2025年高考数学一轮复习讲义：复数

第四节复数

课标解读考向预测

1.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两

复数是高考的必考内容，主要考查复数的加、

个复数相等的含义.

减、乘、除运算及复数的几何意义.预计2025

2.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数

年高考会考查复数运算，题型以选择题、填

力口、减运算的几何意义.

空题为主，分值为5分或6分.

必备知识——强基础

知识梳理

1.复数的有关概念

(1)复数的定义：形如。+6i(a,6WR)的数叫做复数，其中质］且是实部，质］自是虚部，i为

虚数单位.

(2)复数的分类

复数z=a+bi(a,Z?GR)

卜数(6质］三0),

I数(60^0)(当°血三0时为纯虚数).

(3)复数相等

a+6i=c+dio=c且b=d(a,b,c,dGR).

(4)共朝复数

a+历与c+di互为共轨复数＜=»1Ha=c,b=—d(a,b,c,t/GR).

(5)复数的模

向量改的模叫做复数z=a+6i的模或绝对值，记作辰或®|a+6i|,即闾=|a+6i|=

a2+b?(a,b£R).

2.复数的几何意义

—'—'Xd'hv

(1)复数z=a+bi(a,6GR)复平面内的点Z(a,b).

一一对应

(2)复数z=a+历(a,6GR)平面向量流.

3.复数的四则运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设zi=a+bi,Z2=c+di(〃，b,c,d£R),则

①加法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=S+c)+(6+Gi；

②减法：zi-Z2=(a+bi)—(c+di)=LUJ(q—c)+(6—%i；

zrz2=(a+bi)(c+di)=12(ac—bd)+(ad+bc)i；

zia-\-bi(a+bi)(c—di)ac-\-bd.bc—ad.,.「，八、

④除法:—=-----=------------------=-------1-------i(c+d"0).

Z2c+di(c+di)(c—di)c2-\~cPc2-\-cP

⑵几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形0Z1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即归=应1+

0^2fZl^2=O^2_oi\.

常用电论

1+i,1-i

1.(1土i)2=±2i；-----=i;------=-

1-i1+i

2.-6+Qi=i(a+bi)(q,b£R).

3.i4w=Li4n+1=i,i4w+2=—1,i4n+3=—i(wGN).

4.i4w+i4w+1+i4«+2+i4w+3=0(nGN).

5.复数z的方程在复平面内表示的图形

(l)aW|z|W6表示以原点。为圆心，。和6为半径的两圆所夹的圆环.

(2)|2—(4+加)|=/0>0)表示以(4,Z?)为圆心，一为半径的圆.

诊断自测

1.概念辨析(正确的打7”，错误的打入”)

(1)复数Z=Q—6i(a,b£R)中，虚部为6.()

⑵复数可以比较大小.()

(3)已知z=a+bi(〃，Z)GR),当a=0时，复数z为纯虚数.()

⑷复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的

模.()

答案(l)x(2)X(3)x(4)7

2.小题热身

5(中)

(1)(2023•全国甲卷))

(2+i)(2—i)

A.-1B.1

C.1-iD.1+i

答案C

5(l+i3)=5(l—i)

解析l—i.故选C.

(2+i)(2-i)5

(2)(人教A必修第二册习题7.2T2改编)在复平面内，向量静对应的复数是2+i,向量费对

应的复数是一l—3i,则向量B对应的复数是()

A.1—2iB.-1+2i

C.3+4iD.-3-4i

答案D

解析•.•方=法+晶=闻一差=—l—3i-2-i=-3—4i.故选D.

1—i

(3)若。+历(a,6WR)是4的共朝复数，则。+6=.

答案1

1—i(l—i)(1—i)

解析由---=--------------=—i,得a+6i=i,即a=0,6=1,贝!)a+b=l.

1+i(1+i)(1-i)

(4)(人教B必修第四册习题10-1AT2改编)已知(a—i)(l—2i)=—3+6i,a,bGR,i是虚数

单位，则。+6=；若复数z=a+bi,则z在复平面内对应的点位于第象限.

答案0二

解析由(a—i)(l—2i)=—3+历，得。-2—(l+2a)i=-3+加，由复数相等的充要条件得

a—2——3,\a=11,,,

,解得“所以a+b=0,z=—1+i,所以复数z在复平面内对应的

—(1+2Q)=b,b=l,

点为(一1,1),位于第二象限.

考点探究——提素养

考点一复数的有关概念

例1(1)(2023•苏州期末)设i为虚数单位，若复数(1—i)(l+ai)是纯虚数，则实数。的值为

A.-1B.0

C.ID.2

答案A

解析(1—i)(l+ai)=1+ai—i+a=l+a+(a—l)i为纯虚数,1+。=0,且。-1/0,-'-a

=—1.故选A.

