2025年中考数学几何模型归纳训练：等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型解读与提分训练

专题13等腰(等边)三角形中的重要模型之维维尼亚模型

维维亚尼定理(Viviani'stheorem)：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边

三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点尸跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点

的位置无关。它以温琴佐・维维亚尼命名。

而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去

相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连

接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。

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例题讲模型

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模型1.等边三角形中维维尼亚模型......................................................2

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型......................................................4

习题练模型

8

例题讲模型］

模型1.等边三角形中维维尼亚模型

模型解读

条件：在等边VA3C中，P是平面上一动点，过点尸作PELAC,PFLBC,PDLAB,过点A作AATLBC。

结论：①如图1,若动点尸在三角形ABC内时，贝UP£）+PE+PF=AM；

②如图2,若动点尸在三角形ABC外时，贝ijP〃+PE-PF=AM。

（当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。

模型证明

证明：①如图1,连结AP,BP,CP。：VABC是等边三角形，...ABuBCuAC,

贝

”sABC=SABP+SBCP+SACP=^ABPD+^BCPF+^ACPE=^BC(PD+PF+PEY

S^=8^p+SBCP+SACP=-BC-AM；•e-PD+PE+PF=AMo

②如图3,连结AP,BP,CPo：VABC是等边三角形，.,.AB=8C=CA,

则S,ABC二S+s.ACP-SBCP——AB.PD^ACPE-^BC.PF^BCiPD.PE-PFY

・・；：

•SABC-SABP+SBCP-SACP=^BC-AM.PD+PE-PF=AM.

模型运用

例1.（2024・河北•二模）如图，尸为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接B4、PB、PC,过尸点

分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为。、E、F,则PD+PE+P尸等于（）

A.乎B.V3C.2D.2石

例2.（2024八年级•广东・培优）如图，点尸为等边..ABC外一点，设点尸到三边的距离PD=\,PE=h2,PF=h3,

且九一色+"=6,贝UASC的面积等于（）

C.12月D.2473

例3.（23-24八年级上•浙江宁波・期中）如图，尸是等边三角形ABC内一点，且B4=4,PB=2布,PC=2,

以下3个结论：①N3PC=120。；②AB=2出；③S△叱=4有；④若点P到VABC三边的距离分别为PE,

PF,PG,贝IJ有尸E+aF+PG=^AB,其中正确的有（）

2

A.4个B.3个C.2个D.1个

例4.(23-24八年级上•云南昆明・期末)如图(1),已知在VABC中，AB=AC,且/3=60。,过A作AP±BC

于点P,点M是直线BC上一动点，设点M到VA8C两边AB、AC的距离分别为“z,n,VABC的高为

⑵如图(2),试判断相、〃、〃之间的关系，并证明你的结论.

(3)如图(3),当点M运动到8C的延长线上时，求证：^-^=—+—

202220221011

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型

模型解读

条件：如图，等腰VA3C(AB=AC)中，点尸在2C上运动，过点尸作PZ)_L4B,PH±AC,CE±AB,

结论：①如图1,若动点尸在边BC上时，则PE+P£)=CT。

②如图2,若动点P在BC延长线上时，贝i」|PFPE|=C£)。

图1图2

模型证明

证明：①如图1,连结AP；：VABC是等边三角形，.,.AB=AC,

则SABruSABp+SACpuLAB-PD+LAC-PEMJABlPD+PEV=SAHruJARCF；：.PE+PD=CF。

ADCAi5rACr222\A6C2

①如图2,连结AP；：VABC是等边三角形，.••A2=AC,

则SABCUS^P-S40>=工42尸尸一LACPE=』A2（PB—PE），SABC=-ABCD-，，PF-PE=CD。

Ani\.t5rACK222、，An2

模型运用

例1.（23-24八年级上•广西百色•期末）如图，已知AABC是等腰三角形，A8=AC,点。是8c上任意一点,

OELAB,OF±AC,等腰三角形的腰长为4,面积为4出，贝|。£+。尸的值为（）

B.2月C.2.5D.3

例2.（23-24九年级下•四川成都•阶段练习）如图，将矩形ABCD沿折叠，使点。落在点8处，P为折

痕所上的任意一点，过点P作尸GL3E,垂足分别为G,H,若AD=16,CF=6,则尸G+PH=

例3.（23-24八年级下.江西吉安•阶段练习）数学课上，老师画出一等腰VABC并标注：AB=AC=10,

ZA=30°,然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答.

