2025年高考数学模拟卷6（新高考八省专用）（解析版）

备战2025年高考数学模拟卷(新高考八省专用)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.已知集合4=卜|*2-*-240},3=3y=&+l},则A[J8=()

A.[1⑵B.[-l,+oo)C.[-1,1]D.[l,+oo)

【答案】B

【分析】解一元二次不等式得集合A,根据集合的描述法转化得集合8,根据集合的并集的概念求解即可

得结论.

【详解】不等式/_》_2W0解得-IV,则人={3[-1<；1<2},

函数y=4+l中xNO,所以yNl,故3={y|y21},

所以AU3=[T，”).

故选：B.

2.若i.z=l+i,则目=()

A.-#)B.-72C.V5D.72

【答案】D

【分析】利用复数的除法化简可得出复数z,利用共物复数的定义以及复数的模长公式可求得结果.

【详解】因为i-z=l+i,贝!Jz=W=U=l-i,所以，口1+i，

11

所以，同=#7?=应.

故选：D.

3.已知命题p：VxeR,ln(2"+l)>0,命题sin(2x+3)=3,则()

A.P和4都是真命题B.T7和4都是真命题

C.。和-1^都是真命题D.T7和r7都是真命题

【答案】C

【分析】解不等式ln（2，+l）＞0,结合尸sin®x+0）的值域为［-1』，及命题的真假判断即可.

【详解】ln（2"+l）＞0,Bpin（2x+l）＞lnl,

因为函数y=lnx在（0,+s）上单调递增，

所以2*+1＞1，即2工＞0,解得xeR,所以命题。是真命题；

y=sin（ox+0）的值域为［-U］,所以命题4是假命题，则F是真命题.

故选：C.

4.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似

看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm）,那么该壶的容积约为（）

10------►

A.100cm3B.205cm3C.300cm3D.400cm3

【答案】B

【分析】法一：利用圆台体积公式进行求解，再结合选项得到答案；法二：补全图像利用三角形相似可求

出小圆锥体的高，大圆锥体积减小圆锥体积即可求解.

【详解】解法一：根据题意可知"=4,r=3,R=5,根据圆台体积公式可得

V=17t/7（r2+7?2+rT?）=17tx4x（32+52+3x5）=^^«205（cm3）.

解法二：如图，设小圆锥的高为xcm,根据三角形相识可得X告=：3,解得兀=6,

x+45

»士g4如位兀*52xlOTIX32x6196K一一/

所以该壶的容积为-----------------=----«205cm3）.

故选：B.

it孝则1-tana

5.若cos+-

sina

A.上BD

5-1-i

【答案】c

1-tana

【分析】由题给条件求得cosa-sina,cosasina的值，进而求得的值.

sina

【详解】由cos[a+£|=¥，A/2._V2

可得----sinex=-----9

223

.225

贝（Jeosa-sina=§,则（cosa-sina,贝！|cosasina=——,

18

2

,1-tancosa-sina3_12

故t—:----

sinasinacosa55

18

故选：C

则）+上的最小值为（

6.已知x>0,z>0,且—

Xz

A.3B.5C.7D.8

【答案】B

【分析】结合已知条件对上+8进行变形，得到）+史上三+期一1,再利用基本不等式求最小值.

XZXZXZ

E、r、cy9x、z—x9xZ9%Y

【详解】因为”z-x,x>0,所以」+—>----+—=-+——1,

XZXZXZ

因为x>0,z>0,所以三+邓-122、/土旦-1=5,所以）+邓N5,

XZVXzXZ

[y=2x,一

当且仅当.0时取等号.

lz=3x

所以』+史的最小值为5.

XZ

故选：B.

7.若函数/（%）=:一在九=2时取得极小值，则/（%）的极大值为（）

x+bx+\

13

A.-B.1C.—eD.e

e8

【答案】D

【分析】根据函数求导，结合极小值的定义建立方程求得参数，还原函数解析式明确定义域，求导列表,

可得答案.

9[炉+(/;一2)1+1-同

【详解】由函数/(町=H5—，求导可得/'(%)=

4~iL/JvI-L(%2+〃龙+1)

由题意可得((2)=0,则4+2伍-2)+—解得〃=—1,

所以回Ei则x2—尤+1=+-1>0,

)e*(尤])(%2)

,令/'(力=0,解得x=l或2,

可得下表:

X(fl)10,2)2(2,+oo)

f'(x)+0—0+

/W/极大值/极小值/

i

则函数的极大值为/(1)=苦e肉=e

故选：D.

