2025年高考数学三轮冲刺“8+3+3”小题速练（十） （含解析）

2025高考数学三轮冲刺-“8+3+3”小题速练（10）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8,5,7,

5,8,6,8,则这组数据的众数和中位数分别为（）.

A5,7B.6,7C.8,5D.8,7

2.圆心在V轴上，半径为1,且过点（1,2）的圆的方程是（）

A.炉+什-2)2=1B.x2+(y+2)2=1

C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)-=1

3.记S,为等差数列｛%,｝的前九项和，若。3+%=35,则$6=()

A.20B.16C.14D.12

4.如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四

个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3,每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的

体积为（）

5.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长

22

与短半轴长的乘积.如图，K，工为椭圆E：三+六=1（。〉0］〉0）的左、右焦点，中

心为原点，椭圆E的面积为石兀，直线x=4上一点P满足△耳尸耳是等腰三角形，且

/耳与尸=120。,则E的离心率为（)

12

c.D.

55

jr

6.如图，在边长为2的菱形A5c。中，/DAB=—，点、E,尸分别在边CB,CD上,

3

—.—►13

且CE=C尸,若A石・A/=—,则跖=（）

2

123

A.—B.—C.1D.一

232

7.如图，在正方体ABC。—A耳GA中，AB=2,P是正方形ABC。内部（含边界）的一

—>1—>

个动点，若DP=DB,则三棱锥p-Bgc外接球的表面积为（）

A.8不B.67rC.4后兀D.47r

8.方程2cos2%cos2x-cos-------=cos4%—l所有正根的和为(

IIx))

A.810TIB.1008TTC.1080TTD.1800TT

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.函数/(x)=2sin120x+3(O<o<l)的图象如图所示，将其向左平移看个单位长

度，得到y=g(x)的图象，则下列说法正确的是()

A.0=；B.函数Ax)的图象关于点对称

C.函数y=g(x)的图象关于直线x=g对称D.函数y=+在-上

单调递减

_2+j

10.已知复数Z0满足i3z0=----，贝IJ()

l-2i

3

A.z0的实部为不

4

B.z0的虚部为彳

C.满足：|z|<|zo|的复数z对应的点所在区域的面积为兀

3

D.z0对应的向量与x轴正方向所在向量夹角的正切值为二

4

11.在平面直角坐标系中，圆。：/+产=1,点尸为直线/:x—y—2=0上的动点,

则()

A.圆。上有且仅有两个点到直线/的距离为g

B.已知点M（3,2）,圆。上的动点N,则归刈+|/训的最小值为，万-1

C.过点P作圆C的一条切线，切点为Q,NOPQ可以为60。

D.过点尸作圆C的两条切线，切点、为M,N,则直线MV恒过定点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

c、

12.2+-（光—2y）6的展开式中J/的系数为.（用数字作答）

2

13.如图，圆锥底面半径为:，母线为=2,点6为乃1的中点，一只蚂蚁从4点出发，沿

圆锥侧面绕行一周，到达8点，其最短路线长度为，其中下坡路段长为

14.设严格递增的整数数列％,外，…，4o满足4=1，的）=4。.设/为4+出，

a2+a3,69+。20这19个数中被3整除的项的个数，则/"的最大值为,使

得f取到最大值的数列｛为｝的个数为

参考答案与详细解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】D

【解析】数据由小到大排列为5,5,6,7,8,8,8,

因此，这组数据的众数为8,中位数为7.

故选：D.

2.【答案】A

【解析】因为圆心在y轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为(。力)，

则圆的方程为V+(y—勿2=1,又点(1,2)在圆上，

所以1+(2—>)2=1,解得人=2,

所以所求圆的方程为Y+(y—2)2=1.

故选：A

3.【答案】D

【解析】・・・{%}是等差数列，

a.a,r

%+%=2%=1。，a5=5,所以。6==7,

/.公差d=a6-a5=2,

%=%—4d——3,

6x5

・・.S6=6x(-3)+-^-x2=12,

故选：D.

4.【答案】C

【解析】设每个直三棱柱高为。，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边

长为

设正四棱台的高为/?,因为每个直三棱柱的体积为3,每个四棱锥的体积为1，

1,,.

—abn=3

,2

则，可得a2b2k2=人.执=八义3=36,可得°%=12,

—b2h=1

[3

所以，该正四棱台的体积为v="/j+dxB+dxln12+16=28.

故选：C.

5.【答案】B

【解析】由题可知，V57T=nab）即"=逐，心是以月「=120。为顶角的等

腰三角形，

则有：闺闾=俨阊，ZP耳耳=/8。耳=30。，N且PA=30。，

所以照|=2|叫=2（4-c）=8-2c,又因为上q=2c,即2c=8—2c,c=2,

ab=\/5a=A/5

可得：\c=2,解得

c=2,故禺心率为e――————

71a5

a2=b2+c2b-\

故选：B.

6.【答案】C

【解析】设砺=4反（0＜彳＜1）,可得丽=%反，

有北=通+2配=通+；1砺，AF=AD+ADC=AD+AAB

故AEAF=（AB+2AD）（2AB+AD）

=A|AB|2+（22+l）AB-AD+2|A0j2=42+2（A2+1）+42=2A2+82+2,

—.—，131319

又由AE-AP=」，＜223+82+2=—,解得2=—,2=--（舍），

2222

故E,F为边CB,8的中点，所以△CEF为等边三角形，故£r=1.

故选：C.

