2025年重庆高三一模数学试卷及答案详解

重庆高三2025届学业质量调研抽测（第一次）

数学试题

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知集合"={—1,3},N={x|k）g3x41},则MN=（）

A.0B.{-1}C.{3}D.{-1,3}

22

2.已知双曲线3一斗=1的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）

ab

A.qB.2C.y/3D.0

3.有4位同学各掷骰子5次（骰子出现的点数可能为1,2,3,4,5,6）,分别记录自

己每次出现的点数，四位同学根据统计结果，并对自己的试验数据分别做了如下描述，可以

判断一定没有出现点数1的是（）

A.平均数为3,中位数为4B.中位数为3,众数为5

C.平均数为4,方差为1.2D.中位数为4,方差为1.6

4.己知a,b是空间中的两条直线，a,/3是两个平面，则（）

A.若aua,bu0,贝ija涉是异面直线

B.若aua,bua、allB，bllB,则。〃

C.若aua,bu,则W/万

D.若aLa,b工,则W/万

5.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与心率/（单位：次/

分钟）的对应数据（叱，1）«=1,2,…,8）.根据生物学常识和散点图得出了与W近似满足

f=cWk（c#为参数），令%=lnW.,y=lnf,计算得到元=7,1=4.由最小二乘法得

到经验回归方程为勺=R+6.8,则上的值为（）

A.-0.4B.0.4C.-0.2D.0.2

6.在平行四边形ABCD中，AE=—AB,AF=—AD,CE与BF相交于G，若AB=

43

AD=b，则AG=(

A.-ciH—bB.—ci-\—b

5555

c3rli427

C.-ciH—bD.-6ZH—b

7777

7.已知a>0,b>0，则使—+y>4成立的一个必要不充分条件是()

ab

A.a2+b2=lB.a+b^^ab

C.a+b=1D.-7H—

a2b2

8.已知函数y=f(%)满足:①y=/(-l-x)是偶函数;②在(3,-!］上为增函数.若

玉<0,x2>0且xl+x2+2>0,则〃匹)与/(々)的大小关系是()

A.”西)>/伍)B.

C./(%)=/仇)D.无法确定

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有

选错的得0分.

9.已知函数〃x)=2sin10x+W(o>O)的最小正周期为，则()

A.f(O)=l

B.CL)=2

C.””的单调递增区间为4++g(AeZ)

D.将函数/(x)的图象向右平移与个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来

6

的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，贝ljg(x)=-2cosx

10.已知数列｛an｝满足4=1,an=an+l(l+3an),nsN*，则()

A.数列是等差数列

B.an=3n-2

C.若。必2+〃2。3+…+〃〃。鹿+1=，贝|几=16

n(3n-l)

D.%+%+/+,••++4=------------

试卷第2页，共4页

11.已知抛物线C：V=4x的焦点为歹，过F作两条互相垂直的直线卜%，4与C交

于P，。两点，L与C交于M,N两点，线段PQ的中点为G,线段的中点为

H,则()

A.当直线4的斜率为旧时，|P0=]

B.当\PF\=2\QF\时，|ACV|=36

C归@+|肱v|的最小值为18

D.的面积最小值为4

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若苧包=。+6«。力为实数，，为虚数单位)，则4+6=.

13.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml血

液中酒精含量大于或者等于20mg且小于80/ng认定为饮酒驾车，大于或者等于80mg

认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了

0.6777g/mZ.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他

至少经过个小时后才能驾驶？(结果取整数.参考数据:lg3a0.48,lg7*().85)

14.已知各项均为正数的等比数列｛风｝满足%=4+2%，若存在两项%，an使得

=16q,贝I]1+n2的最小值为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

2

15.在VA5c中，内角AB,C的对边分别为％b,c,已知b2=ac,且cos5=1

「、上sinB,,_

(1)求.4.「的值;

sinAsinC

.3

⑵设BABC=3,求a+c的值.