图1图2图3

（1）甲同学提出：NB=NC=度；（2）乙同学提出：VABC的面积为:

（3）丙同学提出：点。为边BC的中点，DE.LAB,DFJ.AC,垂足为E、F,请求出DE+D厂的值；

（4）丁同学说受丙同学启发，点。为边BC上任一点，DEJ.AB,DF1AC,CHX.AB,垂足为E、F、H,

则有。E+D/=CH.请你为丁同学说明理由.

例4.（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1）,已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,点尸是底边8C上

的一点，PDYAB,垂足为点。，PE1AC,垂足为点E.求证：PD+PE为定长.

（2）如图（2）,已知在等腰三角形ABC中，Afi=AC,点尸是底边BC的延长线上的一点，PDYAB,垂

足为点D,PELAC,垂足为点E.求证：PD—PE为定长.（3）如图（3）,己知：点尸为等边三角形A3C

内任意一点，过尸分别作三边的垂线，分别交三边与。、E、F.求证：PD+PE+PF为定长.

例5.（2024•江西・一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1,NB

=ZC,则四边形A8CD为等邻角四边形.

（1）定义理解：己知四边形ABC。为等邻角四边形，且NA=130。，NB=120。，则/。=度.

（2）变式应用：如图2,在五边形A2CDE中，ED//BC,对角线2。平分乙42c.

①求证：四边形为等邻角四边形；②若NA+NC+/E=300。，ZBDC=ZC,请判断小台。。的形状,

并明理由.（3）深入探究：如图3,在等邻角四边形ABC。中，NB=/BCD,CELAB,垂足为E,点尸为

边BC上的一动点，过点尸作尸ALAB,PNLCD,垂足分别为M,N.在点P的运动过程中，判断PM+PN

与CE的数量关系？请说明理由.（4）迁移拓展：如图4,是一个航模的截面示意图.四边形A8C。是等邻角

四边形，ZA=ZABC,E为A8边上的一点，ED1AD,ECVCB,垂足分别为。、C,AB=2旧dm,AD

=3dm,BD=737dm.M、N分别为AE、BE的中点，连接。M、CN,求ADEM与ACEN的周长之和.

习题练模型

1.（23-24八年级上.浙江宁波•期末）如图，在等腰AABC中，AB=AC=5,BC=6,。是AA3c外一点,

。到三边的垂线段分别为OD,OE,OF,且OD:OE:OF=1:4:4,则4。的长度为（）

2.（23-24九年级上•重庆・期中）如图，在等腰AABC中，AB=AC,tanC=2,BD_LAC于点D,点G是底

边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F,若BD=4,GE=1.5,则BF的长度为（）

3.（23-24八年级下•福建泉州•期中）如图，P是三角形内一点，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若

PD+PE+PF=6,且VABC是等边三角形，则VABC的周长为（）

A.12B.18C.24D.30

4.（23-24八年级上.江苏常州.阶段练习）如图，VABC为等边三角形，点。是2C边上异于3,C的任意一

点，DEJ.AB于点、E.。尸于点?若BC边上的高线411=6,则£/+。尸=.