（2）若复数z满足（l+2i）z=4+3i,则3的实部为（）

A.1B.-1

C.2D.12

答案C

4+3i(4+3i)(l-2i)10-5i

解析由题意,得z=--=----------=-—-2-—i,所以z=2+i,故z的实部

l+2i(l+2i)(l-2i)5

为2.故选C.

【通性通法】

解决复数概念问题的两个注意事项

【巩固迁移】

1.（2024・衡水中学模拟）已知一其中x,y是实数，i是虚数单位，贝！Ix+yi的共朝

1+i

复数为（）

A.2+iB.2-i

C.l+2iD.l-2i

答案B

x=l,

2

解析由^^=1—yi,得-1=1—yi,即支一“i=l—yi,„解得x=2,y

1+i(1+i)(1-i)22/工=y,'

12

1,?.x+yi=2+i,其共扼复数为2—i.故选B.

2.复数z=(3+i)(l—4i),则复数z的实部与虚部之和是.

答案一4

解析z=(3+i)(l-4i)=7-lli,则z的实部为7,虚部为一11,故复数z的实部与虚部之和

是7—11=—4.

考点二复数的运算

例2⑴(2023•新课标I卷)已知zuE1■，贝Uz-3=()

2+2i

A.-iB.i

C.0D.

答案A

e41—i(1—i)(1—i)—2i上，所以所以故选

解析因为z=-------=-----------------------=——z=li,z—z=—i.A.

2+2i2(1+i)(1-i)422

(2)若复数z满足3=i,则z2=________,|z|=_________.

z+1

答案一2iW

___,|/7___1\,

解析设z=a+6i(4，b£R),则----=-------------=i,a~\~(b—l)i=i・[(a+l)+6i]=­b~\~(a

z+1(q+1)+bi

a=-b,a=-1,

+l)i,所以，解得，所以z=-1+i,故z2=(—1+i)2=—2i,|z尸

b—l=a+l,|/?=L

(—1)2+l2=^2.

【通性通法】

复数代数形式运算的策略

类似于多项式的乘法，只要在所得

复数的乘法-的结果中把i2换成-1,且把实部与

虚部分别合并

分子、分母同乘分母的共期复数，

复数的除法-

注意把i的基写成最简形式

【巩固迁移】

3.(2022•新高考H卷)(2+2i)(l—2i)=()

A.-2+4iB.-2-4i

C.6+2iD.6-2i

答案D

解析(2+2i)(l—2i)=2+4—4i+2i=6—2i.故选D.

2+i—

4.(2023•全国乙卷)设2=----------，则z=()

l+i2+i5

A.l-2iB.l+2i

C.2-iD.2+i

答案B

解析由题意可得z=2+1=2+1=i(21i)=Zl^l=]_2i,则』=l+2i.故选B.

l+i2+i51-1+ii2-1

考点三复数的几何意义

例3(1)如图，若向量源对应的复数为z,贝IJz+&表示的复数为()

Z

A.l+3iB.-3-i

C.3-iD.3+i

答案D

解析由题图可得Z(l,-1),即Z=l—i,所以z+4=]_i+，=]-i+_4(1+1)—=

z1—i(1—i)(1+i)

4+4i

1—iH=1—i+2+2i=3+i.故选D.

2

(2)(多选)(2024•江苏徐州模拟)已知复数zi=-2+i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为4,

复数Z2满足|22—1+”=2,Z2在复平面内对应的点为5(x,y),则下列结论正确的是()

A.复数zi的虚部为i

B.(L1)2+3+1)2=4

C.|zi—Z2]的最大值为而+2

D.|zi+z2|的最小值为岳一2

答案BC

解析由zi=-2+i知，虚部为1,故A错误；因为匕2—l+i|=2,Z2在复平面内对应的点为

B(x,y),则|(x—l)+(y+l)i|=2,所以(x—l)2+(y+1)2=4,故B正确；由题意知，点5在以

(1,—1)为圆心，2为半径的圆上，根据复数的几何意义，|45|=|Z1—Z2|,所以|zi—Z2|max=

(—2—1)2+(1+1)2+2=V13+2,故C正确；\z\+Z2I=|(-2+x)+(1+y)i|=

7(%—2)(》+1)2表示点5与定点(2,—1)的距离，易知点(2,—1)在圆内，所以区十

22

Z2|min=2—(2—1)+(—1+1)=1?故D错误.故选BC.

【通性通法】

复数Z、复平面内的点Z及向量或相互联系，即2=。+历(a,6WR)QZ(a,b)=右.由于复数、

点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时

可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

【巩固迁移】

5.在复平面内，复数上的共飘复数对应的点位于()

1—i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

解析'=-----小-----=1+4的共轲复数为1—4,对应点为―J,在第四象限.故

1-i(1-i)(1+i)2222

选D.

