高考数学二轮复习专练：三角函数的图象与性质【八大题型】

专题4.2三角函数的图象与性质【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型梳理

【题型1三角函数的定义域、值域问题】........................................................14

【题型2三角函数的图象识别与应用】..........................................................16

【题型3由部分图象求函数的解析式】..........................................................18

【题型4三角函数图象变换问题】.............................................................22

【题型5三角函数的单调性问题】.............................................................24

【题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】.......................................27

【题型7三角函数的零点问题】...............................................................29

【题型8三角函数的图象与性质的综合应用】...................................................32

►命题规律

1、三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质是高考的热点内容，其中函数产Asin(Ox+0)的图象变换以及三角函数的周期性、

对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函数

的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或偏下.

►知识梳理

【知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略】

1.三角函数的定义域的求解思路

求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.

2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：

⑴形如y=asitrv+bcosx+c的三角函数化为y=Asm(mx+(p)+c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y=asin2x+Z?sinx+c的三角函数，可先设siiu=f,化为关于t的二次函数求值域(最值)；

(3)形如y=asiiircosx+i>(sinx±cos尤)+c的三角函数，可先设r=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最

值).

【知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】

1.三角函数周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

⑴对于可化为八尤)=Asin(ox+9)(或於)=Acos(Ox+°))形式的函数，如果求五x)的对称轴，只需令

JT

cox+(p=y+k7i(k^Z)(或令cox+(p=kTi(k^Z)),求x即可；如果求危)的对称中心的横坐标，只需令

、7C

(左ez)(或令ox+p=E+E(左ez)),求x即可.

⑵对于可化为/(无)=Atan(ox+9)形式的函数，如果求段)的对称中心的横坐标,只需令(ox+(p-9(左eZ)),

求x即可.

3.三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在产Asin(ox+e)中代入产0,

若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.

77

若y=Asin(ox+e)为奇函数，则p=E/eZ)；若y=Asin(ox+p)为偶函数，则O=,+E/GZ).

【知识点3三角函数的单调性问题的解题思路】

1.三角函数的单调区间的求解方法

求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ox+0)形式，再求y=Asin(0x+°)的单调区间，

只需把sx+9看作一个整体代入y=siru的相应单调区间内即可，注意要先把。化为正数.

2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数。的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数

的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选

择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.

【知识点4三角函数的图象变换问题】

1.三角函数的图象变换问题的求解方法

解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：

(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；

(2)变同名：函数的名称要变得一样；

(3)选方法：即选择变换方法.

►举一反三

【题型1三角函数的定义域、值域问题】

【例1】(2023上•湖南株洲•高一校考阶段练习)函数y=tanx的定义域为()

A.RB.[x\x*Gz]

C.4]+kir,k6z}D.{xlx4T+kn}

【变式1-1](2023上.陕西咸阳.高三校考阶段练习)函数/(x)=sin3+媒在[0,1|上的值域为()

A•[—,1]B.卜今耳C.悖1]D.[0,1]

【变式1-2](2023・广东广州・广东实验中学校考一模)已知函数/(*)=2sin{G)X-(to>0)在[。司上的值

域为[-1,刀，则3的取值范围为()

【变式1-3]（2023・四川成都・四川省校考模拟预测）当％4，向时，函数/（久）=cos（3久+以的值域是

[—1,—治，则根的取值范围是（）

A.瞬]B.言]

c.瞬]。，•降朗

【题型2三角函数的图象识别与应用】

【例21（2023•全国•模拟预测）函数f（x）=;骡的图象大致为（）

*

A.B

y厂.

c/小CE

【变式2-1]（2023•高一课时练习）如图所示,函数y=cos%|tan%|（0<%<如且]。与的图像是（）.

h」

JO二一兀Z；3兀x0[\71A371X

A.1B

O\:我/\；XO\\\Tt71371X

\pT

C.1D,1

【变式2-2](2023・四川南充•模拟预测)函数/(%)=：凿的图象大致为（）

%加

J—K1-

____q4

A.-1rB.

【变式2-3](2023・广东・统考模拟预测)已知函数y=/(%)部分图象如图所示，则函数/(%)的解析式可能为

A./(%)=%sin2%B./(%)=xsinxC./(x)=2团sin%D./(%)=2田sin2%

【题型3由部分图象求函数的解析式】

【例3】(2023•河南郑州•统考模拟预测)已知函数/(%)=2sin(a%+9)(其中3>0,0<9Vn)的图象

如图所示，且满足/(0)=/(x0)=—/10+；)=1，则/(无)=()

B.2sin(2x-

D.2sin(3x—

【变式3-1](2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)函数=3sin(3x+s)(3>0,0<<p<

IT)的部分图象如图所示，则()

A./(%)=3sin(2x+

B./(x)图象的一条对称轴方程是x=-g

C./(x)图象的对称中心是(kit—0),kS,7.

