2025年北京高考数学模拟卷（解析版）

备战2025年高考数学模拟卷(北京专用)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

第I卷(选择题共40分)

一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

要求的。

1.已知全集。=11,集合/={x|l<x43},8={x|x>2},则/口为8等于()

A.{x|l<x<2}B.{x|2<x<3}C.{x[l<x<2}D.{x|lW3}

【分析】根据补集与交集的定义求解即可.

【详解】由8="|尤>2},得d8={x|xV2},

因为/={x|l(尤V3},所以/nbB={x[l<xW2}.

故选：A.

2.下列函数是偶函数的是()

A.y=x--B.y=x3-xC.y=siiu-lD.y=ex+

X

【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可.

【详解】选项A,令f(x)=x-L,定义域为{x|xw0},

X

且/(-X)=(f)-」-=—x+3=/(x),即y=为奇函数，

-XXXX

选项B,令g(x)=x3_%,定义域为R,g(-x)=(-x)3-(-x)=-X3+X=-(x3-x)=g(x),

即尸/7为奇函数；

选项C,令〃(x)=sinx—l,〃(5)=sing—l=0,A(—=sin(-^)-1=-2^0,

故^=5a-1不是偶函数；

选项D,m(x)=ex+e-x,定义域为R,且加(-%)=尸+^=加(%),贝！=1+/为偶函数,

故选：D.

3.若实数〃〉6>0,则下列不等式一定不成立的是()

A.0.3"<0.3’B.lga〉lgbC.<---D.y[a>Jb

a-\b—\

【分析】根据指数函数的性质判断A,根据对数函数的性质判断B,利用特殊值判断C,根据幕函数的性质

判断D.

【详解】因为了=0.3、在定义域R上单调递减且。>6>0,所以0.3"<0.3J故A正确；

因为>=唇在定义域（0,+<»）上单调递增且。>6>0,所以lga>lgb,故B正确；

当0>1>6>0时，-^―>0>^—,故C不正确；

a-\o-l

因为y=4在定义域［0,+s）上单调递增且。>6>0,所以夜>6，故D正确.

故选：C.

4.如图，已知等腰V/8C中，以即=|/。=3,忸C|=4,点p是边8c上的动点，A

则9.（次+就）的值（）/\

A.为定值6B.为定值10//\

BPC

C.不为定值，有最小值6D.不为定值，有最大值10

【分析】先记8C的中点为O,然后利用VNBC为等腰三角形，得到再利用向量数量积的几何

意义求解即可.

【详解】记8c的中点为。，由题可知，AO1BC,40=J32-2?=石,我+就=2静,

所以乔（君+码=2万.而=2|西画cosNP/O=2（辟=1（.

故选：B

5.中和殿是故宫外朝三大殿之一.位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒

尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.己知此正四棱锥的侧棱长为

4面m，侧面与底面所成的锐二面角为。，这个角接近30。.若取。=30。，则下列结论不正确的是（）

A.正四棱锥的底面边长为24mB.正四棱锥的iW）为4V5m

C.正四棱锥的体积为768gm3D.正四棱锥的侧面积为966加

【分析】在正四棱锥中，设底面边长为2*根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而

可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误.

【详解】如图，在正四棱锥S-/8CD中，。为正方形4SCD的中心，SHLAB,

则H为的中点，连接SO,OH,AO,

则SO_L平面48CD,OHLAB,

则/SHO为侧面与底面所成的锐二面角，

设底面边长为2a,正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为。,

这个角接近30°,取。=30°,.•./S7TO=3O。，

则OH=a,OS=®a,SH=^~a.

33

在中，/+]¥“)=(4扃『，解得a=12,故底面边长为24(m),

正四棱锥的高为乎xl2=4g(m),

侧面积为S=4x^x24x述xl2=384扁2,

23

体积展;x24x24x4行=768扇3,

故ABC正确，D错误.

故选：D.

