2025年新高考数学重难点专项复习：圆的切线相关十二大题型（解析版）

重难点08圆的切线相关十二大题型汇总

题型解读

满分技巧/

技巧一.过圆上一点的圆的切线

2

①过圆，―上一点M(x0,»方的切线方程是XQX+y°y=r.

②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(xg,。的切线方程是的-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r2.

2

③过圆x+，=/外一点M(x0,y/乍圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x必+W=/

技巧二.过圆外一点的圆的切线

过圆外一点M的，州)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率左,

从而得切线方程；若求出的上值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x=

技巧.解决有关弦长问题的常用方法及结论

几何法-Q)

如图所示，设直线1被圆c截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线

的距离为d,则有关系式：|叫=2^-d2

代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(XA,yA),B(XB,/)两点，贝!J|45|二

11+k27XA+XB2-4XAXB=1中胖0)■特别地，

当左=0时，=\xA-xB\；当斜率不存在时,\AB\=\yA-ys\,当直线

与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意

把它和点到直线的距离公式结合起来使用

技巧三.切线长

①从圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点M(xo,y徒引圆的两条切线，切线长为

\jxo+yo+Dxo+Eyo+F.

②两切点弦长：利用等面积法,切线长a与半径r的积的2倍等于点/与圆心的距离d与两切点弦长b的

积，即6=苧

注意：过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数.

技巧四圆与圆相交时

/.公共弦直线的方程：两个交点所在的直线即公共弦，其方程等于两个圆方程相减

2.圆与圆相交时，求交点坐标：

⑺联立两个圆的方程，相减得到公共弦的直线

⑵公共弦直线与其中一个圆的方程再进行联立，解出交点的坐标

3.求公共弦的弦长

方法一：求出交点，利用两点间的距离

方法二：求出公共弦直线方程，利用其中一个圆的圆心，求其圆心到公共弦直线的距离d,再利用弦长公式

题型提分练

题型1圆上一点求圆的切线问题

【例题1](2023•江苏•高二专题练习)已知点M(1，圾在圆C：/+必=小上，过M作圆C的切线/,则/的

倾斜角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【分析】根据直线垂直的斜率关系，即可由斜率与倾斜角的关系求解.

【详解】圆心为（0,0）,所以MM=丹所以过”的切线，的斜率为-+=-V，

设倾斜角为。，则tan。=-苧，

由于ee[0,TT）,故。=U,

故选：D

【变式1-1]1.（2023秋•全国•高二期中）圆/+/_©=。在点P（l,百）处的切线方程为（）

A.x+V3y—2=0B.x+V3y-4=0

C.x—V3y+4=0D.%—V3y+2=0

【答案】D

【分析】容易知道点P（l,g）为切点，圆心（2,0）,设切线斜率为k,从而篡•k=-1,由此即可得解.

【详解】将圆的方程/+y2-4x=0化为标准方程得（x-2）2+y2=4,

,点P（l,y）在圆（X-2）2+y2=4上，二点p为切点.

从而圆心与点P的连线应与切线垂直.

又••圆心为（2,0）,设切线斜率为k,

.•.分/=-1,解得小日.

,切线方程为X-V3y+2=0.

故选：D.

【变式1-1]2.（2023秋•全国•高二期中）圆/+/_叙=。在点P（l,但）处的切线方程为（）

A.%+V3y-2=0B.久+V3y-4=0

C.x—V3y+4=0D.x—V3y+2=0

【答案】D

【分析】容易知道点P(1,W)为切点，圆心(2,0),设切线斜率为k,从而磐•k=-1,由此即可得解.

【详解】将圆的方程/+y2-4x=0化为标准方程得(x-2)2+f=4,

,点P(l,⑸在圆(x-2)2+y2=4上，二点p为切点.

从而圆心与点P的连线应与切线垂直.

又•.圆心为(2,0),设切线斜率为k,

二分》=—1,解得k=^.

，切线方程为乂-V3y+2=0.

故选：D.

【变式1-1]3.(2023秋・河北沧州•高二泊头市第一中学校考阶段练习)已知实数x,y满足曲线C的方程/+

y2-2%-2=0,则下列选项错误的是()

A.产+、2的最大值是4+2百

B.的最大值是2+V6

C.\x-y+31的最小值是-V3

D.过点(0,a)作曲线C的切线，则切线方程为久-V2y+2=0

【答案】C

【分析】选项A转化为两点间距离公式的平方即可求解；选项B转化为斜率即可求解；选项C转化为点到

直线的距离的近倍即可求解；选项D设出切线方程，根据点到直线的距离为半径即可求解

【详解】C的方程/+y2-2x-2=0可化为(x-1尸+*=3,

它表示圆心(1,0),半径为旧的圆.