16.已知函数f[x)=axt\n.x+bxt-c在x=e处的切线方程为＞=48©3%一39©4-。,其

中a,b,C为常数，e为自然对数的底数.

(1)试确定a,b的值;

(2)求函数的单调区间;

⑶若对任意x>0,不等式/(%)>-4c2恒成立，求c的取值范围.

17.如图，在斜二棱柱ABC—A4G中，±AC],BCJ-CCt,AC=BC=4,A在底面

ABC上的射影恰为AC的中点。.

⑴证明：BC1平面ACQA,；

(2)求二面角A-A8-C的正弦值.

22

18.椭圆C*+1=l(a>6>0)的离心率为其左焦点到点二(3,3)的距离为5.

⑴求椭圆C的方程；

⑵若直线/：>=履+加与椭圆C相交于A8(48不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭

圆C的左顶点，求证:直线/过定点，并求出该定点的坐标.

19.在某场乒乓球比赛中，甲、乙两运动员进入到了比赛决胜局，且在该局中的比分为10:10,

接下来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球谁就获得1分，直到有一方得分超

过对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6.比赛既是

实力的较量，也是心态的比拼，以后每球比赛，若上一球甲获胜则甲在下一球比赛中获胜的

概率为0.8,若上一球乙获胜则甲在下一球比赛中获胜的概率为。(。<。<1).

⑴求甲以12:10的比分赢得比赛的概率；

(2)若要使甲运动员以后每球比赛获胜的概率都大于0.6,求P的范围；

(3)若〃=0.55,设甲运动员在第n球比赛中获胜的概率为匕，数列｛2｝满足

32,nbn

b„=-4,求证：-…H-----<

2+14

(参考知识：当ce(O,l)时，若“—田，则.)

试卷第4页，共4页

1.c

【分析】利用对数函数的单调性求解对数不等式得集合N,再求McN即得.

【详解】由log3%Vl可得。＜xV3,故双={彳|0＜*43},

又“={-1,3},则MN={3}.

故选：C.

2.B

【分析】先判断双曲线的焦点位置，由渐近线方程得到勺=石，再求离心率即可.

a

22〃.

【详解】因双曲线3-当=1的焦点在X轴上，由其渐近线方程＞=氐，可得2=若,

aba

则双曲线的禺心率为e=£=J"■=Jl+(")2=A/1+(A/3)2=2.

a\aVa

故选：B.

3.C

【分析】根据数字特征的定义，依次对选项分析判断即可

【详解】对于A,由于平均数为3,中位数为4,所以这5个数从小到大排列后，第3次是

4,当第3,4,5次为4,4,4时，总和为12,第1,2次总和为3,故这5个数可以是1,2,4,4,4,

故A错误；

对于B,由于中位数为3,众数为5,所以这5个数从小到大排列后，第3次是3,则第4

和5次为5,所以这5个数可以是1,2,3,5,5,所以B错误；

对于C,由于平均数为4,方差为1.2,则5次总和为20,

y[(X]-4)2+(无2-4)2+佑-4)2+伍-4)2+(尤5-4)1=1.2,

若有一个数为1,取士=1,则值一4)2+(毛-4)2+(匕-4)2+伍-4)2=-3,不合题意，则一

定没有出现点数1,故c正确；

对于D,由中位数为4,方差为1.6,所以这5个数从小到大排列后，第3次是4,平均数

最小值为2.8,

答案第1页，共14页

若有一个数为1，取%=1,(1-X)2<8,(4-X)2<8,

若取平均数为3,则(1-3)2+(%-3)2+(4-3)2+(%-3)2+(%-3)2=8,

(x2—3)+(%—3)+(%5—3)=3,则超=2,%=%=4符合要求，这5个数为1,2,4,4,4,故D

错误，

故选：C.

4.D

【分析】根据线面，线线位置关系逐选项判断即可.