6.若等差数列｛g｝的前〃项和为S",贝1]"$2024>0且S2025<0”是“。皿2%013<0''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断为。12>0，%。13<0,说明充分性，由

用012<°，%013>0时，即可说明不必要性.

【详解】因为其024>。且邑。25<。，所以等差数列｛%｝单调递减，且公差小于0,

士b<、nc_(%+。2023)x2023Ac_(%+^2025)x2025,八

d

取2023>U,52023=-------------------------------------->0,^2025=--------------------------------------<0，

则4+。2023—^1012>0Ml+。2025=勿1013<°，

即%012>°，"1013<°，所以41012。1013<°,

由。1012。1013V0，当。1012<0,-3>0时，等差数列｛%｝单调递增，

则不可能满足$2024>0且昆侬<0,

因此“S2024>0且星（）25<0”是<0”的充分不必要条件.

故选：A.

7.党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务”的新部署.某企业落实该

举措后因地制宜，发展经济，预计2023年人均增加1000元收入，以后每年将在此基础上以10%的增长率增

长，则该企业每年人均增加收入开始超过3000元的年份大约是（）

（参考数据：ln3®1.10,InlO®2.30,tall®2.40）

A.2034年B.2035年C.2036年D.2037年

【分析】从2023年起，第〃（〃eN*）该企业人均增加收入超过3000元，求出第〃年的人均增加收入，可得出

关于〃的不等式，解之即可.

【详解】从2023年起，第〃（〃eN*）该企业人均增加收入超过3000元，

因为从2023年起，每年将在此基础上以10%的增长率增长，

所以,第〃年该企业的人均增加收入为1000x1.1"元,由1000x1.1">3000,即1.1">3,

故2023+12=2035年开始，该企业每年人均增加收入开始超过3000元.

故选：B.

22

8.已知双曲线C:t-匕=1的左、右焦点分别为片、耳，过坐标原点的直线与双曲线。交于/、3两点,

若阳旬=2闺/，则|/却=（

A.4拒B.277C.477

【分析】根据双曲线的对称性及定义,求出14乙1、寓a长度，由直角三角形求解可得解.

【详解】如图,

由双曲线的对称性知闺同=|“闾,

所以闺a=2内3=2|典

由双曲线定义可得国闻一以巴|=2|/%|一卜阊曰=2a=4,

所以国4=8,又国引=2c=4芯,

所以1GH2=1/闻2+|月与「，即⑷U片与，

所以|。4|=3网2+阴2=&2+16=2近，

故|/凶=2|0/|=4"，

故选：C

9.已知抛物线j/=8x的焦点为为点尸在抛物线上运动，点0在圆(x-5)2+(y-l)2=l上运动，则怛尸|+户。|

的最小值为()

A.6B.7C.8D.9

【分析】由抛物线的定义知道|尸刊=|尸M，然后知道三点共线线段和最小，所以在圆上找到离直线距离最近

的点即可得到最小值.

【详解】由抛物线方程y?=8x可得焦点尸(2,0),准线方程为x=-2,

如图:

过点P作准线的垂线，垂足为N,

因为点P在抛物线上，所以|尸尸|=|PN],所以卢尸|+|尸0|=|/W|+|尸0|,

当0点固定不动时，P、。、N三点共线，即0N垂直于准线时，所求的和最小，

又因为。在圆上运动，由圆的方程为（x-5『+（y-iy=l得圆心M（5,l）,半径厂=1,

所以|QNL=|MV|-r=7-l=6.

故选：A.

10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种

几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）

杨辉三角

第0行（。+6）°1

第1行（。+，11

第2行(a+6)2121

第3行("6)31331

第4行("6)414641

第5行（。+6）’15101051

第6行（。+6）61615201561

第7行(a+b)7172135352171

第8行(a+b)818285670562881

A.在第10行中第5个数最大

B.第2023行中第1011个数和第1012个数相等

C.C；+C；+C；+…+C；o=12O

D.第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数

【分析】根据杨辉三角的规律以及组合数的性质逐一进行判断即得.

