九忸用=九根据椭圆的定义可得x=y,进而得出△/片居为

等腰直角三角形，从而求得离心率.

【详解】:1扁^1二3不妨设周二3%,I忸I胤=5x,

由点B作8尸_1_尤轴，同时也过点A向x轴引垂线，

•・kQJkQJ=1-1

,^AFiF2-^BFiF2-）•，，

.1M闾:忸国=3:1,

设M闾=3九忸周=y,

由H周+|/周=忸周+忸周=2°,

x=

3x+3y=5x+y,-yf

所以M片|+\=5x+y=5x+x=6xf

所以|/B|=3x,则点A为椭圆的短轴端点，.•・△/月月为等腰三角形,

\AB\=3x+x=4x,忸团=5x,

.■.\AF^+\AB^=\BF^,.'.AAF^为直角三角形，

.•./百，/工，：.△/片耳为等腰直角三角形，

;.OFx=OA=^AFe

'：OFX=c,AFt=a，即e=£=.

a2

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的离心率问题，关键是利用椭圆的定义判断出△/片耳为等腰直角三角

形，考查了计算求解能力，属于中档题.

题型05双曲线渐近线问题

【解题规律•提分快招】

2222b

1、若双曲线方程为—V—会y=1伍〉0力〉o)n渐近线方程：9V―y2=o=_y=±\x

2222

2、若双曲线方程为々—二=1(。〉0,b>0)n渐近线方程：4—二=0y=±fx

a2b-a2b-b

3、若渐近线方程为〉=±2'，则双曲线方程可设为三-工=4(4WO),

mmn

4、若双曲线与W-4=1有公共渐近线，则双曲线的方程可设为W—4=入(入〉0,焦点在X轴上,

«2b2a2b2

X<0,焦点在V轴上）

【典例1-1】（2024•北京•三模）若双曲线G：--<=1与Cz：（■-鸟=1具有相同的渐近线，则G的离心率

42ab

为（）

A."B.y]2c.V3D.V6

2

【答案】C

【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线

【分析】先求出两个双曲线的离心率，根据渐近线相等列式，代入离心率求解即可.

【详解】双曲线G：4-4=1的渐近线为y=±ex,02：=-==1的渐近线为y=±fx,

422abb

由题可知且=3,

2b

所以c2的离心率e=£

a

故选：C.

【典例1-2】（2024•北京平谷•模拟预测）己知双曲线C：/+或=1的左、右焦点分别为片，F2,并且经过

m

M-2,迎点，贝1]防|-|峥|=；双曲线C的渐近线方程为

【答案]—2y=±y/2x

【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解

【分析】根据题意将点乱上2,"）代入双曲线方程可求得切=-2,再由双曲线定义可得1TM可|=2°,

从而可求解.

【详解】由题意将屈卜2,指）代入双曲线方程得4+，=1,解得机=-2,

2

所以双曲线方程为/-2=1,又因为点〃在双曲线左支上，

2

所以|町|-|叫|=-2.=-2；

所以渐近线方程为歹=±岳.

故答案为：一2；y=±42x.

22

【变式1-1]（2024•北京朝阳•一模）已知双曲线C：=一勺=1（。>0力>0）的右焦点为尸，过点尸作垂直

ab

于X轴的直线/,M,N分别是/与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段网的中点，则C

的渐近线方程为（）

A.尸土九B.y=±-x

2

_,V3_.V5

Cr・y=±XLn).y=±x

35

【答案】C

【知识点】已知方程求双曲线的渐近线

【分析】设双曲线的右焦点尸(c,0),求出点M和N的坐标，利用中点坐标公式列式计算得6关系，进而可

得渐近线方程.

【详解】设双曲线的右焦点尸(c,0),过第一象限的渐近线方程为y=2x,

a

当x=c时，y=—,即又

avaJaJ

因为M是线段m的中点，所以£='生，得c=2b,

a2a

所以/=4b之=a2+b2f即a二6b，

所以c的渐近线方程为y=+-x=土也x.

a3

故选：c.

【变式1-2](2024•北京海淀•三模)已知双曲线C的焦点为耳(-2,0),8(2,0),实轴长为2,则双曲线C的

离心率为,渐近线方程为.

【答案12y=土Cx

【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线

【分析】先求出双曲线的基本量，故可求离心率和渐近线方程.

