2025年中考数学培优复习：圆与“双垂直型”（射影定理）的综合 （含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台圆与“双垂直型”（射影定理）的综合1．如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）PFPQ+（2）若PN2＝PM•MN，则MQNQ=2．如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（不与M、N重合），PH⊥MN于H点，过N点作NQ与PH平行交MP的延长线于Q点．（1）求∠QPN的度数；（2）求证：QN与⊙O相切；（3）若PN2＝PM•MN，求MHNH3．如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧AC上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tanD）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•1BC⋅BN+1AE⋅AC=y，试求y4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：AE＝CE；（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD＝CF＝2cm，求⊙O的直径；（3）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CFCD=n（n＞0），求sin∠6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝52．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若BC＝5，求阴影部分的面积；（3）若CD＝3，求PC的长度．7．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是ΘO的切线；（3）若AD＝24，AM＝MC，求PBMD8．如图，已知PB与⊙O相切于点B，A是⊙O上的一点，满足PA＝PB，连接PO，交AB于E，交⊙O于C，D两点，E在线段OD上，连接AD，OB．（1）求证：直线PA是⊙O的切线；（2）①求证：点D是△PAB的内心．②若PA＝13，sin∠APE=513，求（3）已知CDAE=49．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC、BC交于点F、D，过点D作DE⊥AC于点E，且CE＝FE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连OE．若OE=41，AB＝10，求CE10．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求证：2DE2＝CD•OE；（3）若tanC=43，DE=511．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交AD于点F．（1）求OEAE（2）求证：△AEB∽△BEC；（3）求证：AD与EF互相平分．圆与“双垂直型”（射影定理）的综合参考答案与试题解析1．如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）PFPQ+（2）若PN2＝PM•MN，则MQNQ=5【分析】（1）证明△PEN∽△QFN，得PEPN=QFQN①，证明△NPQ∽△PMQ，得PNMP=NQPQ（2）证明△NPQ∽△NMP，得PN2＝NQ•MN，结合已知条件得PM＝NQ，再根据三角函数得MQNQ=PMMN，进而得【解答】解：（1）∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN＝90°，∵PQ⊥MN，∴∠PQN＝∠MPN＝90°，∵NE平分∠PNM，∴∠MNE＝∠PNE，∴△PEN∽△QFN，∴PEQF=PNQN∵∠PNQ+∠NPQ＝∠PNQ+∠PMQ＝90°，∴∠NPQ＝∠PMQ，∵∠PQN＝∠PQM＝90°，∴△NPQ∽△PMQ，∴PNMP=∴①×②得PEPM∵QF＝PQ﹣PF，∴PEPM=QF∴PFPQ故答案为：1；解法二：作EG⊥MN，则可证四边形PEGF为菱形，又∵PG∥PQ，PF＝FG∴PFPQ∴PFPQ（2）∵∠PNQ＝∠MNP，∠NQP＝∠NPM，∴△NPQ∽△NMP，∴PNMN∴PN2＝QN•MN，∵PN2＝PM•MN，∴PM＝QN，∴MQNQ∵cos∠M=MQ∴MQNQ∴MQNQ∴NQ2＝MQ2+MQ•NQ，即1=M设MQNQ=x，则x2+解得，x=5−12，或∴MQNQ故答案为：5−12．如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（不与M、N重合），PH⊥MN于H点，过N点作NQ与PH平行交MP的延长线于Q点．