【详解】对于A,因“杨辉三角”的第10行中第5个数是C=又C：0<C：。，故A错误；

对于B,因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为C黑和C器;,

因1010+1011=2023,故c黑卜C黑,故B错误;

2

对于c,因c；+c；+c；+c；+…+Co=c^+c4+tf5+---+d20

=C；+C+…+/=《+/=以=21x?xl9=1330,

贝ijC；+C：+C；+—+C；o=1330-1=1329,故C错误；

对于D,因C：+C；+C；=1+7+28=36,而C；=C；=36,故D正确.

故选：D.

第n卷(非选择题共no分)

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.复数上的模为——

【分析】由复数的四则运算及模长公式即可求解.

ii(l-i)1+i

【详解】=

l+i(l+i)(l-i)V

故答案为：f

12.已知2*=5》=%，且工+工=1,则加的值为____.

xy

【分析】由对数的定义求出x=iog,〃2,y=iog5加，代入工+,=1,利用对数的运算即可求解.

xy

【详解】由2*=5>=m，贝!I尤=bg2",y=log5m,

则』+工=+-=logm2+logm5=log,„10=l,

xylog2mlog5m

因此可得加=10,

故答案为：10.

13.在平面直角坐标系式。了中，已知点尸(cose,sine),将线段。尸绕原点。按顺时针方向旋转至线段。尸,

若cosa=g,则点P'的纵坐标为.

【分析】根据任意角三角函数的定义，结合诱导公式，可得答案.

【详解】由题意可知，终边为。尸的角为则终边为OP的角为a-],

点尸，的纵坐标为sin^tz-1-j=-cosa=-^.

故答案为：——.

14.在V/8C中，角/,B,C所对的边分别为a,6,c.已知N,B,C成等差数列，a2+c2=4,则V48c面

积的最大值是,(4sinZsinC+3/=.

【分析】由等差数列性质可得3,结合重要不等式及三角形面积公式即可求得三角形面积的最大值；运用正

弦定理可得sin/=叵，sinC=叵，由余弦定理可得〃=4-ac,代入求解即可.

2b2b

【详解】由题意知，2B=A+C,

7T

又/+_B+C=n,所以2=3，

又02+C2=4,a2+c2>2ac，当且仅当时取等号，

所以ac《2,当且仅当“=c时取等号，

所以黑四。=LcsinB=—acsin—=^-ac<，当且仅当a=c时取等号.

阮22342

故VABC面积的最大值为—.

2

h不acb

B=r

sinAsinCsinB

mi、1./asin8ja.「csinBy/3c

所以sm4=--------=------,sinC——

b2bb2b

3ac

所以4sin4sinC=4xx-----=——，

2b2b时

兀

由余弦定理得〃=，+c2-2accosB=4-2accos—=4-ac,

3

所以(4sin/sinC+3)62=(含+3)〃=3ac+3〃=3ac+3(4-ac)=12.

故答案为：立；12.

2

15.从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点A出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走〃

次时恰好为第一次回到A点的概率为匕(〃eN+),恰好为第二次回到A点的概率为Q,,(〃eN+),则下列结论

正确的是__________

①.P3=|②.。4=)

③."W2时，密为定值④.数歹式。“｝的最大项为。

rn，/

【分析】还原情境，求出勺和逐项判断即可求解.

【详解】由题意得对于任意一次行走，到达其他三个点概率均为:，

若要行走3次时恰好第一次回到A点，则第1、2次均不到点4

212

所以6=§x§=§,故①选项正确；

若要行走4次时恰好第二次回到A点，则第2次必须回到点概率为2=；xg=g,故②选项错误;

若要行走〃次时恰好为第一次回到A点，则"-1次均未到达点/,所以

所以娶=彳为定值，故③选项正确；

当“W3时，2=0；

当“24时，设第后（24左W〃-2）次第一次到达点/,第〃次恰好第二次到达点/,

由于第1次和第左+1次的行走不用限制，所以此时概率为I

所以5小丁二（〃一唱；”3

<0,1277—2

令7[=£7-1,解得〃W5,

Q„3n-3

所以0<Q<&=。6,2=2>0>以>…，

4

所以2和Q为最大值万，故④选项正确.