对选项A：/+必表示圆c上的点到定点o(o,o)的距离的平方，

22

故它的最大值为卜(1-ON+02+V3]=(V3+1)=4+2V3,A正确;

对选项B:筌表示圆上的点与点P(-1,-1)的连线的斜率k,

由圆心(1,0)到直线y+!=Kx+1)的距离d=<V3,

可得2—V6<fc<2+V6,B正确；

对选项C：|%-y+31表示圆上任意一点到直线％-y+3=0的距离的或倍，

圆心到直线的距离d=t=2/，

所以其最小值为鱼(2/—遍)=4，故C错误；

对选项D：设过点(0,夜)作曲线C的切线，则其斜率存在，

故可设切线方程为y=mx+V2,

由嵯察=次解得血=日

vm2+l2

故切线方程为X-+2=0,故D正确.

故选：C.

【变式1-U4.(2023•全国•高二专题练习)过点P(l,l)作圆E：x2+y2-4x+2y=0的切线,则切线方程

为()

A.x+y-2=0B.2%—y—1=0

C.x—2y+l=0D.x—2y+1=0或2%—y—1=0

【答案】C

【分析】由题意可得点p在圆E上，根据切线的性质求切线斜率，进而求切线方程.

【详解】由题意可知：圆E:/+y2一4x+2y=。的圆心E(2,-1),半径r=V5,

■：12+I2-4xl+2xl=0,

.1点P在圆E上,

又“PE=??=-2,则切线的斜率k=|,

Z—1Z

.•切线方程为y-1=1(%-1),即％-2y+1=0.

故选：c.

【变式1-1]5.(多选)(2023秋•高二课时练习)下列说法正确的是()

A.过点(1,3),在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线有两条

B.过点P(2,l)作圆*2+y2=5的切线,切线方程为2x+y-5=0

C.经过点P(l,l)，倾斜角为6的直线方程为y-1=tan。。-1)

D.直线2x-y-1-0的一^方向向量为(1,2)

【答案】ABD

【分析】求出过点(1,3),在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线的方程，可判断A选项；求出圆工2+

y2=5在其上一点P处的切线方程，可判断B选项；取。为直角，可判断C选项；利用直线的方向向量可判

断D选项.

【详解】A选项，当直线过原点时，直线方程为y=3x;当直线不过原点时，设直线方程为土+丫=1,代入

aa

点(1,3)，得(+：=1,a=4,直线方程为x+y=4,

所以过点(1,3),在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线有两条，A选项正确；

22

B选项，由于2?+M=5所以P(2,l)在圆/+y-5上圆心为。(0,0),k0P=|过点P(2,l)作圆/+y=5

的切线的斜率为-2,

所以切线方程为y-1=-2(%-2),即2x+y-5=0,B选项正确；

C选项，当8=用寸，tan。不存在，所以C选项错误；

D选项，直线2x-y-l=。的斜率为2,一个方向向量为(1,2),所以D选项正确，

故选：ABD.

题型2圆外一点求圆的切线问题

【例题2](2023•江苏•高二专题练习)过点(-4,3)的圆。+3)2+(>-1)2=1的切线方程

为

【答案】x=-4或3x+4y=0

【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解.

【详解】当切线的斜率不存在时,

切线的方程为％=-4,圆心(-3,1)到该直线的距离等于半径1,符合题意,

当切线的斜率存在时，

设过点(—4,3)的切线方程为y—3=+4),即kx—y+4k+3=0,

1.圆心到直线依-y+4k+3=。的距离等于半径，

.•厂3?察+3]=],解得k=

V/c2+l4

,切线方程为3久+4y=0,

综上所述，切线方程为x=-4或3x+4y=0.

故答案为：%=-4或3x+4y=0.

【变式2-1]1.(2023秋・广西贵港•高二统考期末)已知圆C：(%-2)2+(y+I/=9.