（1）求∠QPN的度数；（2）求证：QN与⊙O相切；（3）若PN2＝PM•MN，求MHNH【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°可得答案；（2）根据平行线的性质∠QNM＝∠PHM＝90°，即可证明结论；（3）根据△NPM∽△QPN，得PNQP=PMPN，可知QP＝MN，同理得，△MHP∽△MPN，得MPMN=MHMP，则HN＝MP，设PQ＝MN＝a，【解答】（1）解：∵MN是直径，∴∠MPN＝90°，∴∠QPN＝90°；（2）证明：∵PH⊥MN，∴∠PHM＝90°，∵QN∥PH，∴∠QNM＝∠PHM＝90°，∴ON⊥QN，∵ON是半径，∴QN与⊙O相切；（3）解：∵∠MNP+∠PNQ＝90°，∠PNQ+∠Q＝90°，∴∠MNP＝∠Q，∵∠MPN＝∠QPN，∴△NPM∽△QPN，∴PNQP∴PN2＝PM•QP，∵PN2＝PM•MN，∴QP＝MN，∵PH∥QN，∴MHHN∴MHHN同理得，△MHP∽△MPN，∴MPMN∴HN＝MP，设PQ＝MN＝a，MP＝b，∴MHHN∴a−bb∴a=(1−5)∴MHHN3．如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧AC上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tanD）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•1BC⋅BN+1AE⋅AC=y，试求y【分析】（1）依据题意，由勾股定理，首先求出∠ACB＝90°，从而∠CAB+∠ABC＝90°，然后根据∠DBC＝∠CAB，可以得解；（2）由题意，据S1•S＝（S2）2得CD（CD+AC）＝AC2，再由tan∠D=BCCD=tan∠（3）依据题意，连接OM，分别在Rt△OFM、Rt△AFE、Rt△BFN中，找出边之间的关系，进而由FE•FN•1BC⋅BN+【解答】解：（1）BD是⊙O的切线．证明：如图，在△ABC中，AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°．又点A，B，C在⊙O上，∴AB是⊙O的直径．∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∠DBC＝∠CAB，∴∠DBC+∠ABC＝90°．∴∠ABD＝90°．∴BD是⊙O的切线．（2）由题意得，S1=12BC•CD，S2=12BC•AC，S=∵S1•S＝（S2）2，∴12BC•CD•12AD•BC＝（12BC•AC∴CD•AD＝AC2．∴CD（CD+AC）＝AC2．又∵∠D+∠DBC＝90°，∠ABC+∠A＝90°，∠DBC＝∠A，∴∠D＝∠ABC．∴tan∠D=BCCD=tan∠∴CD=B又CD（CD+AC）＝AC2，∴BC4AC2+∴BC4+AC2•BC2＝AC4．∴1+（ACBC）2＝（ACBC）由题意，设（tan∠D）2＝m，∴（ACBC）2＝m∴1+m＝m2．∴m=1±∵m＞0，∴m=1+∴（tan∠D）2=1+（3）设∠A＝α，∵∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBC＝∠ABC+∠N＝90°，∴∠A＝∠DBC＝∠N＝α．如图，连接OM．∴在Rt△OFM中，OF=O∴BF＝BO+OF＝1+1−x2，AF＝OA﹣OF∴在Rt△AFE中，EF＝AF•tanα＝（1−1−x2AE=AF在Rt△ABC中，BC＝AB•sinα＝2sinα．（∵r＝1，∴AB＝2．）AC＝AB•cosα＝2cosα．在Rt△BFN中，BN=BFsinα=1+∴y＝FE•FN•1＝x2•1＝x2•2−2＝x2•1＝x2•1＝x．即y＝x．∵FM⊥AB，∴FM最大值为F与O重合时，即为1．∴0＜x≤1．综上，y＝x，0＜x≤1．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；（2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，进而得出答案；（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值．【解答】（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：方法一：设DE＝1，则AC＝25，由AC2＝AD×AE∴20＝AD（AD+1）∴AD＝4或﹣5（舍去）∵DC2＝AC2﹣AD2∴DC＝2，∴tan∠ABD＝tan∠ACD=AD方法二：如图所示：可得∠ABD＝∠ACD，∵∠E+∠DCE＝90°，∠DCA+∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴DCAD∴DC2＝AD•DE∵AC＝25DE，∴设DE＝x，则AC＝25x，则AC2﹣AD2＝AD•DE，即（25x）2﹣AD2＝AD•x，整理得：AD2+AD•x﹣20x2＝0，解得：AD＝4x或﹣5x（负数舍去），则DC=(25x)故tan∠ABD＝tan∠ACD=AD5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：AE＝CE；（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD＝CF＝2cm，求⊙O的直径；（3）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