D.函数y=f(x+g)是奇函数

【变式3-2](2023上•陕西榆林•高三校考阶段练习)函数/O)=AsinQatx+0）（4>0,3>0,［初<5）的部

A.点(工,0)是〃久)的对称中心

B.直线％?是/(X)的对称轴

6

C./(久)的图象向右平移居个单位得y=sin2x的图象

D.f(x)在区间片g]上单调递减

【变式3-3](2023•全国•模拟预测)已知函数/(久)=3sin(3x+s)(xeR,3>0,切的部分图象如图

A./（x）=3sinQx-^

B-AT）=T

c.不等式/⑺泞的解集为快冗+小府+半,一

D.将/（x）的图象向右平移盘个单位长度后所得函数的图象在［6TT,8TT］上单调递增

【题型4三角函数图象变换问题】

【例4】（2023•四川甘孜•统考一模）为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，可以将函数y=V^cos2x的图

象（）

A.向右平移5个单位长B.向右平移个单位长

o6

C.向左平移2个单位长D.向左平移2个单位长

86

【变式4-1］（2023•四川甘孜・统考一模）已知函数/（%）=Acos（2%+0）（Z>0,|初<n）是奇函数，且/（*）=

-1,将/（%）的图象上所有点的横坐标变为原来的1倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为g（%）,则（）

A.g（x）=sin4xB.g（久）=sinx

C.g（久）=cos（4x+E）D.g（久）=cos（x+：）

【变式4-2］（2023•四川•校联考模拟预测）函数/0）=25也（3久+0）（其中4>0,3>0,|0］<"的图象

如图所示，为了得到g（x）=cos2久的图象，则只需将〃x）的图象（）

A.向右平移？个单位长度B.向右平移合个单位长度

61Z

C.向左平移2个单位长度D.向左平移展个单位长度

612

【变式4-3］（2023・四川成都・统考二模）将最小正周期为豆的函数f（x）=2sin卜3X-力+l（o）>0）的图象

向左平移:个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）

4

A.对称轴为久=—：+容keZB.在［01内单调递增

C.对称中心为（―：+等,1）,fcGZD.在［o,］］内最小值为—1

【题型5三角函数的单调性问题】

【例5】（2023•青海・校联考模拟预测）下列区间中，函数f（x）=3sin（x+9单调递增的区间是（）

A•（噂B.转）

C.得潦）D.

【变式5-11（2023上•内蒙古包头•高三校考阶段练习）函数/'（>）=cos（wc+0）的部分图象如图所示，则/（%）

的单调递减区间为（）

yjk

o5X

-

4

A.[/CH——,ten+—],fcGZB.12/CTC——,2/CTC+—19k£Z

C.[k-+k£ZD.[2k-[,2/c+]],fcGZ

【变式5-2］（2023•山东烟台・统考二模）已知函数/(%)=cos(2x+</?)(0<(p<2n)在[―,；]上单调递增,

则9的取值范围为（）

7T

A.TI<（PBD.-</(p/<—411

2,3

n471,.3ll

C.y<^<211D-”"万

【变式5-3］（2023•四川泸州・统考一模）已知函数/'（X）=2sin（6JX一§（3>0）在（0（）上存在最值，且在

上单调，则3的取值范围是（）

581117'

A.B.C.D.

M：.2’3..4'3.