Q)若过点P(-l,l)向圆C作切线1,求切线/的方程；

⑵若Q为直线a:2x-y+5=。上的动点，M是圆C上的动点，定点N(-2,6),求|QM|-|QN|的最大值

【答案】Q)久=一1或5x-12y+17=0

⑵8

【分析】(1)分类讨论，当切线珀勺斜率不存在，易求/的方程为尤=-1；当切线珀勺斜率存在时，设出直线

方程，然后利用点到直线距离等于半径建立方程求解即可；

(2)根据圆的性质|QM|-|QN|<|QC|-|QN|+3,利用三点共线的性质求解即可.

【详解】(1)若切线/的斜率不存在，贝"的方程为"=-1；

若切线珀勺斜率存在，设切线用勺方程为y-1=做久+1),BPfcx-y+k+l=0.

因为直线/与圆C相切，所以圆心(2,-1)到/的距离为3,即2=3,解得k=5，

VKZ+112

所以切线/的方程为y-1=(x+1),即5x-12y+17=0.

综上,切线Z的方程为％=-1或5尤-12y+17=0.

(2)因为|QM|<\QC\+3,所以|QM|-|QN|<|QC|-|QN|+3.

设7(—2,6)关于直线小对称的点为解(尤/),

则二I4，即NS).

(x+2~2

因为IQNI=IQMI,所以IQN-|QN|=IQCI-IQN1.

因为IQCI-|QM|<\CN'\,当且仅当Q,C,M三点共线时，等号成立，

所以(|QC|—|QN|)max=|4-(-1)|=5,故|QM|-|QN|的最大值为5+3=8.

【变式2-1]2.(2023秋•高二课前预习)过点P(2,l)作圆。：/+f=1的切线।(求切线।的方程

【答案】y=1或4%-3y-5=0

【分析】易得切线的斜率存在，设切线方程为y-1=fc(x-2),

解法1:根据圆心到切线的距离等于半径求出上即可.

解法2：联立直线与圆的方程，根据△=0求出k即可.

【详解】解法1：当切线斜率不存在时，方程为％=2,与圆不相切，

所以切线斜率存在，

设切线方程为y—1=fc(x—2),即kx—y+1—2k=0,

由圆心(0,0)到切线I的距离等于圆的半径1,

得卷=1,解得k=0或L

-vkz+l3

所以所求切线I的方程为y=1或4x-3y-5=0.

解法2：当切线斜率不存在时，方程为x=2,与圆不相切，

所以切线斜率存在，

设切线方程为y—1=k(x—2),

因为直线I与圆相切，

所以方程组.一只有一组解，

Ix+y=1

消y得(小+I)%2+(2k-4fc2)x+4k2-4fc=0,

则4=4k2(1-2ky-16koi2+l)(k-1)=0,解得k=0或£

所以所求切线I的方程为y=1或4x-3y-5=0.

【变式2-1]3.(2023秋•云南大理・高二云南省下关第一中学校考阶段练习)已知点2(4,4),8(0,3),圆C的

半径为1.

Q)若圆C的圆心坐标为C(3,2),过点4作圆C的切线,求此切线的方程；

(2)若圆C的圆心C在直线=x-1上，且圆C上存在点M，使|MB|=2\MO\,。为坐标原点，求圆心C的横

坐标a的取值范围.

【答案】(1)尤=4或3x-4y+4=0

(2)y<a<三或一-<a<--.

【分析】(1)根据圆心到直线的距离分直线斜率存在与不存在求解；

(2)由条件求出M所在圆，利用两圆相交求出a的取值范围.

【详解】(1)由题意得圆C标准方程为(％-3)2+⑶-2)2=1,

当切线的斜率存在时，设切线方程为y-4=k(x-4),

由4=瑞=1，解得：卜=1

当切线的斜率不存在时，切线方程为X=4,满足题意；

所以切线的方程为x=4或3久-4y+4=0.

(2)由圆心C在直线Z:y-x—1上,设C(a,a—1),

设点M(x,y),由=2\MO\,

得:yjx2+(y—3)2=2yjx2+y2,

化简得：/+(y+=4,

所以点M在以0(0,-1)为圆心，2为半径的圆上.

又点M在圆C上，所以圆C与圆。有交点，

则1<\CD\<3,gpi<Va2+a2<3,

解得：?〈aw券或—管WaW—日.

【变式2-1]4.(2023•全国•高二专题练习)已知圆E经过点力(0,1),5(1,4),且_______.从下列3个条件

中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线x-5y-5=0与直线x-2y-8=0的交点C；②圆E

恒被直线/：(瓶+l)x+(m-3)y-6m-2=0(meR)平分；③与y轴相切.