CFCD=n（n＞0），求sin∠【分析】（1）连接DE，根据∠ABC＝90°可知：AE为⊙O的直径，可得∠ADE＝90°，根据CD⊥AC，AD＝CD，可证AE＝CE；（2）根据△ADE∽△AEF，可将AE即⊙O的直径求出；（3）根据Rt△ADE∽Rt△EDF，CFCD=n，可将DE的长表示出来，在Rt△CDE中，根据勾股定理可将CE的长表示出来，从而可将sin∠【解答】（1）证明：连接DE，∵∠ABC＝90°∴∠ABE＝90°∴AE是⊙O直径∴∠ADE＝90°∴DE⊥AC又∵D是AC的中点∴DE是AC的垂直平分线∴AE＝CE；（2）解：在△ADE和△EFA中，∵∠ADE＝∠AEF＝90°，∠DAE＝∠FAE∴△ADE∽△EFA∴AE即AE∴AE＝23cm；（3）解：∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，∴∠ADE＝∠AEF＝90°∴Rt△ADE∽Rt△EDF∴AD∵CFCD=n，AD∴CF＝nCD∴DF＝（1+n）CD∴DE=1+n在Rt△CDE中，CE2＝CD2+DE2＝CD2+（1+nCD）2＝（n+2）CD2∴CE=n+2∵∠CAB＝∠DEC∴sin∠CAB＝sin∠DEC=CD6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝52．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若BC＝5，求阴影部分的面积；（3）若CD＝3，求PC的长度．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，则AD∥OC，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得；（2）首先连接AE，由圆周角定理与弦CE平分∠ACB，可得△ABE是等腰直角三角形，继而求得直径AB的长，由BC＝5，可得OBC是等边三角形，继而求得阴影部分的面积；（3）过点C作CH⊥AB垂足为点H，根据角平分线性质定理可得CH＝CD＝3，tan∠COH＝tan∠COP可得答案．【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD．∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC．即AC平分∠DAB．（2）解：连接AE．∵∠ACE＝∠BCE，∴AE=∴AE＝BE．又∵AB是直径，∴∠AEB＝90°．∴AB=2BE=2×∵OB＝5，∴BC＝OB＝OC＝5，即△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴OH=12OC=52，∴S△BOC=12×S扇形BOC=60360×π×52∴阴影部分的面积为256π−（3）解：过点C作CH⊥AB垂足为点H，如图：由（2）得：OC＝OB＝5，∵AC平分∠DAB，CH⊥AB，CD⊥AD，∴CH＝CD＝3，∴OH=OC在Rt△OHC中，tan∠COH=CH在Rt△COP中，tan∠COP=PC∴PC=34OC7．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是ΘO的切线；（3）若AD＝24，AM＝MC，求PBMD【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．（2）欲证明PD是⊙O的切线，只要证明OD⊥PA即可解决问题．（3）连接CD．由（1）可知：PC＝PD，由AM＝MC，推出AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，可得R2+242＝9R2，推出R＝62，推出OD＝62，MC＝122，由ADAP=AMAO=【解答】（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴ADAP=AMAO，∠∴△ADM∽△APO．（2）∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵OD＝OM，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（2）连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+242＝9R2，∴R＝62，∴OD＝62，MC＝122，∵ADAP∴DP＝12，∵O是MC的中点，∴COMC∴点P是BC的中点，∴BP＝CP＝DP＝12，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝24，MC＝122，∴BM＝126，∵△BCM∽△CDM，∴MDMC=MC∴MD＝46，∴BPMD8．如图，已知PB与⊙O相切于点B，A是⊙O上的一点，满足PA＝PB，连接PO，交AB于E，交⊙O于C，D两点，E在线段OD上，连接AD，OB．（1）求证：直线PA是⊙O的切线；（2）①求证：点D是△PAB的内心．