A

5.（2024.四川成者B•模拟预测）如图，在中，ZC=90°,CA=6,CB=8,点尸为此三角形内部（包

含三角形的边）的一点且尸到三角形三边的距离和为7,则CP的最小值为

6.（2024八年级・广东・培优）如图，中，AC=BC,点尸是边48上任意一点，点。是AB延长线上

任意一点，过点P分别作PD，AC于点。，PELBC于点、E,过点。分别作QF，AC于点F,QG,8c于

点G,贝IJPO+PE+QGFQ.（填或“="）

7.（23-24九年级上•山东青岛・期末）如图，将矩形ABCD沿E尸折叠，使点。落在点2上，点C落在点C'处,

点P为折痕跖上的任一点，过点尸作PGLBE、PHLBC,垂足分别为G、H,若AO=24cm,CF=9cm,

PG=2cm则下列结论正确的有（填正确结论的序号）①止=15cm②△3EF的面积是90cm之③

3

sinZDFC=—（4）PH=10cm.

8.（2024八年级.广东.培优）如图，在ABC中，线段AO为中线，点O为线段的中点，直线/经过点。，

且8,C两点在/的同侧，过点8,C,D,A作直线/的垂线，垂足分别为点E,F,H,G.则下列说法一

定正确的有.

①△AZG^AB/E;②AG=DH；③2AG=BE+CF；④若点8,C位于/异侧，看2AG=BE—CF.

9.（2023•四川内江•中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘

徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的

面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形ABC。中，AB=5,A£>=12,对角线AC与3。交于点

EFJ.AC,EG1BD,垂足分别为点RG,贝ijEF+EG=

10.（23-24九年级上•江苏无锡•期末）如图，已知等腰Rt^ABC中，ZC=90°,AC=1,P为三角形内（含

边）一点，过点P分别作A3、BC、AC的垂线，垂足分别为。、E、F.若PD=PE=PF,则CE长为

若PD=PE+PF,则点P运动的路径长为.

11.（23-24八年级下•河南南阳・期中）在AABC中，AB=AC,点P为AABC所在平面内一点过点P分别作PE

〃AC交A8于点E,尸尸〃交8C于点。，交AC于点足

（1）观察猜想:如图1,当点尸在8C边上时，此时点P、D重合,试猜想PD,PE,PF与AB的数量关系:

（2）类比探究:如图2,当点尸在AABC内时，过点P作MN〃BC交于点交AC于点N,试写出PD,

PE,P尸与AB的数量关系，并加以证明.

（3）解决问题:如图3,当点P在AABC外时，若6,PD=1,请直接写出平行四边形PEAF的周长

AAA

图1

12.（23-24泰州八年级上期中）从特殊出发：如图1,在一ABC中，AB=AC,点尸为边8c上的任意一点,

过点尸作尸PELAC,垂足分别为。、E,过点C作CELA8,垂足为尸，求证：PD+PE=CF.小明

的证明思路：如图2,连接AP,由A2P与"CP面积之和等于，ABC的面积可以证得PZ）+PE=CB（不需

写出证明过程）.

变化一下：（1）如图3,当点尸在2C的延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方

像，11、/2与x轴的交点分别为A、B.

（2）两条直线恰好相交于y轴上的点C,点C的坐标是；（3）说明ABC是等腰三角形;

（4）若〃上的一点M到//的距离是1,运用上面的结论，求点M的坐标.

图4

13.（23-24九年级上•四川成都・期中）教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰一ABC中，

SABC=S,APB+SAPC-HP|AB-DC=1ABMP+1ACPN,VAB=AC,DC=MP+PN,MP+PN是个固

定值.

图1图2图3

（D如图1,在矩形A8CD中，AC与D3交于。，AB=3,AD^4,尸是AO上不与A和。重合的一个动点,

过点P分别作AC和3。的垂线，垂足分别为E,F,则PE+P尸的值为.

知识应用：（2）如图2,在矩形ABCD中，点M,N分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿直线MN折叠，

使点D恰好与点8重合，点C落在点G处.点尸为线段跖V上一动点（不与点M,N重合），过点尸分别

作直线而，BC的垂线，垂足分别为E和R以PE,2/为邻边作平行四边形PEQF,若

DM=13,CN=5,oPEQF的周长是否为定值？若是，请求出“EQ尸的周长；若不是，请说明理由.