22

8.设椭圆E京+琶=l(a>b>0)的左右焦点为小工，右顶点为A,已知点P在椭圆E上,若4尸为=90。,

NPA&=45。，则椭圆的离心率为()

A.73-1B.逅C.72-1D.-

37

【答案】A

【分析】利用已知条件求出P点坐标，代入|巴讣|柩|=2/-2°2中形成齐次方程，解出离心率即可.

【详解】

如图：由题意不妨设Pg,%）在第一象限，知|「盟+|「局=2a①,

因为4尸8=90。，所以耳『+|巡『=4。2②,

所以（|明+陷『-（陷「+|尸闾）=2|明.附卜4/_布，

则归耳口尸鸟|=2/-2。2,且|OP|=C,即k+y：=c2,

又由N7M£=45。，所以|刚=|尸"|=%,又|。叫=和即%+%=。,

结合s刖%=加解得玉=竺止,％=工，

CC

22

代入。+多=1（〃〉。〉0）中，整理得—2ac+2a2—c2=0,

ab

即3+2e-2=0,解得e=g+l（舍）或e=6-L

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.某校为了更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类、科技创新类、体艺特长类三种类型的校本课程，

每位同学从中选择一门课程学习.现对该校5000名学生的选课情况进行了统计，如图1,并用分层随机抽样

的方法从中抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查，如图2.则下列说法正确的是（）

图2

A.满意度调查中抽取的样本容量为5000

B.该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1250

C.该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为875

D.若抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30,则a=70

【答案】BC

【分析】根据满意率调查图表即可判断A选项，根据扇形统计图计算即可判断B选项，根据题意计算即可

判断C选项，列出方程即可判断D选项.

【详解】满意率调查中抽取的样本容量为5000*2%=100,A错误；

由扇形统计图知1-35%-40%=25%,

则5000x25%=1250人，B正确；

该校学生中对体艺特长类课程满意的人数约为5OOOx35%x5O%=875人，C正确；

抽取的学生中对科技创新类课程满意的人数为30,

贝!|100x40%xa%=30,贝!|a=75,D错误.

故选：BC.

10.定义在R上的偶函数/(X),满足/(x+2)-/(x)=/⑴，则()

A./(1)=0B./(l-x)+/(l+x)=0

20

C./(l+2x)=/(l-2x)D.E"i)=10

Z=1

【答案】AC

【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得/(x+2)-/(-》)=0、/(尤+1)_/(1-幻=0判断11、

C；根据函数的性质，举反例/(尤)=。判断D.

【详解】由〃x+2)-〃x)=〃l),令x=-l,贝!|〃1)一〃一1)=7⑴=/(-1)=0,

又/(X)为偶函数,则/⑴=/(-1)=0,A对；

由上，得/(x+2)-/(x)=0n/(x+2)-/(-x)=0(1),

在①式，将尤-1代换工,得/(x+l)-/(l-x)=0②，B错；

在②式,将②代换工,得F(2x+l)-2”2x)=0n心+l)"(l-2x),C对；

由〃x+2)=〃x)且/(x+l)=f(l-x),即周期为2且关于尤=1对称,

20

显然/。)=。是满足题设的一个函数，此时£/(i)=。，D错.

i=l

故选：AC

11.已知函数〃x)=sin0x+Gcos(yx(o>O),尤e[0,兀],对Vxe[0,7r]都有机M,且广⑺的零点

有且只有3个.下列选项中正确的有(

A.M+m=0

8n

。的取值范围为

B.357

C.使/(5)="的尤。有且只有2个

D.方程〃x)=有的所有根之和为6万

【答案】AC

【分析】〃x)=sin0x+JGcos0x=2sin(5：+g),始终把。x+g看做一个整体，借助正弦函数的图象、最

值、方程的根来对选项逐一分析即可.

【详解】〃x)=sinGx+\/§cosGx=2sin(s;+a，令£+$贝!Jy=2sin，,

令/(x)=0,即sinf=O,

7171

xe[0,7i],:.t=cox+1^^一,(071H--,

33

则/⑺在[0,可上有3个零点,

TV

贝!)3兀W/maxV4兀，即3兀«师+]<4兀,

Q11

解得<葭，故B错误;

7171

,.,xe[0,7i],cox+^£一,6971H---,

33

则朋'=2,m=-2,所以A/+根=0,故A正确;

若/(x())=M=2,即sin(叫)+?=：!,

7TTC_7157rri.

0x0+§=5或①%+1=万，故C正确»

/(0)=73,且/(二的零点有且只有3个,

所以方程f(x)=6有四个根，从小到大分别为。，0%2，入3.