【详解】对于A,若aua,bu/3,a/3=l,当a〃/,b///时，则”/力，所以。涉不是异面直

线，故A错误；

对于B,若aua,bua,allf3,blip,当a(3=1,R/b〃/也满足题意，不一定。〃四，故

B错误；

对于C,若aua,bu/3,all/3,则a//Z»或。涉为异面直线，故C错误；

对于D,若，根据线面垂直性质，则。，尸,。〃万，故D正确；

故选：D.

5.A

【分析】根据回归直线方程9=R+6.8必过样本中心点G，G)求出心，即可求出％.

【详解】因为/=cW",两边取对数可得ln/=lnc+HnW,

又玉=lnW；,y=lnf,

依题意回归直线方程j=嬴+6.8必过样本中心点(xJ),

所以4=74+6.8,解得】=-0.4,所以左=-0.4.

故选：A.

6.A

【分析】由民G,尸三点共线，则可设AG=xAB+(l-x)AE由C,G,E三点共线，则可设

AG=yAE+(\-y)AC,然后根据题意都用a,6表示，从而可求出工。的值，进而可求得答

案

【详解】

答案第2页，共14页

B

因为民G,尸三点共线，所以可设AG=xAB+(l-x)Ab,

所以AG=xaH■——b,

因为C,G,E三点共线，所以可设AG=yAE+(l-y)AC,

因为AB=a,AD=b，所以AC=AB+AO=a+6，

a+(l-y)b,

21

所以+/,

故选：A.

7.D

【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义逐项分析判断即得.

【详解】对于A,令a=g,b=g,显然有工+：24,但/+/片1,A不是;

23ab

对于B,当〃>0,Z?>0时，a+b>4ab<^—+—>4B不是；

abf

对于C,a=~,b=—,显然有—H：24,但a+Z?wl,C不是；

23ab

J_+J_Q+J_

对于D,^-+->4,则〃/2金工

>4,即

ab22

I

反过来，令a3=2,不等式与+3会成立，m-+7=3.5<4,D是.

3abab

故选：D

8.A

答案第3页，共14页

【分析】根据y=〃T-x）是偶函数，可得函数图象关于％=-1对称，败v=f0）y=f0）在

[-L”）上为减函数，讨论玉两种情况，分别利用单调性比较大小，即可得

答案.

【详解】不妨设1（力=设（一1—上,

由F⑴是偶函数，则P（-X）=P（X）,即/（—l+X）=/（-l—X）,

即函数y=/（“）的图象关于x=—l对称，且/（—2T）=/（X）,

因为y=/（久）在上为增函数，所以y=/0）在上为减函数，

因为不<0,%2>0，且%1+%2+2>0,所以一2-％2<%，

若占VT，则-2-%<%"I，则/（一2-巧）</（再）,即/伉）</（%）；

若-1<%<0,因为％>0,则苫2>占>-1,所以/（%）</（%）；

综上可得：/（芭）>/（马）.

故选：A.

9.ACD

【分析】由最小正周期为求得。，即可判断选项B；计算/（0）即可判断选项A；然后

利用正弦函数的单调性求解即可判断选项C；由图象的平移伸缩变换求解函数的解析式即可

判断选项D.

【详解】函数〃力=2$«8+£|（。>0）的最小正周期为|_,

所以空=[,解得。=4,故B错误；

①2

所以/（x）=2si«4x+。，所以"0）=2sint=l,故A正确；

,兀〜兀,兀2071kli冗ku

由---F2lai<4x+—<—+2lai,得——H<x<1,

26262122

所以〃元）的单调递增区间为一尹当令+^（八Z）,故C正确；

将函数/（X）的图象向右平移B个单位后，得到

6

7C“4717cle7lA入“

+—=2sin4x----F—=2sin4x——=-2cos4x,

,H6jI66jI2；

答案第4页，共14页

再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，得到g（x）=-2cosx,故D正确;

故选：ACD.