7.【答案】A

—►1—►

【解析】若OP=—则尸为中点，^PBC为等腰直角三角形，外接圆半径为

2

|BC=L三棱锥尸-33。外接球的球心到平面P3C的距离为3台4=1,则外接球的半

径为0，所以三棱锥P-530外接球的表面积为8兀，A选项正确；

故选：A

8.【答案】C

【解析】2cos2xcos2x-cos'。"兀=cos4x-1=2cos22x-2,

、IX力

’2014兀2、

令a=cos2x,b=cos贝!]2a(a—b)=2a~—2,即ab=1,

所以a=1/=1或a=—13=—1,

(2014712)

当a=l,b=l时，即cos2x=l,cos=1,

\xJ

所以x=E，左€4》=也在AeZ,

因为1007=1x19x53,所以％=兀/9兀,53兀,1007兀，

当。=-13=-1时，即cos2x=-l,cos---------=-1,

Vx)

(2左+1)兀2014/4028兀,“

mx=----------,k€Z,x=-7-------；—=---------K€L

则2(2.+1)兀2^+11

2

4028

因为2/+1是奇数,所以布也是奇数’不成立;

所以方程所有正根的和为：兀+1珈+53兀+1007兀=108071,

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.【答案】ABD

【解析】函数/(x)=2sin|2Ox+(J,当J=2sin|等+与J=2,

,,CD71兀兀~1,77r

此t时----1———2kit,kGZ,co——F6k,左£Z,

3322

71]

因为O〈69vl,所以o=e，所以/(%)=2sin%+耳卜故A正确;

[—=2sin，1+1]=2sin0=0,所以/(x)关于点[一土。]对称，故B正确;

71

函数图象向左平移四个单位长度后得到g(%)=2sin+—=2cos%,

63

g(x)=2cosx,当x=£时，g(x)=2cosf=J§\所以函数y=g(x)的图象不关于直

66

7T

线X=—对称，故C错误；

6

1c兀、cII兀兀1c兀兀5兀「八

22%H-2COS2xH当％£,一时，2%HG—,CZ0,71

(3)I3)[99」3]99J-L

(71]7171

所以函数g2%+§在一§,§上单调递减，故D正确.

故选：ABD

10.【答案】AC

r铲去匚[出・3—2+i(―2+i)(l+2i)—2—4i+i+2i2—4—3i

【解析】由iz°二-----=------—----=---------------=-------,

0l-2il-4i255

-4-3i-4-3i-4i-3i234.

则z0=---------1

-5i--5i255

34

所以Z。的实部为w，虚部为-二，故A正确，B错误;

则忖<闻=1,设2=。+历，

22

则目=，/+/Wl,gpa+/,<1，

所以复数Z对应的点所在区域是以原点为圆心，1为半径的圆内的区域(包括圆),

则所在区域的面积为Ttxl?=兀，故C正确；

如图,Zo对应的向量为。P=

4

__54

则向量9k与X轴正方向所在向量夹角的正切值为方=3,故D错误.

5

故选：AC.

11.【答案】ABD

=A/2

【解析】选项A,由题意知，圆心(0,0)到直线的距离为4=圆的半径

为1，

由亚-1〈工〈行+1,

2

如图可知与直线I平行且与直线/距离为1的其中一条直线r与圆相交，有两个公共点,

另一条直线〃与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线/的距离为故A正确;

选项B,设点M(3,2)关于直线x—y—2=0的对称点M'(x,y),

3+x2+y

-----------------------2=U

22x=4

则C，解得,即M'(4,l),

V—2=1

—xl=—1b

、%—3

则归闾+|PN|=|之以—1=742+12-1=717-1,

即|PM|+|PN|的最小值为旧―1,故B正确;

1

选项C,由切点为Q,NOQP=90。，则在RMOQP中，sinNOPQ=jj=西,

当最小时，sinNOP。取最大值，NOPQ最大,

过点0作OPU/,垂足为作,此时|。尸|最小,最小值为10Pl=2S

即sin/OPQ最大值为立，NOPQ最大为45。，不可能为60。，故C错误;

2

选项D,设点POo，%）,切点加（为，%）,阳々,丫2），

可得切线方程为+=1,由点P在切线上，得了1%+%%=1,

同理可得无2%+%%=1，

故点,必）,N（尤2,%）都在直线+%丁=1上，

即直线MN的方程为xox+yoy=\,

又由点「（后,%）在直线/:x—y-2=0上，则y0=x0-2,

代入直线方程整理得（x+y）xo-2y-l=O,

x+y=0X~2fl1

由〈"解得〈，，即直线MV恒过定点不一7,故D正确.

—2y—1=01122）

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】—40

［解析］的通项公式为=仁严〈_2才=&(_2y尤6-，y,

24

令r=2得，T3=Cg(-2)x/=60//,止匕时60x4y2-2=i20x4/,

令r=3得，立=或(—2)、3y3=_i60尤3y3,此时一iGOdy5。j=—160//,

故x4y2的系数为120-160=-40

故答案为：-40

13.【答案】①.夕②.二Z

7

【解析】如图，将圆锥侧面沿母线序剪开并展开成扇形,

4Ji27r

易知该扇形半径为2,弧长为一，故圆心角//加=——,

33

最短路线即为扇形中的直线段/昆由余弦定理易知

屈=VB42+PB2-2PA-PBcosZAPB=^

c"PBA=PB〜AB「PA2=近

2PBBA7

过户作46的垂线，垂足为必

当蚂蚁从/点爬行到〃点的过程中，它与点尸的距离越来越小，故'为上坡路段,

当蚂蚁从〃点爬行到8点的过程中，它与点尸的距离越来越大，故物为下坡路段,

下坡路段长奶=阳cos/加=&".

故答案为：V7，—.

7

14.【答案】①.18②.25270

【解析】第一个空，设某个数除以。余数为沙，则称该数模。余力（”，力均为整数，且

b<a）,

为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1,一

个模3余2这样的组合，这样它们之和才会被3整除.

而％=1,。2。=40均为模3余1,则不可能有19组上述组别，最多出