⑴求圆E的方程；

⑵求过点P(l。,11)的圆E的切线方程.

【答案】Q)选择见解析，(x-5)2+(y-1)2=25

(2)x=10或3x—4y+14=0

【分析】(1)根据题意设出圆的一般方程或标准方程，对①②③逐个分析，求出圆的标准方程即可；

(2)先判断点P在圆外，知切线有两条，分情况讨论求解即可.

【详解】(1)选择①：联立I£IM：，解得[箕¥，所以C。。」)，

设圆E的方程为/+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

因为4,B,C三点均在圆上，

1+E4-F=0(D=-10

所以17+O+4E+F=0/解得E=—2

.101+10。+E+F=0IF=1

22

所以圆E的方程为"+y-10x-2y+l=0,即。-5尸+(y—l)=25；

选择②：直线，的方程可化为+y-6)+(%-3y-2)=0,

因为mGR上式恒成立，所以《二，解得二J，

所以直线［恒过定点(5,1),且(5,1)为圆心E,

所以丁=\EA\=7(5-0)2+(1-I)2=5,

所以圆E的方程为0-5尸+(y—1)2=25；

选择③:设圆E的方程为。-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

'a24-(1—b)2=r2(a=5

由题可得,(1—a)2+(4—bp=r2t解得b=1,

、r=\a\7=5

故圆E的方程为。-57+(y—I)2=25；

(2)因为(10-5)2+(11-l)2=125>25,所以点P在圆E外，

①若直线斜率不存在，直线方程为％=10,圆心E(5,l)到直线x=10的距离为5,满足题意；

②当直线斜率存在时，设切线的斜率为k,则切线方程为y-11=k(x-10),

即依—y—10/c+11=0,

因为直线与圆E相切，所以圆心E到直线的距离d=川=5,

Vk2+1

所以k=;,所以直线的方程为3x-4y+14=0,

综上可得：过点P(10,ll)的圆E的切线方程为x=10或3久-4y+14=0.

题型3平行垂直与切线问题

【例题312022秋•广东潮州•高二统考期末在圆(x-Ip+y2=5上一点P(2,2)的切线与直线以-y+l=

0垂直，贝必=()

A.2B-C.D.-2

22

【答案】A

【分析】结合圆方程，计算切线斜率,利用直线相互垂直满足的斜率关系，计算，即可.

【详解】该圆的圆心坐标为(L0),则切线的斜率为y=益=得因为切线与该直线垂直，可知-9a=-1,解

2-1

得a=2,故选A.

【点睛】考查了直线垂直的判定，关键利用垂直满足斜率之积为-L计算参数,即可.

【变式3-1]1.(2020秋•甘肃武威•高二民勤县第一中学校考期中)在平面直角坐标系%Oy中，圆C的方程

为/+y2-4尤=o,若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取

值范围是

A.(-2V2.2V2)B.(-OO.-2V2)U(2V2,+oo)

C.[-2V2,2V2]D.(-OO,-2A/2]U[2V2,+00)

【答案】C

【详解】分析：首先确定圆的圆心和半径，然后结合几何关系得到关于k的不等式，求解不等式即可求得

最终结果.

详解:C的方程为x2+y2-4x=0,故圆心为C(2,0),半径R=2.

设两个切点分别为A,B,则由题意可得四边形PACB为正方形,故有PC=V2R=2V2,

，圆心到直线y=k(x+l)的距离小于或等于PC=2V2,

即<2V2,解得k2<8,

则实数k的取值范围是[-2夜,2回.

本题选择C选项.

点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含

有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.

【变式3-1]2.(2022•全国•高三专题练习)点”(0,2)为圆C:(%-4)2+(y+I)2=25上一点,过M作圆的

切线/,且直线1与直线1：4x-ay+2=。平行，则/与厂之间的距离是()

A.2B.-C.-D.-

555

【答案】B

【分析】先求得1,然后利用两直线平行求得a,再结合两平行直线间的距离公式求得正确答案.