10.AC

【分析】由为=%包（1+3。“）两边同时取倒数即可证明是等差数列，判断选项A；从

而得到。"的通项公式，即可判断选项B；由弓出+-+裂项相消即可求解

〃判断选项C；由是等差数列，其前〃项和为“3；一1）,即可判断选项D.

【详解】因为4=。用（1+3%）=。.+3“必用，所以安乎=3,

UnUn+\

即'--'-=3,所以［工］是以'=1为首项，3为公差的等差数列，故A正确；

%+i%［an\%

—=l+3（«-l）=3n-2,所以4=丁二，故B错误；

an3〃一2

111

若%%+%%+…++访+…+（3〃_2）（3“+1）

l

=lLl+l_l+...+_________M=U1_一M=—=-

3|_447（3/1-2）（3/7+l）J31（3n+l）J3〃+149）

所以“=16,故C正确；

11111”(1+3/Z-2)72(3/2-1)

-----1-------1------F...H---------1-----------------------------=---------------故D错误;

%a2a3an-\凡22

故选：AC.

11.ABD

【分析】设直线4和4的方程，与抛物线方程联立，再利用焦半径公式求解弦长，结合基本

不等式判断ABC,利用两点求斜率，根据点斜式求出直线方程，求解直线恒过定点，将面

积分割，结合韦达定理，再利用基本不等式求解最值判断D.

【详解】对于A,由题意得以1,0）,尸&,%）,Q（x2,y2）,M（x3,y3）,N（x4,y4）,

当直线乙的斜率为四时，直线乙方程为丁=石（*-1）,

fy=y/3（x-l）10

由V”2,可得3/一10x+3=0,贝！）X1+%=-7,

=4x3

答案第5页，共14页

所以|尸0=|尸尸|+1。尸|=%+1+%+1=$+z+2=+2=,A正确；

对于B,设直线4方程为x=2y+i,则6方程为x=-'y+i，

m

•[x=my+1c

联立直线4方程与抛物线方程2,得/一47町-4=0.

[y=4x

则乂+%=4m①，%%=-4②，同理为+以=-△，y3y4=-4,又|「尸|=2|。同，

m

所以％=-2%,结合①②可得/=：,所以

O

年|=鼻+匕+2=廿(％+%)+2+2=白+4=>4=36,R正确

8

对于C,\MN\=X+X+2=(%+%)+2+2=—z-+4,

34mm

|PQ|=玉+々+2=机(石+々)+2+2=4机2+4,

2

所以|P0+MM=4疗+4+3+4=4m2+A+8>2L/i-3+8=16,

mVm

当且仅当4%2=3,即加=±1时等号成立，所以|尸。|+|加用的最小值为16,故C错误;

m

22

对于D,由B知，yG=%%=2m,%=rnyG+1=2m+1,G(2m+1,2m),

%+%2112[〃

•如=---=一，XH=——%+1=丁+1，”

2mmm

c2

2m+—

所以直线GH：y-2m=(x-2m2-l),

令y=0得尤=3,所以直线GH恒过定点A（3,0）；

所以sFGH=7忻小|兀-%|=尻-词=2/〃+—=\2m\+—>4,

2mm

当且仅当加=±1时，等号成立.故D正确；

故选：ABD

答案第6页，共14页

【点睛】思路点睛：1.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情

况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题；2.一般涉及

三角形面积问题时，采用面积分割法，结合韦达定理，利用基本不等式法求解范围或最值.

12.3

【详解】因为“+瓦，所以3+初=(a+4)(1—。=。+6+。一。)九又因为都为实数，

1—i

Q+Z?=3,。=0,

故由复数的相等的充要条件得｛,，解得｛八。所以a+6=3.

b-a=b,b=3,

【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可

以求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，基本概念(共辗复数)，基本运算等的

考查.

13.4

【分析】设至少经过〃个小时后才能驾驶，由题意有60x(1-30%)“<20,两边同时取对数

得lg07<lgg,然后求解即可.