②若PA＝13，sin∠APE=513，求（3）已知CDAE=4【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得∠OBP＝90°，证明△OAP≌△OBP（SSS），根据全等三角形的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，即可得出结论；（2）①由△OAP≌△OBP得∠APO＝∠BPO，则PO平分∠APB，根据等腰三角形的性质可得PE⊥AB，可得∠DAE+∠ADE＝90°，由∠OAP＝90°得∠DAP+∠OAD＝90°，由OA＝OD得∠ADE＝∠OAD，即可得出∠DAE＝∠DAP，则AD平分∠PAB，同理可得出BD平分∠PBA，即可得出结论；②作DF⊥AP于F，解直角三角形可得AE＝5，PE＝12，根据角平分线的性质得DE＝DF，由S△APE＝S△APD+S△AED，可得出12×5×12=12×13×DE+（3）根据垂径定理得AD=BD，可得∠DAE＝∠OCA，证明△AED∽△CEA，根据相似三角形的性质得出AE2＝CE•DE，设CD＝43x，AE＝3x，DE＝y，则（3x）2＝（43x﹣y）•y，求出y的值，得DE=3x，CE＝33x，在Rt△ACE【解答】（1）证明：连接OA，∵PB与⊙O相切于点B，∴∠OBP＝90°，在△OAP和△OBP中，OA=OBOP=OP∴△OAP≌△OBP（SSS），∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴OA⊥PA，∴直线PA是⊙O的切线；（2）①由（1）得△OAP≌△OBP，∴∠APO＝∠BPO，∴PO平分∠APB，∵PA＝PB，∴PE⊥AB，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∵∠OAP＝90°，∴∠DAP+∠OAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠ADE＝∠OAD，∴∠DAE＝∠DAP，∴AD平分∠PAB，同理可得出BD平分∠PBA，∴点D是△PAB的内心；②解：作DF⊥AP于F，在Rt△APE中，AE＝PA•sin∠APE＝13×5PE=A∵AD平分∠PAB，PE⊥AB，DF⊥AP，∴DE＝DF，∵S△APE＝S△APD+S△AED，∴12×5×12=12×13×解得：DE=10（3）解：∵PE⊥AB，∴AD=∴∠DAE＝∠OCA，∵∠DEA＝∠AEC＝90°，∴△AED∽△CEA，∴AECE∴AE2＝CE•DE，∵CD设CD＝43x，AE＝3x，DE＝y，∴（3x）2＝（43x﹣y）•y，解得：y=3x或y＝33x∴DE=3x，CE＝33x在Rt△ACE中，tanC=AE9．如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC、BC交于点F、D，过点D作DE⊥AC于点E，且CE＝FE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连OE．若OE=41，AB＝10，求CE【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得DF＝DC，由等腰三角形的性质和圆的内接四边形的性质∠OBD＝∠CFD，可证OD∥AC，即可得结论；（2）由题意可证四边形ODEH是矩形，可得DE＝OH，OD＝EH，由勾股定理可求OH，AH的长，即可求解．【解答】证明：（1）连接DF，OD，过点O作OH⊥AC于H，∵DE⊥AC，CE＝FE，∴DF＝DC，∴∠C＝∠DFC，∵四边形ABDF是圆内接四边形，∴∠OBD+∠AFD＝180°，∵∠AFD+∠CFD＝180°，∴∠OBD＝∠CFD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，又∵OD为半径，∴DE是⊙O的切线；（2）∵OH⊥AC，DE⊥AC，OD⊥DE，∴四边形ODEH是矩形，∴DE＝OH，OD＝EH，∵AB＝10，∴AO＝OB＝OD＝EH＝5，∴OH=OE∴AH=AO∵OH⊥AF，∴AH＝HF＝3，∴EF＝HE﹣HF＝2，∴CE＝2．10．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求证：2DE2＝CD•OE；（3）若tanC=43，DE=5【分析】（1）先判断出DE＝BE＝CE，得出∠DBE＝∠BDE，进而判断出∠ODE＝90°，即可得出结论；（2）先判断出△BCD∽△ACB，得出BC2＝CD•AC，再判断出DE=12BC，AC＝2（3）先求出BC，进而求出BD，CD，再借助（2）的结论求出AC，即可得出结论．【解答】解：（1）DE是⊙O的切线，理由：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵OE∥AC，OA＝OB，∴BE＝CE，∴DE＝BE＝CE，∴∠DBE＝∠BDE，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴BCAC∴BC2＝CD•AC，由（1）知DE＝BE＝CE=12∴4DE2＝CD•AC，由（1）知，OE是△ABC是中位线，∴AC＝2OE，∴4DE2＝CD•2OE，∴2DE2＝CD•OE；（3）∵DE=5∴BC＝5，在Rt△BCD中，tanC=4设CD＝3x，BD＝4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）