【详解】圆C：0-4)2+(y+I)2=25的圆心为C(4,—1),

由题意可得：kCM==一，

・,•的=]直线，的方程为y-2=[0-0),即4%-3y+6=0,

;直线，与直线厂:4x-ay+2=0平行a=3,

，直线，与直线厂之间的距离是黑=*

V16+95

故选：B

【变式3-1]3.(多选)(2023秋・山东荷泽・高二山东省邺城县第一中学校考阶段练习)在平面直角坐标

系xOy中，圆C的方程为"+y2-4%=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切

线相互垂直，则实数k的取值可以是()

A.3B.1C.2D.-2

【答案】BCD

【分析】先由题意得出|PC|=V2r=2V2，然后根据点到直线的距离与|PC|的大小关系即可求出-2&<k<

2V2,从而得解.

【详解】圆C的方程可化为(x-2尸+必=4,其半径「=2,圆心C(2,0),

因为过P所作的圆的两条切线相互垂直，

所以点P、圆心C以及两切点构成正方形，所以|PC|==2夜.

・•.P在直线y=k(Y+l)上，

，圆心到该直线的距离d=<\PC\=2V2,计算得-2&<fc<2V2.

对照选项，可知BCD均有可能.

故选:BCD.

【变式3-1］4.(2022・高二课时练习)过点P(-2,4)作圆0:(久-2)2+(y-I)2=25的切线2,直线m：ax-

3y=0与直线/平行，则直线/与6的距离为

【答案】4

【分析】判断P在圆。上，求出直线。P的斜率，确定出切线Z的斜率，求出珀勺方程，得出a=4,根据直线6与

直线/平行，利用平行线的距离公式求出［与血的距离即可.

【详解】解：将P(-2,4)代入圆方程左边得4?+32=16+9=25,

左边=右边，即P在圆。上，

•••直线OP的斜率为吴=

—2—24

二切线/的斜率为，即直线/的方程为y-4=i(%+2),

整理得4%-3y+20=0,

•・,直线TH：ax-3y=0与直线［平行，•W，即a=4,

・

••直线6方程为4%—3y=0z即4%—3y=0z

直线/与小的距离为占翼=4,

V32+(-4)2

故答案为：4.

【变式3-1]5.(2022秋・山东荷泽・高二山东省郛城第一中学校考阶段练习)过点枢-2,4)作圆C：(x-2)2+

(y-I)2=25的切线1,且直线人:ax+3y+2a=0与呼行，贝明与/间的距离是

【答案】Y

【分析】先求出切线/的方程，利用直线k：ax+3y+2a=0与I平行，结合两条平行线间的距离公式，即可

求得结果

【详解】•••点M(-2,4)在圆C上

二切线I的方程为(-2-2)(x-2)+(4-l)(y-1)=25

即4x-3y+20=0

••直线/与直线人平行

•••一］=］解得a=-4

・,•直线4的方程为一4x+3y-8=0,即4%-3y+8=0

与I间的距离为哥暮12

5

故答案为甘

【点睛】本题主要考查了两条平行直线间的距离以及圆的切线方程，过点作圆的切线方程则首先要确定点

和圆的位置关系，然后考虑斜率问题

【变式3-1】6(2020秋・湖南邵阳•高二湖南省邵东市第三中学校考学业考试)已知直线匕与直线分3%+4y+

1=0平行且与圆C：/+*+2y_3=o相切,则直线4的方程是.

【答案】3%+4y+14=0,3x+4y—6=0.

【详解】圆产+y2+2y-3=。化为标准方程得：x2+(y+1)2=4,

二圆心为（0,-1），半径r=2,

•.直线111112,

，设直线II的方程为3x+4y+c=0,

由题意得会=2,解得：c=-6或c=14,

则直线II的方程为3x+4y-6=0或3x+4y+14=0.

故答案为3x+4y+14=0,3%+4y-6=0

点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，

联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到

定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.

题型4切点弦相关问题

【例题4]（2023秋江苏扬州•高二扬州中学校考阶段练习）已知圆C：喉一2尸+（y_3）2=4,若点P

在直线％-y-4=0上运动，过点P作圆C的两条切线P2,PB,切点分别为A,B,则直线48过定点坐标

为（）

AR）B.管谭）C.（碧）D.借用

【答案】D

【分析】求出。-2产+（y-3）2=4的圆心和半径,由几何关系得到P,4C,B四点共圆,设P（m,爪-4）,

得到P,4C,B的圆的方程，与。-2）2+（y-3>=4相减后得到直线4B的方程，求出直线4B过定点坐标.