/(x)=A/3,BPsint=,

2

兀2兀兀7兀兀8兀

贝=公石+§=可/2=O)X2+~=~^3=刃"3+]=可，

14兀

贝[]<2?(0+X]+X[+毛)=~~~9

故0+%+%+无3=贵，即方程〃力=6的所有根之和为事，故D错误.

故选：AC.

【点睛】方法点睛：解决。的取值范围与最值问题主要方法是换元法和卡住。的大致范围，如本题B选项，

具体方法为：

(1)根据x的范围，求出0X+0的范围；

(2)把0X+。看成一个整体，即利用换元法，把，=4$皿8+0)变成y=Asinf来降低解决问题的难度，再

借助正弦函数的图象，要使/(左)有3个零点，则8+。的最大值就必须在［3兀,4兀)之间，列出不等式即可求

出。的取值范围.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知平面向量£,5满足忖=忖=|2-»=2,则>5=.

【答案】2

【分析】根据向量的模长结合数量积的运算即可得数量积.

【详解】因为忖第=斤5卜2,

所以,一可2=4,贝!I方2-21石+后=4一2洒5+4=4,解得75=2.

故答案为：2.

13.已知直线严依与曲线〃x)=F相切，则实数。的值为.

2

【答案】-e

4

【分析】设切点坐标，求导数表示斜率，结合切线过原点可计算切点横坐标，进而算出。的值.

【详解】设切点为氟一，

根玉

由〃尤)=♦得，­3=当3，故切线斜率T),

由直线>=依可知切线过(0,0),故。=

.••冬―丁）,解得々=2,

XQX0

•_e2

..Q=--•

4

2

故答案为：e

4

14.已知抛物线丁=2°32>0）上的点尸（2,%）到焦点尸的距离为4,过点尸作直线/交抛物线于A8两点，

延长阳交准线于点C,A,B两点在准线上的射影分别为M,N,若忸。=2忸N|,则AAFM的面积为.

【答案】16出

【分析】借助焦半径公式可得P,借助抛物线定义与相似三角形的性质计算可得|AM|=|AF|=8,结合三角

形面积公式即可得解.

【详解】由抛物线注=20%5>0）过点尸（2,%）,且冒尸1=4,

得2+§=4,，0=4，P（2,0）,准线方程为x=—2,

如图.因为忸C|=2忸N|,所以NBCN=30。,所以NC4M=60。,

连接又|AM卜|/W|,所以△血为等边三角形，

....,,,\BN\BC2

因为忸2=忸用，所以忸q=2忸用，得望=不=耳，

Q

得忸N|=忸同=],所以\CF\=\CB\+\BF\=3\BF\=8,

由1^=色=1_~r=—r~r,解得|AM|=|AF|=8,

所以Sw=；|W|A叫sin6O'=1x82xg=16G

故答案为：16g\

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助相似三角形的性质，得到系列等式，以解出|A"|、|AF|

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)设数列｛%｝是首项为1的等比数列，己知卬4%成等差数列，数列｛2｝满足"=等.

(1)求数列｛4｝和也,｝的通项公式；

(2)记Sn和J分别为数列｛%｝和也,｝的前鼠项和，证明：Tn<Sn.

【答案】尸，b,g

⑵证明见解析

【分析】(1)设｛4｝的公比为4(4H。)，利用等比数列的基本量运算代入计算求出4即得；

(2)利用等比数列求和公式计算S.,利用错位相减法计算T”，运用作差法比较两者即得证.

【详解】(1)因为｛4｝是首项为1的等比数列且%+；，4a3成等差数列，设｛4｝的公比为鼠4中0),

由2（%+；）=q+4%,可得2（q+；）=l+4q2,解得：q=g或g=°（舍去）.

n

故%=e）i,4弋

T

1x（1-g）

=2（1$）

(2)由(1)可得由=

12n-1n

数列｛bn｝的前H项和[=]+级+…+k谈’①

112n-1几小

贝！=夕+方+…+方^+声•②

1

1111

由①一②得(7；=--1----11-•••-]n2Tn

22223------2"2n+1

nn+2

「J2“+i2"+1

2+n

即看=2-

2n

2+n-2（1-白=22+n

由（一S.=2_

2"2"2"4<。，

可得T<S",得证.

16.（15分）已知VA8C为等边三角形，ZVIBD为等腰直角三角形，ABLBD,平面ABC，平面平

面四边形C8ZJE中，CE=；BD,CE〃平面点尸为AD中点，连接斯.