故选：①③④.

三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

16.（13分）已知函数/（x）=asin0xcos0x（a>0,。>0）.从下列四个条件中选择两个作为己知，使函

数/'（x）存在且唯一确定.

⑴求「（X）的解析式;

出设8（X）=/（》）-2<：052似+1,xe（O,兀），求函数g（x）的最小值与单调递减区间.

71

条件①：f—1;

条件②：/（x）为偶函数;

条件③：/(x)的最大值为1;

条件④：/(X)图象的相邻两条对称轴之间的距离为

注：如果选择的条件不符合要求，第(1)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

【分析】(1)由二倍角易得/(尤)=]sin2ox,函数为奇函数，故②不能选，若①和③同时选，不满足函数f(x)

存在且唯一；选择条件①④，由相邻两条对称轴之间的距离可得周期，即得。的值，由代入即可

得。的值；选择条件③④，由最大值得。的值，进而得解析式.

(2)通过公式化简可得g(x)=V^sin12x-：j,由xe(O,7t),计算出的范围，根据正弦函数的性质

即可得最值与单调性.

【详解】(1)=asinoxcosa>x="|sin2侬为奇函数，故②不能选，

选择条件①③：

因为函数“X)的最大值为1，所以5=1,即。=2,

因为=所以sin]o=l，。的值不唯一，故不能选.

选择条件①④：

因为函数/(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为所以高=兀，即。=1，

所以/(%)="|sin2x,

因为=所以|sin1=l,即a=2,

所以/(x)=sin2x.

选择条件③④：

因为函数/(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为所以关=兀，即。=1，

所以2x-：=W，

42

因为函数/(X)的最大值为1，所以■|=1,即。=2,

所以/(x)=sin2x.

(2)g(x)=f(x)-2cos之3+1=sin2x-cos2x=6sin2x--,

.、>ll,.兀

17L_7L7

因为JOVXVTI,所以<2%<,

444

当2》一：=2,即x=£时，&("=/[曰=-收，

因为V=sinx在|1■+2E,1'+2左兀)(keZ)上单调递减，

jrjr37r37r7冗

所以万+24兀<2x--<—+2far[kGZ),所以-^-+E<%<飞+E(kGZ),

所以函数g(x)在(o,兀)上的单调递减区间为(生,?1.

17.(14分)某智能机器人体验店近日生意火爆，来店的消费者络绎不绝，店长对最近100位消费者的体验

机器人时长(不超过25分钟)进行了统计，统计结果如下表所示，已知每位消费者在该人工智能体验店每

体验一台机器人的时间为5分钟，该体验店的利润为100元，体验时间为10分钟或者15分钟，其利润为

150元，体验时间为20分钟或者25分钟，其利润为200元.用X表示该体验店从一名消费者身上获取的利

润.

体验时间5分钟10分钟15分钟20分钟25分钟

频数3020201020

(1)若以频率作为概率，求在该体验店消费的3名消费者中，至多有1名体验者体验15分钟的概率;

(2)求X的分布列及期望.

【分析】(1)求出体验者体验15分钟的概率，利用独立事件的概率乘法公式求解即可；

(2)由题意，X可能取值为：100,150,200,,求出相应的概率，得到X的分布列，再结合期望公式求解.