【详解】设双曲线的半焦距为c,由题设可得c=2且焦点在x轴上，

22

故可设双曲线方程为:三贝！]2。=2即a=l,

ab

故/=3即6=故离心率为£=2,渐近线方程为尸土纥=土后，

aa

故答案为：2；y=±V3x.

【变式1-3](2024•北京西城•一模)双曲线河:/_且=1的渐近线方程为________；若M与圆

3

0：/+/=/&>0)交于450,。四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则〃=.

【答案】y=±GxV3

【知识点】由标准方程确定圆心和半径、已知方程求双曲线的渐近线

【分析】结合双曲线渐近线的定义与正方形的性质计算即可得.

【详解】由-[=1,故其渐近线方程为y=±,x=±Gx;

2q

令私可，由题意可得网=|"|,即有机2一土=1,解得病=

32

故/=加2+”2=2m2=3,即r=6.

故答案为：y=±V3x；V3.

题型06根据曲线表示椭圆（双曲线）求参数

【解题规律•提分快招】

22

【典例1-1]（23-24高二上•北京延庆•期末）"1＜加＜2"是"方程^―+工=1表示椭圆”的（）

2-mm-1

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、判断命题的必要不充分条件

22

【分析】根据"1＜加＜2"与"方程+工=1表示椭圆"的互相推出关系判断出属于何种条件.

2—mm—\

3丫22

【详解】当1〈加＜2时，取机=],此时+工=1=尤2+/=2,故方程表示圆；

22—mm—\

2—m＞0

22

当方程-^+工=1表示椭圆时，贝IJ机-1＞0,

2-mm-\-1

2—加。机一1

解得（加1＜加＜|•或T＜加＜2卜

此时］冽1＜冽＜5或/＜加＜2|是｛加［1＜加＜2｝的真子集，

所以"1＜加＜：或9＜加＜2｝可推出｛间1＜根＜2｝；

22

综上可知，"1＜加＜2"是"方程^+上=1表示椭圆"的必要而不充分条件，

2-mm-\

故选：B.

22

【典例1-2］（24-25高二上•北京朝阳•期末）已知曲线C:上~+=J=l（加eZ且〃-±2）.若。为双曲线，

m+22-m

则加的一个取值为；若C为椭圆，则加的所有可能取值为.

【答案】3（答案不唯一）±1

【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、根据方程表示双曲线求参数的范围

【分析】由双曲线和椭圆的方程性质结合题意列不等式组可得；

【详解】若。为双曲线，则内"+?（2一心）＜0,解得加＞2或〃＜?-2,

\m。±2

又加$Z,所以加的一个取值可能为3；

m+2＞0

若。为椭圆，贝人2—加〉0,解得一2＜加＜2且加W0,

加+2w2—加

又比eZ,所以加的所有可能取值为±1；

故答案为：3（答案不唯一）；士1.

【变式1-1］（23-24高二上•北京朝阳・期末）若方程上一-己=1表示椭圆，则实数加的取值范围是（）

4-mm

A.（0,4）B.（-co,0）C.（4,+co）D.（-oo,0）U（0,4）

【答案】B

【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围

【分析】由方程表示椭圆得系数满足的不等式组，解不等式组可得.

22

【详解】因为方程」--匕=1表示椭圆，

4-mm

4-m＞0

则一加＞0,解得加＜0,则实数"7的取值范围是（-8,0）.

4一加w—m

故选：B.

22

【变式1-2］（23-24高二上•北京丰台・期末）已知椭圆^+一」=1的焦点在x轴上，则%的取值范围是

m-37-m

A.3<m<7B.3<m<5C.5<m<7D.m>3

【答案】c

【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围

【分析】根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解.

m-3＞0

22

【详解】由椭圆=1的焦点在X轴上，则满足7-加＞0,解得5〈机＜7.

m-37-m。_

m-3＞7-m

故选：C.

22

【变式1-3]（24-25高二上•山东枣庄）已知双曲线少:」----匚=1,则下列选项中正确的是（）

2+mm+1

A.me（-2,-1）

B.若沙的顶点坐标为（0,土也），则加=1

C.少的焦点坐标为（±1,0）

D.若加=0,则少的渐近线方程为x±J5y=0

【答案】D

【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的顶点坐标、求双曲线的焦点坐标、判断方程是否表示

双曲线

【分析】根据（2+加）。+〃7）＞0即可判断A；根据双曲线的顶即可判断出B错误；分加＞-1