（1）求证：平面AED_L平面A33；

（2）求二面角C-AE-O的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

4

【分析】（D取A3的中点。，连接OEOC,可证CO,平面钻D,进而证明四边形OFEC是平行四边形，

从而可证结论成立.

（2）以。为坐标原点，分别以0Aoe，。尸所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系.不妨设正VABC的边长

为2,求出相关点的的坐标，求出平面AEC的法向量，平面AED的法向量，取法向量的方向一进一出，利

用空间向量的公式求解即可.

【详解】（1）取的中点0,连接。£OC,

又因VABC为等边三角形，所以

又因为面ABC_L平面ABD,平面A3CPI平面=

COu面ABC,所以CO_L平面ABD,

又因为CE〃平面ABO,CEu平面CBDE,平面CBDEfl平面ABD=,

所以CE〃BD,

又点尸为AD中点，所以。VABD且=又CE=；BD,

所以。尸〃EC,。尸=EC,所以四边形OEEC是平行四边形，

所以CO//EF,所以跖_L平面A3D,斯u平面AED,

所以平面_L平面ABD；

(2)由(1)可知CO_L平面ABD,OPu平面ABD,所以CO_LOF,

又因为OF//BD,所以_La),

以0为坐标原点，分别以OA,OC,OF所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设正VABC的边长为2,

则0(0,0,0),A(l,0,0),C(0,后0),E(0,省,1),£>(-1,0,2),

AC=(-1,A/3,0),AE(-1,s/3,1),AD(-2,0,2),

设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),

n-AC=-x+A/3y=0*

则｛―.r,不妨令y=石，贝！Jx=3,z=0,

n-AE=-x+y/3y+z=Q

所以平面AEC的法向量为方=(3,6,0),

设平面AED的法向量m=(a,b,c),

mAD=—2a+2c=0

则〈—不妨令c=l,贝!|a=l/=。,

fn-AE=-a+6b+c=0

所以平面AEC的法向量为何=(1,0,1),

__希加3V6

所以c°sw印

所求二面角C-4J-O的正弦值为J1-(-4)2=乎.

17.(15分)重庆市高考数学自2024年起第9至11题为多选题，每道题共4个选项，正确选项为两个或三个，

其评分标准是:每道题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分(若某道题正确选项为两个，漏选一个

正确选项得3分;若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分)，错选或

不选得0分.现甲、乙两名同学参加了有这种多选题的某次模拟考试.

(1)假设第9题正确选项为三个，若甲同学完全不会，就随机地选了两项或三项作答，所有选法等可能，求

甲同学第9题得。分的概率；

(2)已知第10题乙同学能正确的判断出其中的一个选项是不符合题意的，他在剩下的三个选项中随机地猜选

了两个选项;第11题乙同学完全不会，他在四个选项中随机地猜选了一个选项.若第10题和11题正确选项是两

个和三个的概率都为《•求乙同学第10题和11题得分总和X的分布列及数学期望.

2

【答案】(1R3

(2)分布列见解析，期望为£

【分析】(1)设四个选项分别为A，8，G。，其中错误选项为。，列举法进行求解；

(2)设出事件，得到第10题乙同学得Q4,6分的概率，第H题乙同学得023分的概率，第10,11题得分总

和X的可能取值为0,2,3,4,6,7,8,9,用独立事件概率乘法公式得到相应的概率，从而求出分布列和数学期

望.

【详解】(1)假设四个选项分别为C。，其中错误选项为。，

总的选法共有10种，分别为AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,

其中得。分的选法为4c£>,88,共6种，

故甲同学得。分的概率为A=|;

(2)第10题乙同学三个选项中随机猜选两项，用4,4,4分别表示第10题乙同学得。，4,6分，

第11题乙同学四个选项中随机猜选一项，用稣，与，为分别表示第11题乙同学得。，2,3分,

则P(4)=[♦罟+?。＜尸⑷=》0+5=3,p(A)=；.'+gxo=：,

从而第10,11题得分总和X的可能取值为0,2,3,4,6,7,8,9,

i31131

p（x=o）=p（ABo）=-xi=-,P（X=2）=P（4,B2）=-X-=-,

iiii33

P（X=3）=P（4B3）=-X-=-,P（X=4）=P（A4B0）=-X-=-,

13131

P（X=6）=P（A4B2+AB0）=-xi+-x-=-,

P（X=7）=P（A4B3）=1xl=1,P（X=8）=P（4,B2）=1X|=^,

尸（X=9）=P（AA）=gx：=='

X的分布列为:

X02346789

11131111

r

881216481624

故数学期望为E（X）=0x!+2xl+3x-l-+4x2+6xL7x』+8x-l-+9x-l-=2.