【详解】圆C：（%-2）2+（y-37=4①的圆心为C（2,3）,半径为2,

过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,故P,4C,B四点共圆，

其中PC的中点为该圆心，PC为直径，

设。（犯小一4）,则PC的中点为（等，气过）=（等,等），

\PC\=y/(jn-2)2+(m—4—3)2=J(m—2)2+(m—7)2,

、2/2

故过p,4cB的圆的方程为(x—等)+(y-詈)=(m-2')2+(m-7')2

变形得到/—(m+2)x+y2—(m—l)y=—5m+12②，

由①②相减可得直线48的方程，即(6-2)%+(m-7)y=5m-21r

整理得+y—5)—2%—7y+21=0,

令1%+y—5=0解得！％=g

vl-2x-7y+21=0'用牛1守v=11'

V5

故直线过定点坐标(g,装).

故选：D

【变式4-1]1.(2023•全国高二随堂练习)过点(3,1)作圆0-I)2+y2=1的两条切线，切点分别为A,

B,求直线AB的方程.

【答案】2x+y-3=0

【分析】根据圆心和半径及切线所过点确定y=1为一条切线，进而得到对应切点坐标，再由两点式求切及

直线垂直关系求心B,最后应用点斜式写出直线方程.

【详解】由题设，圆心。(1,0)且半径为1,过C(3,l)的切线必有一条为y=1,

令切线y=1与圆切于4(1,1),而kco=15，且1AB，贝！Jk4B=-2,

3-1L

所以直线4B：y—1=—2(x—1),即AB:2x+y—3—0.

【变式4-1]2.(2023・全国•高二随堂练习)过原点0作圆/+外—6%-8y+20=。的两条切线，设切

点分别为P,Q,求线段PQ的长.

【答案】4

【分析】由圆的方程确定圆心C、半径r,根据切线段长与半径r、0C的几何关系，求切线段长，利用等面

积法求切点弦PQ的长即可.

由题意，%2+y2—6%—8y+20=0可化为(x—3)2+(y—4)2=5,

.胭心C(3,4),半径r=V5,则有|。。|=5,故切线段长|OP|="。』,

若线段PQ的长为x,则；•\OC\=\OP\-r,^x=4..-.\PQ\=4

【变式4-l】3.(2023・全国•高二随堂练习)直线。和12是圆/+y2=2的两条切线，若。与。的交点为(1,-3),

求人与G的夹角的正切值

【答案】g

【分析】设直线匕与%的夹角为2a，由题意求得点(L-3)到圆心(0,0)的距离d=V10,从而可得点(1,-3)到

切点的距离Z=2V2,进而求得tana十J再利用倍角正切公式即可求解.

【详解】设直线匕与办的夹角为2a,

由题意可知，圆/+y2=2的半径为r=V2,

点(L一3)到圆心(0,0)的距离d=712+(-3)2=V10,

从而点(1,-3)到切点的距离/=7d2-72=V10-2=2A/2,

从而有tana=7==；,

l2V22

所以tan2a=岑，==；,即人与%的夹角的正切值为*

1—1anoc—33

【变式4-1】4.(2023秋・贵州•高二贵州省兴义市第八中学校联考阶段练习)已知圆C：/+y2=1,直线

Z:x+3y-10=0,P为直线Lt一点，过点P作圆C的两条切线P4PB,其中4B为切点，且上川最小.

Q)求直线4B的方程；

(2)Q为圆C与x轴正半轴的交点，过点P作直线1与圆C交于两点，设QM,QN的斜率分别为七也，求证：

fci+优为定值.

【答案】(l)x+3y-1=0

⑵证明见解析

【分析】(1)由直线与圆相切的性质，当。P1出寸，IP川最小，由O,4P,B四点共圆，贝必B即为两圆公共

弦，两圆方程相减可得直线的方程；

(2)设直线厂的方程，与圆的方程联立，由韦达定理用k表示/+，将所求七+七整理变形为用/+

X2，%62表示，代入韦达定理化简可得定值.

【详解】(1)圆C：/+y2=1,圆心为(0,0),半径为1,

已知P4PB是圆C的两条切线,则|P川2=\PO\2-1,

所以当IP。I最小时，IP川最小.