（3）如图3,当点P是等边.一ABC外一点时，过点尸分别作直线AB、AC,BC的垂线、垂足分别为点£、

D、F.若PE+PF-PD=3,请直接写出一ABC的面积.

14.（23-24八年级下•四川宜宾.阶段练习）阅读材料：如图，一ABC中，AB=AC,尸为底边BC上任意一

点，点尸到两腰的距离分别为4,2,腰上的高为3连接AP,则SABP+SAW=SABC，即：

ABTx+ACT2=AB'h,.,.4+马=〃（定值）.

⑴理解与应用：如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线3。上的一点，且跖=3C,F为CEk

一点，于M,FN1BD于N,试利用上述结论求出FM+印的长.

(2)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形"，那么尸的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在

三角形内任一点“，即：已知等边ABC内任意一点P到各边的距离分别为704,等边的高为/?,

试证明4+马+4=〃(定值).

(3)拓展与延伸：若正〃边形A4…A〃，内部任意一点尸到各边的距离为时…今，请问"+马+…+/是否为

定值？如果是，请合理猜测出这个定值.

15.(2022•黑龙江绥化•中考真题)我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两

腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题.

A

图一图二图三

(1)如图一，在等腰，ABC中，AB^AC,8C边上有一点。，过点。作DEI于E,DR1AC于尸，过

点C作CG_LAB于G.利用面积证明：DE+DF=CG.

(2)如图二，将矩形ABCD沿着所折叠，使点A与点C重合，点B落在&处，点G为折痕上一点，过

点G作GA1_LFC于M,GNLBC于N.若BC=8,BE=3,求GM+GN的长.

AfiAp

(3)如图三，在四边形A3CD中，E为线段8C上的一点，EA±AB,EDLCD,连接8。，且左=丁，

CDDE

BC=y/51,C£)=3,BD=6,求£D+K4的长.

16.（2023•陕西渭南•二模）（1）【问题提出】

如图1,在等腰ABC中，AB=AC,P是底边3c上的任一点（不与8、C重合），PELAC于E,PFLAB

于FBDLAC于。.求证：BD=PF+PE；

（2）【问题探究】如图2,ABC和_CDE是两个含30。的直角三角形，其中NACB=NDCE=90。,

ZABC=ZCED=30°,连接A。、BE,BE=10,求AO的长;

（3）【问题解决】如图3,四边形ABC。是某农业观光园的部分平面示意图，应>是一条灌溉水渠，E为入

口，E在线段5c上，管理人员计划从入口E处沿出、ED分别修两条笔直的小路，将园区分割为_梃、

,CDE和△血（三个区域，用来种植不同的农作物.根据设计要求，EA±AB,EDYCD,且黑=芸,

CDDE

8c=100回米，CD=300米，5£>=600米，已知修建小路加D、E4每米的造价为50元，求所修小路ED+E4

的总费用.

17.（23-24八年级下•贵州遵义•期末）学完三角形的高后，小明对三角形与高线做了如下研究：如图，D是

V45C中8c边上的一点，过点。、A分别作DE1AB、DFJ.AC,AGLBC,,垂足分别为点E、F、G,

由△ABZ）与△ADC的面积之和等于VABC的面积，有等量关系式：^AB-DE+^AC-DF=BC.AG.像

这种利用同一平面图形的两种面积计算途径可以得出相关线段的数量关系式，从而用于解决数学问题的方

法称为“等积法”，下面请尝试用这种方法解决下列问题.

⑴如图（1）,矩形ABC。中，AB=2,3C=4,点P是AD上一点，过点尸作尸ELAO,PFLOD,垂足

分别为点从F,求PE+P尸的值;

(2)如图(2),在Rt^ABC中，角平分线8E,8相交于点O,过点。分别作。0J_AC,ONLAB,垂足

分别为点M,N,若AB=3,AC=4,求四边形AMON的周长.