【详解】设至少经过〃个小时后才能驾驶，则有60x(1-30%)"<20,

即0.7”<；,两边同时取对数得lg0.7"<lgg,即出g0.7<lg；,

lga加3T-lg3-048

因为lg0.7<0,所以

lg0.7]lg7-lgl00.85-1

gTo

所以即至少经过4个小时才能驾驶.

故答案为：4.

14.50

【分析】先根据等比数列的性质整理%=4+2%可得公比9，再利用通项公式代入

答案第7页，共14页

师中，可得出加与〃的关系，最后结合基本不等式即可求解。

【详解】由题，因为。7=4P，。5="，

q

所以。6,4=。6+2,%,

q

2

因为各项均为正数，所以〃6＞。，则4=1+—，解得9=2或q=T(舍去),

q

又^KT=16%,贝IjJq.2小1.4.21=16%,

a-..m+n-2口口m+n-2._,s

所以=2，，即-------=4,则加+〃=10,

所以苏+/2?=5。，

当且仅当根=〃=5时，可得病+〃2的最小值为50.

故答案为：50

15.⑴乎

⑵叵

2

【分析】(1)先算出sinB的值，再利用正弦定理得sir?8=sinAsinC进行化简，然后得到

相应的值;

3

⑵由BA."一］得到凡再由余弦定理，得到小，，从而得到HC.

2

【详解】(1)由cos5=§,且0＜5＜兀，

又因为Z?2=ac,由正弦定理得sin?B=sinAsinC,

sinB_sinB_1_3y/5

sinAsinCsin2Bsin35

33

(2)因为A4・3C=5，得QLCOS3=5，

99

所以QC=：,即。2=

44

由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB

71

所以得片十°2='，

4

答案第8页，共14页

所以(Q++C2+2aC=—,

所以Q+C=.

2

16.⑴a=12,b=-3

(2)减区间为(。,1),增区间为(1,+8)

【分析】(1)求出函数/(X)的导数，根据/(e)=48e3,以及切点处曲线的函数值与切线的

函数值相等列方程组求解即可.

(2)由(1)求出函数解析式，判断导函数符号，求出函数的单调区间即可.

(3)结合(2)求出/(x)的最小值，再解一元二次不等式求解即可.

【详解】(1)函数/'(x)定义域为(。,+8),求导得

/'(%)=4办inx+ax4•—+4bx3=d(4〃lnx+a+46),

x

因为函数/(x)=ax4Inx+Zzx4-c在％=e处的切线方程为y=48e%一39e“-。,

所以/(e)=«e4lne+be，-c=ae4+Z?e4-c=48e3xe-39e4-c,

可得=9e,,化为a+Z?=9①，

由/(e)=48e3=>e3(4tzlne+di+4Z?),可得5〃+48=48②，

由①②解得〃=12/=—3,

所以a=12,Z?=—3.

(2)由(1)知jT(x)=48/inx(x>0),

当0<x<l时，f\x)<0,/(x)在(0,1)上为减函数，

当x>l时，/«>0,/(%)在(1,+8)上为增函数，

所以函数/(%)的减区间为(0,1),增区间为(1,+8).

(3)由(1)/(x)=12x4lnx-3x4-c,

由(2)知，/(尤)在1=1处取得最小值/(D=—3—c,

3

因Vx>0,/(%)之一4(?恒成立，则—3—cN—4c2,解得。工一1或cNl,

所以C的取值范围为,8，-.

答案第9页，共14页

17.（1）证明见解析

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案；

（2）取A8的中点E,设04=4（。＞0）,以。为原点，£＞瓦。仁£胤所在的直线分别为％y,z

轴建立空间直角坐标系，根据AC；-3二。求出。，求出平面AA12、平面ABC的一个法向

量，由二面角的向量求法可得答案.