IP。I最小值即为点。到直线/的距离d==V10,

vlz+3z

此时。P11,且直线Lx+3y-10=0,直线/的斜率曷=一］

设P(a,b),则有1W-1=T,解得R,即P(l,3),

L+3b-10=05=3

由。41AP,OB1BP,得0,4P,B四点共在以。P为直径的圆上，

圆心为。p的中点，设为。，坐标为G，|),圆的半径为等=当

则圆D的方程为(％-1)2+(y-|)2=j

,即％2+y2—%—3y=0①,

又圆C：/+y2一I=0②，

则两圆方程相减得公共弦4B的方程，即由②-①得，尤+3y-1=0,

即直线4B的方程为x+3y-1=0.

(2)由题意知，过点P(l,3)的直线厂斜率存在，

故可设方程为y—3=k(x-1),即y=-+3—k,

i&M(x1,y1),N(x2,y2),且ix<l,x2<l,

由题意QM的斜率自=/，QN的斜率的=七

Xj—1%2-1

3(%]+%2-2)

则七+k=yi+%_(%1-1)+3/%2-1)+3=2k+

2—1%2—1%]—1X?一1

联立]]±4，整理得(1+fc2)%2+2k(3-fc)x+fc2-6fc+8=0,

LV—KX+3一K

4

2即

-6cf+-8cf->O>-

8)(34)3

k2-6k+8

由韦达定理知，％1+%2==

1+k2

2fc(fc-3)。-6fc-2

贝(]%1+及-2=-------Z=-----

1+k21+k2

22

,"、z,x,4k-6k+82fc(k-3),1+k9

v(%11-1)(%2-1)J=12-(汽k1+%2)+1=------,----------z------=-,

八Z2)1+Hi+H1+k21+k2>

o~6k-2

故自+fc2=2fc+=2k+丑F=-1,

l+fc2

故七+左2为定值一|.

【变式4-115.(2023・全国•高二随堂练习)由动点P向圆/+>2=1引两条切线pa,PB，切点分别为A,

B"APB==,求动点P的轨迹方程.

【答案】x2+y2=4

【分析】先设点P的坐标为(x,y)，则可得炉。|,根据UPB=:可得41P。==,判断出\PO\=2|OB|=2,

5o

把IPOI代入整理后即可得到答案.

【详解】设点p的坐标为(X,y)，则|P0|=y/x2+y2,

•••乙4PB=-,••.AAPO=-,

3，61

A\P0\=2\0B\=2,+y2=2,即％2+y2=4

【变式4-1】6.(2022・全国•高三专题练习)过圆/=16外一点P(4,2)向圆引切线.

(1)求过点P的圆的切线方程；

(2)若过点P的直线截圆所得的弦长为4百，求该直线的方程；

(3)若过P点引圆的两条切线，切点分别为B、P2,求过切点Pi、P2的直线方程.

【答案】(l)x=4或3尤+4y-20=0

(2)y=2或4x—3y—10=0

(3)2x+y—8=0

【分析】(1)分k不存在和k存在两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径，求解即可；

(2)由弦长可得，圆心到直线距离等于=2，结合圆心到直线距离公式，可得解；

(3)由题意P,OR,P2四点共圆,且PO为直径，写出圆的方程，过切点B、「2的直线即为圆/+y2-4x-

2y=0与圆产+必=16的交线，求解即可.

【详解】(1)当切线斜率不存在时，过点P(4,2)的直线为x=4,圆心到直线距离等于半径，故x=4

为切线；

当切线的斜率存在时，设切线方程为y-2=k(x—4),即h-y-4k+2=0.由宗f1=4,即4k+3=0

解得：k=—|,此时切线方程为3久+4y-20=0.

，过点P的圆的切线方程为x=4或3x+4y-20=0；

(2)由(1)知，所求切线斜率存在，设直线方程为质-y-4k+2=0.

.r=4,且弦长为4次，，圆心到直线日一y-4k+2=0的距离d=展粤=V16-12=2,

vk2+l

即3k2-4k=0

解得k=0或k=]

，所求直线方程为y=2或4x-3y-10=0；

(3)由题意,OP】1PPltOP21PP2

故P,。,Pi，P2四点共圆，且PO为直径

•■•P(4,2),

.•以PO为直径的圆圆心为(2,1),半径r=拶=隗，

故圆的方程为G-2)2+(y-1尸=5,

+y2=

由于P1，P2也在圆/16J-,

故过切点Pl、P2的直线为圆久2+y2-4x-2y=。与圆/+y2=16的公共弦

两圆方程作差可得过匕、P2的直线方程为2久+y-8=0.