6.设复数z满足|z—2i|=l,在复平面内z对应的点到原点的距离的最大值是()

A.1B.\[3

C.4D.3

答案D

解析由题意可知，在复平面内复数z对应的点为复平面内一动点到定点(0,2)的距离为1

的点的集合，即以(0,2)为圆心，1为半径的圆，圆心(0,2)到原点的距离为2,所以圆上任

一点到原点的距离的最大值为2+1=3.故选D.

课时作业

A级基础巩固练

一、单项选择题

1.已知复数z=(a2—4)+(a—3)i(aWR),则％=2”是“z为纯虚数”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

q2—4—Q

解析因为复数z=(02—4)+(a—3)i(aGR)为纯虚数，等价于，'即。=±2,由充分条

a—3#0,

件和必要条件的定义知％=2”是"a=±2”的充分不必要条件，所以％=2”是“z为纯虚数”的充

分不必要条件.故选A.

2.(2023•新课标II卷)在复平面内，(l+3i)(3—i)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

解析因为(l+3i)(3—i)=3+8i—3i2=6+8i,则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.故

选A.

3.(2024・长春模拟)若复数z的共飘复数为3,且满足3-(l+2i)=l—i,则复数z的虚部为

()

33.

A.-B.--i

55

3

C.-iD.--

55

答案A

.—_1—i_(1—i)(1—2i)_—1_3i_13.._1.

解析z•(l+2i)=l—i,.・z=-------=--------------------------=--------------------b•.z-.......r

l+2i(l+2i)(l-2i)5555

$•••复数z的虚部为:故选A.

4.(2022•新高考I卷)若i(l—z)=l,则z+3=()

A.12B.-1

C.1D.2

答案D

解析因为i(l—z)=l,两边同乘以i,则原式变为i2(l—z)=i,即一l+z=i,z=l+i,那么

z=1—i,则z+z=l+i+l—i=2.故选D.

5.若复数z满足(l+i>z=2—4i,贝=()

A.10B.A/10

C.20D.2★

答案B

,r+u2-4i(2-4i)(1-i)2-2i-4i+4i2,

解析z=-------=-----------------------=--------------------=—l—3i,所以|』|=|-l+3i|=

1+i(1+i)(1-i)2

7(-1)2+32=而.故选B.

在复平面内，复数与对应的点关于轴对称，贝

6.设z是复数z的共辗复数.z+23+2iyP

Z

=()

A.-1+iB.----

22

「1in1,i

2222

答案B

解析设2=。+加(”，6£R),则z+2=(a+2)+6i,z+2i=a+(2~b)i,因为复数z+2与z

+2i对应的点关于y轴对称，所以Q+2+Q=0且6=2-6,解得。=一1,b=\,则z=—l

1=1=T—i=TT1—上故选B.

z—1+i(—1+i)(—1—i)222

7.已知复数2满足|z—1—i|Wl,则团的最小值为()

A.1B.也一1

C.啦D.也+1

答案B

解析令2=%+4(%,jGR),则由题意有(%—1)2+。-1)2W1,・••团的最小值即为圆(X—1)2

+(y-1)2=1上的动点到原点的最小距离，，团的最小值为g一1.故选B.

8.若1+也i是关于x的实系数方程/+/+。=0的一个复数根，贝|()

A.b=2,c=3B.b=2,c=一出

C.b=-2,c——3D.b=-2,c=3

答案D

解析方程的根为x=一b±7：―4c=_,1+也i为其中一个复数根，则有

—%，

,2(b=-2,

Z>2_解得•故选D.

-—4—C=-2,卜=3.

4

二、多项选择题

9.(2023•苏州模拟)若复数z满足(l+i)z=5+3i(其中i是虚数单位)，贝女)

A.z的虚部为一i

B.z的模为而

C.Z的共轨复数为4—i

D.z在复平面内对应的点位于第四象限

答案BD

解析由(l+i)z=5+3i,得—"所以z的虚部为一1,

1+i(1+i)(1-i)2

A错误；z的模为寸42+(—1)2=而,B正确；z的共扼复数为4+i,C错误；z在复平面

内对应的点为(4,-1),位于第四象限，D正确.故选BD.

10.(2024・湖北襄阳一中阶段考试)设zi,Z2,Z3为复数，zi#).下列命题中正确的是()

A.若㈤=0|,则Z2=±Z3

B.若Z1Z2=Z1Z3，则Z2=Z3

C.若Z2=Z3,则|Z1Z2|=|Z1Z3|

D.若Z1Z2=|Z1/,则ZI=Z2

答案BC

解析由川=|1],知A错误；Z1Z2=Z1Z3,则Z1(Z2—Z3)=0,又Zl：#。，所以Z2=Z3,故B正确；

\Z1Z2\=\Z1\\Z2\,|Z1Z3|=|Z1||Z3|,又Z2=23,所以㈤=|Z2〔=阂，故C正确;令Zl=i,Z2=~i,

满足Z1Z2=|Z“2,不满足Z1=Z2,故D错误.故选BC.