'）8812164816242

18.（17分）已知函数/（x）=<zv2—l+21nr.

⑴讨论的单调性；

⑵当4=1时，若存4、%在，满足了（3六-〃多），证明：玉+尤2»2;

⑶对任意的x>0,尸（无）《屁2工+：_111.1恒成立，其中/'⑺是函数"X）的导数，求。的取值范围.

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析

⑶S]

【分析】⑴求导八6=2办+2=2（4+1）,分。<0讨论求解；

XX

（2）由（1）知/（可在（0,+"）上单调递增，转化为证明占+%>2,然后利用极值点偏移证明；

（3）将问题转化为0«=2'-（1=+1）求解；

lx

【详解】（1）解：〃尤）的定义域为他+⑹，/,（无）=2办+2=2（加+1）.

XX

当时,r（x）>0,在（0,+8）上单调递增；

匚或x=_『B（舍去）,

当avO时，令/，（%）=0,得%

/I—―、

当时，/，（x）＞0；当xe工+00时，/（无）＜0,

aJ

II,+g］上单调递减.

所以在0,上单调递增，在

a）a）

综上，当420时，〃x）在（0,+8）上单调递增;

匚工,+00上单调递减.

当"。时,/（无）在0,上单调递增，在

a）aJ

(2)当a=l时，y(x)=%"—l+21nx,f(1)=0,

由（1）知a=l时，〃尤）在（0,+0上单调递增,

当玉。工2时，可证玉+々＞2.

不妨设要证再+%2＞2,即证％2＞2—芯，即证/（々）＞/（2_玉），

因为/(%)=-75)，所以即证〃占)+/(2-不)<0.

令g(x)=/(x)+〃2-x),其中0<x<l,

294（1）3

8'（耳=尸（无）+尸（2-尤）=2尤+、_2（2_a一二

元（无一2）

因为。＜x＜l,所以g'（x）＞0,所以g（x）在（0,1）上单调递增,

所以g（x）＜g⑴=0,所以〃%）+〃2-玉）＜0,所以%+々＞2.

当占=%时，因为〃&）=一/（龙2），所以〃不）="*2）=0，

所以再=X2=1,所以再+%=2.

综上，玉+工222.

22

(3)/z(x)=2ax+—,由---lux—1,得2ax<xe"—lux—1,

即心飞所以对任意的—，（3小+:-…恒成立'

-(lnx+1)

等价于

2x

min

xe2x-(lnx+1)

令g(x)=(x〉0),

2x

e2x+2xe2'--2x—2(xe2x-lux-1

则<(x)=X2x2e2x+\nx,

令/z(x)=2x2e2x+lnx,贝"(x)=4xe2x(l+x)+—>0,所以,(x)在(0,+8)上单调递增,

又/7(j=*_21n2<0,/2(l)=2e2>0,所以/7心〉(1)<0,

所以存在%©［』］,使得力优)=0,

2X

所以+lnx0=0,即-lnx0=2XQC°,所以ln(-ln%o)=ln2+21nx0+2x0,

所以In(—Inx。)+(-lnx0)=ln2x0+2x0,

令/(x)=lnx+M%>。)，Z'(x)=—+l>0,所以/(x)在(0,+8)上单调递增,

因为/(—ln%o)=/(2/o),所以—hu：o=2xo

又x«0,九0)时，gf(x)<0；x«Xo，+oo)时，gf(x)>0,

所以g（%）在（0,不）上单调递减，g（x）在（天,”）上单调递增,

m,njc

所以且（加„=8（尤。）=城'；1Lixoe~0+2x0-l

=1,

2升

所以所以。的取值范围是（f』.

19.（17分）在平面内，若直线/将多边形分为两部分，多边形在/两侧的顶点到直线/的距离之和相等，则

22

称/为多边形的一条“等线双曲线片:鼻-2=1（。>0]>0）的左、右焦点分别为大、F2,其离心率为2,

ab

且点尸为双曲线E右支上一动点，直线机与曲线E相切于点P,且与E的渐近线交于A、8两点，且点A在

22

点B上方.当P瑞，x轴时，直线y=l为AP耳工的等线.已知双曲线E:♦-2=1（。>0,6>0）在其上一点

ab

P（X。,%）处的切线方程为苦-咨=1.

ab

⑴求双曲线E的方程；

⑵若y="x是四边形A£8工的等线，求四边形的面积；

（3）已知