题型5圆的弦长问题

【例题5](2023春河南周口•高二校联考期中)在轴上的截距分别为4,-3的直线蹶圆C：/+/一

10x-4y+19=0截得的弦长为()

A.3B.6C.2V3D.4V2

【答案】B

【分析】根据题意，求得直线帕勺方程为3x-4y-12=0,结合圆的弦长公式，即可求解.

【详解】由题意得，直线/的方程为5+5=1，即3x-4y-12=0,

又由C:/+y2—10%—4y+19=0,可化为(x—5)2+(y—2)2=10,

可得圆C的圆心为(5,2),半径为同,则圆心到直线/的距离d=白丁=1,

所以直线/被圆C截得的弦长为2](m)2-F=6.

故选:B.

【变式5-1]1.(2023•江苏•高二专题练习)与圆/+y2-4y=0相交所得的弦长为2,且在y轴上截距为

-1的直线方程是

【答案】±V2x+y+1=0

【分析】先求出圆心和半径，再根据题意设直线方程为y="-1,然后求出圆心到直线的距离，再根据圆

心距，弦和半径的关系列方程可求出k,从而可求出直线方程.

【详解】由/+y2-4y=0,得/+(y-2>=4,则圆有圆心为C(0,2),半径为r=2,

由题意可知直线的斜率存在，设直线方程为y=kx-l,

则圆心到直线的距离为d=与之=心，

因为与圆/+y2-4y=0相交所得的弦长为2,

所以M+(高丫=22,解得卜=±V2,

所以直线方程为y=±V2x-1,即直线方程为±或久+y+1=0,

故答案为：土岳+y+1=0

【变式5-1】2.(2023吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测)已知直线久~y-l=0与圆C相交于A,

B两点，其中点4(2,1),若|4B|=2V2,且圆。与必由相切，则圆C的方程为

【答案】(X-2)2+(y-3)2=4或(%-10)2+(y+5)2=100或(久-2)2+(y+I)2=4.

【分析】设分%o，y°),由弦长公式求出B点坐标,设圆C的方程为：(x-a)2+(y—b)2=,将A,B两点

代入圆的方程，求出a,6,即可求出圆C的方程.

【详解】圆。与y轴相切，所以设圆C的方程为：(x-a)2+(y-6)2=,

设Bg,yo),则|4B|=VTT1•|x0-2|=2V2,解得：x0=4或0,

则B(0,—1)或B(4,3)

当B(4,3)时，因为A,B两点都在圆C上，

((4-a)2+(3—bp=a2铲彳曰.fa=2=10

1(2-a)2+(1-b)2=a2,胜行•5=3一q6=-5

当时，因为A,B两点都在圆C上,

((0—a)?+(―1—b)2=a2解彳日.(a=2

I(2-a)2+(1-bp=a2，用牛何-U=-11

所以圆C的方程为(久-2>+(y-3)2=4或(x-10)2+(y+5)2=100或(久-2)2+(y+I)2=4.

故答案为：(x-2)2+(y—3)2=4或(x-10)2+(y+5)2=100或(x-2)2+(y+I)2=4.

【变式5-1]3.(2023秋•高二课时练习)已知直线x-y+m=0与圆C:x2+y2+4y=0相交于4B两点,

若刀-CB=0,则根的值为()

A.—4或0B.-4或4C.。或4D.-4或2

【答案】A

【分析】由圆的方程可得圆心和半径，根据C41CB可确定|/1B|长，从而得到圆心到直线距离，由点到直线

距离公式可构造方程求得结果.

【详解】由圆C方程知：圆心C(0,—2),半径r=|XV02+42-4X0=2,

■.■CA-CB^O,.-.CA1CB,\AB\=Vr2+r2=2&,

•••圆心C到直线x-y+m=0的距离d=l\AB\=V2,

即岩黑=等=&,解得：爪=0或爪=-4.

Vl+(-l)2V2

故选：A.

【变式5-1]4.(2023秋・全国•高二专题练习)已知A,B是圆C:(久-3/+(y-1)2=9上的两个动点，

且=2V5,若P(0,-3)，则点P到直线AB距离的最大值为()

A.2B.3C.4D.7

【答案】D

【分析】设P、C到直线AB的距离分别为山应根据题意结合垂径定理可得d2=2，再根据d2-\PD\+\DN\

结合几何关系分析求解.

【详解】由题意可知：圆C：(X—3尸+(y—1)2=9的圆心C(3,l),半径r=3,