18.(23-24九年级上•江西鹰潭•期中)如图，点E是矩形A3CZ)的对角线8D上的一点，S.BE=BC,AB=3,

3C=4,点尸为直线EC上的一点，且尸于点。，PRLBD于点R.

(1)如图1,当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=

(2)如图2,当点尸为线段EC上的任意一点(不与点E、点C重合)时，其它条件不变，贝1(1)中的结论是否仍

然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

(3)如图3,当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与尸。之间又具有怎样的数量关

系？请证明你的猜想.

专题13等腰(等边)三角形中的重要模型之维维尼亚模型

维维亚尼定理(Viviani'stheorem)：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边

三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点尸跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点

的位置无关。它以温琴佐・维维亚尼命名。

而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去

相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连

接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。

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例题讲模型

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模型1.等边三角形中维维尼亚模型......................................................2

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型......................................................4

习题练模型

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例题讲模型I]

模型1.等边三角形中维维尼亚模型

模型解读

条件：在等边VA3C中，尸是平面上一动点，过点尸作PE_LAC,PF±BC,PD±AB,过点A作AM_L8C。

结论：①如图1,若动点尸在三角形ABC内时，贝ij尸£>+尸E+Pb=AM；

②如图2,若动点尸在三角形ABC外时，贝UP£）+PE-PF=AM。

（当点尸在三角形ABC外时，受尸的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。

模型证明

证明：①如图1,连结AP,BP,CP。是等边三角形，，AB=BC=AC,

则SjcMSABp+SBCp+SACpngAHPO+gBC-PF+gAC-PEngBClPD+H+PE)，

sHAOBLC=SnDrABP+DSLrBCP+nSv^rACP=-BC-AMPD+PE+PF=AM.

②如图3,连结AP,BP,CP。:VABC是等边三角形，.,.AB=BC=C4,

则SABC-S+sACP-SBCp——AB-PD+；AC-PE」BC-PF=；BC-(PD+PE-PF)，

7

SABC=SABp+SBCP-SACP=^BC-AM；：.PD+PE-PF=AM.

模型运用

例1.（2024・河北•二模）如图，尸为边长为2的等边三角形A2C内任意一点，连接E4、PB、PC,过尸点

分别作8C、AC、48边的垂线，垂足分别为。、E、F,则PD+PE+PF等于（）

BD

A.当B.石C.2D.273

【答案】B

【分析】求出等边三角形的高，再根据AABC的面积等于APAB、APBC,APAC三个三角形面积的和，列

式并整理即可得到PD+PE+PF等于三角形的高.

【详解】解：；正三角形的边长为2,...高为2xsin6（T=6，，SAABC=；X2X后=百，

VPD,PE、PF分别为BC、AC、AB边上的高，...SAPBC=』BC>PD,SAPAC=-AC-PE,SAPAB=-AB-PF,

222

,/AB=BC=AC,SAPBC+SAPAC+SAPAB=-BC«PD+-AC«PE+-AB«PF=-x2（PD+PE+PF）=PD+PE+PF,

2222

；SAABC=SAPBC+SAPAC+SAPAB,PD+PE+PF=^/3.故选B.

【点睛】本题利用等边三角形三边相等的性质和三角形的面积等于被分成的三个三角形的面积的和求解.

例2.（2024八年级.广东・培优）如图，点尸为等边,ABC外一点，设点尸到三边的距离PD=\,PE=h1,PF=^,

且%-色+4=6,贝UABC的面积等于（）

A.4月B.66C.126D.24石

【答案】C

【分析】本题考查等边三角形的性质，连接出、PB、PC,过8作8GLAC于点G,根据面积相等得出

3AC,BG+58c•饱=/AB.4+$AC,/4,求出BG=%―也+%=6,得出AC=2AG=2x^^x6=,即

可求出面积.