【详解】(1)以频率作为概率，则体验者体验15分钟的概率为0.2,事件A“在该体验店消费的3名消费者

中，至多有1名体验者体验15分钟”，

则尸(4)=og+C；x0.2X0.82=0.896

(2)由题意，X可能取值为：100,150,200,

30

则P(X=100)=嬴=0.3；

20+20”

尸(X=150)=------二0.4,

100

更a=0.3,

P(X=200)=

100

所以X的分布列为:

X100150200

P0.30.40.3

所以E(X)=100x0.3+150x0.4+200x0.3=150

18.(14分)如图，尸。_L平面NBC。，ADLCD,ABUCD,PQ//CD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2,

点E,F,M分别为NP,CD,3。的中点.

(1)求证：EF〃平面CPM；

⑵求平面与直线PC所成角的余弦值；

TT

(3)若N为线段C。上的点，直线DN与平面。7W所成的角为:，求N到平面CPM的距离.

6

【分析】(1)连接可证四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证得；

(2)建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角余弦值即可；

(3)设函=X函且0W4W1,应用空间向量法及直线DV与平面。尸”所成的角为F，列方程求参数，再

应用空间向量法求出点面距即可.

【详解】(1)连接EM,因为/B//CD,PQ//CD,所以N8//P。，又PQ=AB,

所以四边形尸。8/为平行四边形，又点£,“分别为/尸，50中点，贝且=

因为CD=2/8,ABUCD,所以CA//EW且瓦欣=1CO,

2

又点尸为CD的中点，所以CF〃应0且应W=C尸，

所以四边形Affi户C为平行四边形，所以MC//EF,

又EFU平面CPM,MCu平面CPM,所以EFH平面CPM.

(2)因为PD_L平面/BCD,N。,CDu平面4BCD,

所以尸DLCD,PD1AD,又/OLCD,

以点。为原点，分别以D4,DC,。尸为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图).

所以。(0,0,0),尸(0,0,2),C(0,2,0),5(2,1,0),0(0,1,2),M(1,1,1),

则网=(0,1,0),m=PC=(0,2,-2),

一fm-PQ=y=0

设平面。尸”的法向量为〃?=(X,y,Z),则__."',取X=l,则玩=(1,0,1).

mPM=x+y-z=0

-—,1-n\rn-PC\|lx0+0x2+lx(-2)|1

设平面2PM与直线PC所成角9,则sin6==L=\i,?=-,

|根||尸C|V12+12X722+(-2)22

所以。尸”与直线PC所成角的正弦值为1.

2

(3)设函=2函且0W4W1,则丽=彳函+友="0,-1,2)+(0,2,0)=(0,2-42；1),

因为直线ON与平面"”所成的角为?所以'I吟=/|lx0+0x(2-A)+lx(2Z)|^1

正+屋,(2—4)2+(2刃22

2—.(24

所以3%+42—4=0,解得力=](几=一2舍去)，所以CN=(0,—

因为正=(0,2,-2),同7=(1,1,-1),设平面CPM的法向量为瓦=(尤”％zj,

n-PC=2y,-2z.-0_

则_一.，取必=1,则〃=(0,1,1).

n-PM=x1+yl-z1=0

I——入0x0+1x+1x—I—

则N到平面CPM的距离为「叫_I3J3=V2.

|«|Vl2+12-万

19(14分).已知椭圆C：会+方=1(。>6>0)的左顶点为A,C的长轴长为4,焦距为26过定点7日0)

(tw±2)作与x轴不重合的直线交C于P,0两点，直线AP,分别与歹轴交于点M,N.

⑴求C的方程；

（2）是否存在点T,使得等于定值;？若存在，求/的值；若不存在，说明理由.

【分析】（1）由题可知，2a=4,2c=2V3,然后利用。，4c的关系求解即可.

（2）先设直线尸。的方程为》=阳+/,尸（士,乂）,%），然后直线方程与椭圆方程联立，计算得到

%+力=二"，必力=2;土然后求出M0,必三，N0,三，再计算的值，化简最后求

m+4m+4xx+Zjx2+2J

出t即可.