【详解】（1）因为AQJ■平面ABC,BCu平面ABC,所以

又A41//CG，BCJ_.CC],所以BCJ.AA],

因为AA[CA]B=A，AA[、ABu平面ACGA，

所以BC_L平面ACGA；

（2）

xB

取AB的中点E,连接。E,因为。是AC的中点，所以DE〃3C,

因为BC_L平面ACGA,ACu平面ACC|A，所以3C_LAC,

可得DE1AC,设。4=。（。＞°），

以。为原点，DE,DC,DA,所在的直线分别为％Xz轴建立空间直角坐标系,

则4（0,-2,0）,B（4,2,0）,C（0,2,0）,Q（0,4,a）,A（0,0,a）,

AC1=（0,6,a）,3A=（^4,-2,a）,

因为BALAC]，所以AC「54,=0,即一12+片=0,

解得/=12,a=26'，a=-26舍去,

答案第10页，共14页

AB=(4,4,0),BA=(-4,-2,2A/3),BC=(^,0,0),

设〃=（占,加4）为平面胡2的一个法向量,

AB•〃二0即，+“。

则<，令芯=3,则％=-3,Z|=6,

BA^.〃=0-4冗]-2必+2A/3Z]—0

设加=（马,上*2）为ABC的一个法向量,

BCm=04%2=0

则,即二「2必+2禺=0'令必",贝—6,

B\'m=0

所以加=（0,3,抬），

n-m-9+377

所以cosn,m=

\n\-\m\V9+9+3XV9+3-7

设二面角4_48-（？的平面角为e（o<^<180）,

所以二面角4-42-（^的正弦值为31.

7

2

18.⑴土尤2+匕V=1

43

⑵证明见解析，[-不°]

【分析】（1）由左焦点到P点的距离及离心率可求解;

（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可得占3和%%，把£>4£>5=0用%%和%%表

示化简可得出答案.

【详解】（1）设左焦点耳

•••|Pf；|=^（-C-3）2+（O-3）2=5,解得c=l,

C11

e=-=—=-,:.a=2,由/=/一。2=3,

aa2

答案第11页，共14页

22

...椭圆方程为土+工=1.

43

由(1)可知椭圆左顶点。(-2,0),

设3(々,%),:以AB为直径的圆过。(-2,0),

二即AA_LD8，­'-DADB=Q>

DA=(^xl+2,yl),。3=(犬2+2,%),

ZM-D5=(x,+2)(xj+2)+%%=+2(玉+w)+4+%%=0①

联立直线与椭圆方程:

T+4^-12,整理得@+软?卜？+8tnkx+4(病-3)=0

.Smk4(m2-3)

.f+%=-中2=^r'

1

yxy2=(烟+加)(区2+rri)-kxlx2/+x2)+rrr,

22l

4k(m-3)8mhmk23m-12kz

--二---------+rrr=--------------，代入到①

44？+34k2+34k2+3

2

4(m-38mk.3m2—11k2

DADB=^—,_—、——+4+--------------

4左2+34左2+34左2+3

.4m2-12-16mk+16k2+12+3m2-12k2

•,Z=0n，

4左2+3

•**7m2-16mk+4k2=0,即(Jm-2k)(m-2k)=0,

2、

m=—k或m=2k,

7

当机=：上时，/：y=丘+［左=左恒过

当根=2左时，，：y=丘+2左=%(犬+2),・，・/恒过(—2,0),但(-2,0)为椭圆左顶点,不符题意,

答案第12页，共14页

故舍去，

•e•/恒过,.

19.(1)0.48；

(2)0.3<p<l；

(3)证明见解析.

【分析】(1)根据条件概率公式即可得到答案；

(2)记甲运动员在第〃球比赛中获胜的概率为匕，可推得

匕=(0.8-)严(0.6--^―)+—^―，再对P分类讨论即得；

p+0.2p+0.2

⑶根据⑵得到勺=-4(：尸+*则£=4*4,化简计算白，最后利用累加法

134134+1

和等比数列求和公式即可得证.

【详解】(1)记第一球比赛甲运动员获胜的事件为