【详解】解：如图，连接E4、PB、PC,过2作3GLAC于点G,

ABCPBC=SJABPAC>

S+S+S—AC-BG+—BC-1^=—AB-\+-AC-h3,

AB=AC=BC,BG=h}—h2+h}=6,AC=2AG=2x^^x6=，

3

••.SMC=：X4岛6=12瓦故选：C

例3.（23-24八年级上•浙江宁波・期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，且B4=4,PB=2布,PC=2,

以下3个结论：①N3PC=120。；②AB=2币;③S4ABp=46；④若点P到VABC三边的距离分别为PE,

PF,PG,则有尸石+尸尸+尸3=立42,其中正确的有（）

2

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】将△APC绕点A顺时针旋转60。，得到连接HP,由全等三角形的性质可得AH=AP=4,

BH=PC=2,ZAHB^ZAPC,可证△AHP是等边三角形，由勾股定理的逆定理可求ZHB尸=90。，取HP中

点。，连接BQ,根据直角三角形斜边中线性质可求2Q=g»P=PQ=HQ=2=HB,进判断△5H。为等边

三角形，/HPB=30。,可得NAHB=120。=NAPC,ZBPC=150°,可判断①，由勾股定理可求A3的长，

可判断②，由三角形的面积公式可求“WP的面积，可判断③，由三角形的面积公式可求PE+PF+PG的

值，即可判断④.

【详解】解：如图，将△"(?绕点A顺时针旋转60。，得到一A/JB,连接打，

；APC^AHB,44尸=60°,/.AH=AP=4,BH=PC=2,ZAHB=ZAPC,

AA/TP是等边三角形，AHP=4,ZAHP=ZAPH=60°,

；HP?=16,BH2+BP2=16,HP2=BH2+BP2-ZHBP=90°,

取HP中点。，连接8。，3。=:m>=尸。=功2=2=/«,是等边三角形，

AZBHQ=ZBQH=60°,VQP=QB,:.NQBP=NQPB,

又NBQH=ZQBP+NQPB：.ZBPH=30°,ZAPB=ZHPB+ZAPH=90°,

ZAHB=ZAHP+NBHP=120°=ZAPC,：.ZBPC=360°-ZAPB-ZAPC=150°,故①错误；

VZAPS=90°,AB=y/AP2+BP2=2^>故②正确;

:.5ABp=；BP-AP=；X4X26=46,故③正确，如图，

r.-xAB-(PG+PF+PE}=—AB2,：.PG+PF+PE=—AB,故④正确，故选：B.

2''42

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形

的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

例4.(23-24八年级上•云南昆明・期末)如图(1),已知在VABC中，AB=AC,且/3=60。,过A作APLBC

于点尸，点M是直线BC上一动点，设点M到VABC两边48、AC的距离分别为n,VABC的高为瓦

(1)当点M运动到什么位置时，m=n,并说明理由.

(2)如图(2),试判断机、〃、力之间的关系，并证明你的结论.

m2+n2h2mn

(3)如图(3),当点M运动到BC的延长线上时，求证:+-----

202220221011

【答案】（1）证明见解析（2）〃2+〃=/7,证明见解析（3）证明见解析

【分析】（1）当点P与点M重合时，过点M作于点。，MELAC于点E,由等边三角形的性质

=

得出BM=CM,则S^ABM=S.ACM，根据二角形面积公式可得出结论；（2）连接AM，根据ABCSABP+SAPC

可得出结论；（3）连接根据SAMC+SABC=SAB”可得出〃+〃=加，进行变形后可得出结论.

【详解】（1）解：当点尸与点M重合时，机=〃，

理由：过点M作MDLAB于点。，腔_147于点£,如图，则=ME=n,

'：AB=AGM/B=60。,...VABC是等边三角形,

：AP_L3C即AM_L8C,BM=CM,：.S^ABM=S^ACM,

：.-ABMD^-ACME,:.MD=ME,：.m=n.