【详解】（1）由题可知，2a=4,2c=273

得a=2,c=A/=Jo?-d—1

所以椭圆C的方程为二+/=i

4

（2）由题可知，直线尸。不能水平，4（一2,0）

设直线尸。的方程为无=即+。，尸（无1，%）,。（尤2，%）

儿+2]

联立<4+V_=^>(m2+4)J；2+2mty+-4=0

x=my+t

所以A=(2加J-4(m2+4)(Z2-4)=16(m2-t2+4)>0

—2mt/—4

乂十%

2/y^2=―—；

m+4m+4

直线AP方程为y=/(%+2)

所以MO,用、同理N（0,卫、

l玉+2、％2+2/

所以10MlON『二且I________1Z1Z2________

十乙X,十N(即1+%+2)(叼2+/+2)

44

_____________4必%加+4

加〉1%+m0+2)(%+y)+c+2)2/_4-2mt/日、2

2m—------\-m1+2)——+U+2)

m2+4''/+4''

=___________4"2)__________t-2

(t-2)-2m~t+{t+2乂〃广+4)%+2

若|。闾.|0叫=!，得%=4或;1

当£=4时，A=16(加之_12)>0,得冽〉2行或相<一2百，成立

当f=1时，A=16(/+3)>0恒成立，

所以存在点T,使得|(WHCW|等于定值;，=1或/=4.

20.(15分)已知函数/(x)=e"(lnx—。).

⑴若曲线》=/(%)在点(1,7(1))处的切线与x轴平行，求实数。的值；

⑵若函数/(X)在内存在极值，求实数。的取值范围；

(3)若对任意的实数尤<1,+8),恒成立，求实数。的取值范围.

【分析】(1)对函数求导，根据曲线丁=/(x)在点(1J。))处的切线与x轴平行，可得广(1)=0,即可求a；

(2)令g(x)=ln尤-a+}由已知函数f(x)在[J]内存在极值，则g(x)在'』)内有变号零点，通过求

导判断函数的单调性，得出g]£|>0,g(l)<0,解不等式即可求解；

(3)由已知aWlnx+4在xe[l,+s)上恒成立，设〃(x)=lnx+4，xe[l,+s),通过求导判断函数的单调

ee

性求得最小值，即可求解.

【详解】(1)因为〃x)=e，(ln…),

所以f'{x)=(eA)(lnx-a)+ex[\nx-a^=e''(lnx-a)+e*•—=ex^lnx-a+—,

因为曲线y=/(x)在点(1J。))处的切线与无轴平行，

所以尸(1)=0,即e(lnl-a+l)=0,所以a=l；

(2)由(1)可知/'(x)=e[lnx-a+B,

因为函数/(x)在内存在极值，

所以d(in尤-。+!)=0在化11]内有变号根,

x2

因为e"〉0,所以lnx—a+'=0在g,l内有变号根,

X

令g(x)=lnx-a+LXG

ii_i

所以g〈x)=L-5=±T9，由夕(无)=0,得x=l,

XXX

所以当工£时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

且gIn——〃+2,g(l)=lnl-。+1=1-ci,

)在(：，[内有变号零点,

要使g(x)在内有变号根，即g(x

g>0In—a+2>0

所以I，即2,解得—ln2,

g(l)<01—q<0

所以实数。的取值范围为(1,2-1112)；

(3)若对任意的实数无«1,+8),/(x)N-l恒成立，

则e*(lnx-a)N-l,即a4lnx+二在xe[,+<»)上恒成立,

设%(%)=1111+二，XG[1,+a?),

所以"(x)=1-L=

设研x)=e，-x,则阳力=1-1,

因为xNl,所以夕'(x)，0,0(x)单调递增，

所以e(x)Z矶l)=e-l>0,所以〃(x)>0,所以A(x)单调递增,

所以力⑺2Ml)=lnl+LL

ee

所以avL实数。的取值范围为.

eIe」

21.(15分)已知数列｛%｝的前"项