11.欧拉公式铲=co&x+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩

大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被

誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法正确的是()

A.复数ex对应的点位于第二象限

B.e2I为纯虚数

C.复数上的模等于:

D.e6’的共朝复数为1—血i

22

答案ABC

解析对于A,e2i=cos2+isin2,因为-<2<K,即cos2<0,sin2>0,所以复数e?，对应的点位

2

三，—ix\

于第二象限，A正确；对于B,e2=cos四+isin曰=i,e2为纯虚数，B正确；对于C,——=

22W+i

cosx+isinx(cosx+isinx)(他一i)3cosx+sinx

।\Iisinx——i,于是得13+i

3+i44

\/3sinx—COSX^2

3cosx+sinx|2匹.r

61

J+4=-,C正确；对于D,e=cos-+isin-=----|--i,其

426622

共轲复数为也一4,D不正确.故选ABC.

22

三、填空题

12.已知i为虚数单位，若复数2=匕，则闻=

1+i

答案弱

名刀+匚痴)、».(3—i)i1+3i(1+3i)(1—i)4+2i

斛析解法一：iz=------------=-------=------------------------=-------=2+i,所以|iz|=$TP

1+i1+i(1+i)(1-i)2

3~i

解法二:|iz|=|i||z|=lx1+i

|l+i|12+12

13.已知i为虚数单位，若02+（z+z）i=l—i且复数Z对应的点在第三象限，则复数Z的虚

部为.

答案-f

解析设z=a+bi(a，6£R),则由02+Q+z)i=1—i可得层+"+2qi=1—i,所以

_1r_1

a-----，a=----,

6Z2+Z?2=1,E口22i

解得3或电又因为复数z对应的点在第三象限，所以z=一工

2a=—1j6=一火6=*2

2I2

2'故复数Z的虚部为一；•

ij+J,i为虚数单位，〃£N,则由z的所有可能取值构成的集合为

14.设复数z

答案｛—2,0,2｝

解析z=i"+（—i）",i为虚数单位，“WN,当〃=4网发WN）时，z=2；当〃=4左+1/WN）时，

z=0；当〃=4左+2（左WN）时，z=—2；当〃=4左+3（左WN）时，z=0.综上所述，由z的所有可

能取值构成的集合为｛-2,0,2）.

B级:素养提升练

15.(2024•河南郑州外国语学校期中)如图，已知复数z在复平面内所对应的向量是成，图中每

个小正方形网格的边长均为I，则亡=()

A.l+2iB.l+3i

C.3+iD.2+i

答案D

解析由题图可知感=仍一溢=(4,2)—(1,1)=(3,1),即z=3+i,所以z=3—i,故一

1—i

3—i(3—i)(l+i),,.j_L

=-----=----------------------=2+1.故迷D.

1-i2

16.(多选X2024•广东东莞实验中学质检)已知复数z满足匕一l+i|=3,则()

A.复数z虚部的最大值为2

B.复数z实部的取值范围是[—2,4]

C.|z+l+i|的最小值为1

D.复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限

答案ABC

解析满足|z—l+i|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(1,—1)为圆心，3为半径

的圆，如图.由图可知，虚部最大的复数为z=l+2i,即复数z虚部的最大值为2,A正确；

实部最小的复数为z=—2—i,实部最大的复数为z=4—i,所以复数z实部的取值范围是[—

2,4],B正确；|z+l+i|表示复数z在复平面内对应的点至U(—1,—1)的距离，所以|z+l+i|

的最小值为3—2=1,C正确；由图可知，复数z在复平面内对应的点位于第一、二、三、

四象限，故D错误.故选ABC.

17.（多选）若复数zi=2+3i,Z2=-1+i,其中i是虚数单位，则下列说法正确的是（）

A.-GR

Z2

B.z\-Z2=zrz2

C.若zi+加（加£R）是纯虚数，那么加=—2

D.若3”在复平面内对应的向量分别为员1,彷（。为坐标原点），则成1=5

答案BC

对于A.包=2±江=(2+3D(T-D=匕二1

解析A错误；对于B,Vzrz2

Z2-1+i(-1+i)(-1-i)222一

=(2+3i)(—l+i)=­5—i,zi*22=-5+i,又zrz2=(2—3i)(—1—i)=-5+i,z\,22=

zrz2,B正确；对于C,,.,zi+冽=2+冽+3i为纯虚数，・,•冽+2=0,解得冽=—2,C正

确；对于D,由题意得稹=（2,-