22

s

(2)M：m+n=h.理由如下：如图②，连接AM,贝UABC=SABM+SAMC>

：.-ABMD+-MEAC=-BCAP,即•m+^AC/=工2。/，

222222

又：VABC是等边三角形，ABC=AB=AC,：.m+n=h；

(3)解：如图，连接AM,则SAMC+SABC=SABM，

J.-ACME+-BC-AP=-AB-MD,即-ACn+-BCh^-ABm,

222222

又；VABC是等边三角形，AAC=BC=AB,：.n+h=m,

22两边同时除以得，生二止_空2

(m—n)2=h2,/n+n-2/m=/r,20222h

202220222022

222222

.m+nmnh日口m+nhmn

202210112022202220221011

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式的应用,

运用等积法建立关系式是解题的关键.

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型

模型解读

条件：如图，等腰VABC（AB=AC）中，点P在8C上运动，过点尸作PH±AC,CE1AB,

结论：①如图1,若动点尸在边BC上时，则尸£+尸。=。凡

②如图2,若动点P在BC延长线上时，则|尸尸尸E|=C。。

BPCE

图1图2

模型证明

证明：①如图1,连结AP；：VABC是等边三角形，.♦•A8=AC,

则++S；.PE+PD=CF。

AoCAtirAl^r2221A6RCC=2-ABCF

①如图2,连结AP；是等边三角形，...AAAC,

则S=S,解_5VS=-ABCD^:.PF-PE=CD。

ADCABTA(^r222\ABC2

模型运用

例1.（23-24八年级上•广西百色•期末）如图，已知AA8C是等腰三角形，A8=AC,点。是8c上任意一点,

OE±AB,OF±AC,等腰三角形的腰长为4,面积为4名，贝|。£+。/的值为（）

【答案】B

【分析】连接A。,根据三角形的面积公式即可得到lB・0E+；AC,0F=12,根据等腰三角形的性质进而

求得OE+OF的值.

【详解】连接AO,如图，

AB=AC=4,SAABC=SAABO+SOC=-AB-OE+-AC«OF=12,

AA22

•；AB=AC,A|AB(OE+OF)=45.*.OE+OF=2^.故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，熟记等腰三角形的性质是解题的关键.

例2.（23-24九年级下•四川成都•阶段练习）如图，将矩形ABCD沿折叠，使点。落在点8处，P为折

痕印上的任意一点，过点P作尸GL3E,垂足分别为G,H,若AZ）=16,CF=6,则尸G+PH=.

【分析】本题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理和等角对等边是解决此

题的关键.连接过点E作E。，3c于。，根据SBE「+SBQ=SBEF可得出PG+PH=EQ,根据折叠的

性质可得CF=CN=6,BC'=CD,ZC=ZC=90°,利用勾股定理求出3C',继而求出EQ,然后即可求

出结论.

【详解】解：如图，过点E作于。，连接3尸，

:四边形ABCD是矩形，AAD//BC,：.ZDEF=ZBFE,

由折叠可得，ZDEF=ZBEF,：.ZBFE=ZBEF,：.BE=BF,

:PGLBE、PHIBC,：.SBEF=SBEP+SBFP=^BE-PG+^BF-PH=^BF（PG+PH）,

vSBEF=^BFEQ,；.PG+PH=EQ，；四边形是长方形，：.AD=3C,ZC=ZADC=90°.

'：AD=16,CF=6,：.BF=BC-CF=AD-CF=10.

由折叠易知，CF=C'F=6,BC=CD,ZC（=ZC=90°,

•*.BC=-JBF2-C'F2=8'1•C'B=CD=EQ=S.：.PG+PH=EQ=8.故答案为：8.

例3.（23-24八年级下.江西吉安•阶段练习）数学课上，老师画出一等腰VABC并标注：AB=AC=10,

4=30。，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答.

图1图2图3

(1)甲同学提出：NB=NC=度；(2)乙同学提出：VABC的面积为：；

(3)丙同学提出：点。为边BC的中点，DEJ.AB,DFJ.AC,垂足为£、请求出DE+DF的值；

(4)丁同学说受丙同学启发，点。为边BC上任一点，DEJ.AB,DF1AC,CHLAB,垂足为E、F、H,

则有小+。/=。”.请你为丁同学说明理由.

【答案】(1)75。(2)25(3)5(4)见解析

【分析】(1)根据等腰三角形的性质求出结果即可；(2)过点8作AC,交AC于点H,根据30。角所

对的直角边等于斜边的一半求出8〃=：A8=5,根据三角形面积公式求出5ABe=gAC8H=gxl0x5=25

ABDACD

即可；(3)先证明。£=。尸，根据S，S,=gAC-O尸得出5^=5^+5ACD=5(DE+DF),

即5(DE+Db)=25,即可求出结果；(4)连接AD,根据三角形的面积公式得出S的。,

ACDAMC

sACD=^ACDF,根据以他0+S4=S，得出:+,

即AB-(OE+OE)=AB・CH,即可求出结果.

【详解】(1)解：AB=AC=W,ZA=30°,/.ZB=ZC=1(180°-ZA)=75°；

(2)解：过点8作BH_LAC,交AC于点”，则：ZBHA=9Q°,

AAA

AB=AC=10,ZA=30°,BH=—AB=5,/.=—AC-BH=—x10x5=25；

222

⑶解：连接AD,如图所示：AB=AC,点。为边5C的中点，「.AD平分NBA。,

'.'DELAB,DF1AC,:.DE=DF（角平分线的性质）；

VAB=AC=10,/.SArxBljLDJ=—AB-DE,SAziC.DU=—AC-DF,

s4ABe=S^D+S^ACD=^ABDE+^ACDF=^AC（DE+DF）=5（DE+DF）

由（2）知SABC=25,.•.5（£>E+D户）=25,.•.JDE+DE=5；

（4）证明：连接A£>,如图所示：

V

DE.LAB,DF1AC,CHAB,SABD=-AB-DE,SACD=-AC-DF,SABC=-ABCH,

SABD+SACD=S.c,AB=AC,—AB■DE+—AC-DF=—AB-CH,

即：AB\DE+DF）=ABCH,..DE+DF=CH.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理，解题的关键是熟练

掌握等腰三角形的性质，准确计算.

例4.（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1）,已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,点尸是底边8C上

的一点，PDYAB,垂足为点O,PEYAC,垂足为点E.求证：PD+PE为定长.

（2）如图（2）,已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,点尸是底边3C的延长线上的一点，PD±AB,垂

足为点。，PELAC,垂足为点E.求证：PD—PE为定长.（3）如图（3）,已知：点P为等边三角形A3C

内任意一点，过P分别作三边的垂线，分别交三边与。、E、F.求证：PD+PE+PF为定长.

【答案】证明见解析

【分析】(1)首先过点C作CP1AB,垂足为点尸；连接AP,根据S=BC=SMBP+S”CP列出等式，

-ABCF=-ABPD+-ACPE,然后根据AB=AC,即可得证；

222

(2)首先过点C作垂足为点尸；连接AP,根据SMBC=SOBP-SOCP，得出

-ABCF=~ABPD-ACPE,然后根据钻=AC,即可得证；

(3)根据S△枷=%^+%.+$4岫>，得出关系式=+然后

根据ABC为等边三角形，得出AB=3C=C4,即可得证.

【详解】(1)过点C作CV1AB,垂足为点F；连接AP.

；s△的c=S-BP+SAACP>：.-ABCF=~ABPD+-ACPE.

又：AB=AC,.•.尸D+PE=B,为定长.即等腰三角形底边上的任意一点，到两腰的距离之和等于定长.

(2)过点C作b工AB,垂足为点尸；连接AP.

^AABC=S&ABP—SAACP>••-''CF=—'AB-PD--■AC-PE.

XVAB=AC,：.