【题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】

［例6］（2023・湖北黄冈•统考模拟预测）已知函数f（x）=sin®久+⑴）@<（）在管,等内单调递减,

%=詈是函数/（X）的一条对称轴，且函数y=/1+以为奇函数，则/值）=（）

A.--B.-1C.-D.—

222

【变式6-1］（2023•河南•开封高中校考模拟预测）己知函数"X）=tan（2久+§,则下列说法正确的是（）

A./（久）为奇函数B.f（x）在区间片君上单调递增

C./O）图象的一个对称中心为忌,0）D./⑺的最小正周期为兀

【变式6-2］（2023•河南新乡•统考三模）已知函数/（x）=cos（3X+<p）（0<a><10,0<（p<IT）图象的一个

对称中心是4@,°），点B（0，f）在“久）的图象上，下列说法错误的是（）

A./（x）=cos（2x+B.直线x=等是/'（久）图象的一条对称轴

C./（%）在序嘲上单调递减D./1+力是奇函数

【变式6-3］（2023•山东・统考二模）已知函数/（%）=asin2x+bcos2x（abW0）的图象关于直线久=:对称，

则下列说法正确的是（）

A.八久―匀是偶函数B./（久）的最小正周期为2兀

C./0）在区间卜上单调递增D.方程/（%）=2b在区间上有2个实根

【题型7三角函数的零点问题】

【例7】（2023•全国•模拟预测）已知函数/（%）=sins:+V3cos6）x-V2（6）>0）在（0,n）内恰有一个零点，

其图象在（0,2内恰有一条对称轴，则a的取值范围是（）

【变式7-1］（2023•安徽・芜湖一中校联考模拟预测）已知函数/'（%）=cos|%|-2|sin%］,以下结论正确的是

（）

A.TT是〃久）的一个周期B.函数在［o，W］单调递减

C.函数/（久）的值域为［-逐,1］D.函数“X）在［—2u,2狙内有6个零点

【变式7-2］（2023・四川雅安・统考一模）已知函数/（久）=2cos（s久+◎）（3>0且-：<9<",设T为

函数/（%）的最小正周期，=若/（%）在区间［0,1］有且只有三个零点，则3的取值范围是（）

A（等，等］B.降，御）C.管卷］D.殍阴

【变式7-3](2023・江西・统考模拟预测)已知函数/(%)=V2sin(6)x+9)(3>0)的最小正周期T<7T,/⑥=

L且/⑺在久=1处取得最大值.现有下列四个结论:①simp=鼻②3的最小值为印③若函数/(均在弓，；)

10zL204

上存在零点，则3的最小值为B；④函数人为在(察,詈)上一定存在零点.其中结论正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【题型8三角函数的图象与性质的综合应用】

【例81(2023•辽宁辽阳•统考一模)已知函数f(x)=4sin(3x+§(3>0)在。刀]上单调递减

(1)求3的最大值；

(2)若/㈤的图象关于点管,0)中心对称，且“均在[点,向上的值域为[-2,4],求相的取值范围.

【变式8-1](2023上•山东泰安•高一校考期末)已知函数/(X)=sin(2x—

(1)求函数/(x)的单调递增区间和最小正周期；

⑵当xe[-罚时,求不等式f(x)>强解集.

⑶求/O)在区间恃，号]上的最大值和最小值.

【变式8-2](2023上•广东江门•高一校考期末)已知函数f(x)=4sin(s:+卬)(4>0,3>0,\(p\<^)

图象的相邻两条对称轴的距离是:，当x=!时取得最大值2.

26

(1)求函数/O)的解析式；

(2)求函数/(%)在区间[0T的最大值和最小值；

(3)若函数g(%)=/(%)-号的零点为久o，求cosg-2%o).

【变式8-3](2023•江苏常州・江苏校考模拟预测)已知函数/(久)=2sin(2o)x+2)+1.

6

(1)若/(打)<f(x)</■(久2)，kl-^2lmin=p求/'(X)的对称中心；

(2)已知0<3<5,函数/(X)图象向右平移2个单位，得到函数以乃的图象，％=2是90)的一个零点，若函

63

数g(%)在[zn,几](m,几ER且TnV几)上恰好有10个零点，求几―zn的最小值；

(3)已知函数h(%)=acos(2x-—2a+3(a>0),在第(2)问条件下，若对任意%[E[0,-],存在%2€[。；]，

644

使得=g(%2)成立，求实数Q的取值范围.

►直击真题

1.(2023・天津・统考高考真题)函数f(%)的图象如下图所示，则/(%)的解析式可能为()

A5(eJT)5sinx

B.

•X2+2x2+l

5(ex+e-x)5cosx

C.D.

X2+2x2+l

2.(2023•天津•统考高考真题)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式

可能为()

A.sinB.cos

C.sin久）D.cos（"）

3.（2023•全国•统考高考真题）函数y=/Q）的图象由函数y=cos（2%+9的图象向左平移:个单位长度得

到，则y=/Q）的图象与直线丫二号万一西勺交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2023•全国•统考高考真题）已知函数/（乃=5由（3%+9）,（3>0）在区间C,§）单调递增，直线x=£和

尤=^为函数旷=/0）的图像的两条相邻对称轴，则f（一工）=（）

A.--B.--C.-D.—

2222

5.（2022•全国•统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是（）

6.（2022.全国•统考高考真题）设函数/（%）=sin（3无+£）在区间（0m）恰有三个极值点、两个零点，则3的

取值范围是（）

至停制B.3）C.⑥外D.仁丹

7.（2022.全国.统考高考真题）函数y=（3%-3T）cos%在区间［一羽的图象大致为（）

A.B.

8.(2023•全国•统考高考真题)已知函数/(久)=8$3刀-1(3>0)在区间［0,211］有且仅有3个零点，贝必的

取值范围是.

9.(2023•全国•统考高考真题)已知函数f(x)=sin(tox+⑴)，如图A,B是直线y=之与曲线y=/(x)的两

个交点,若|4B|=q,则/(n)=.

10.(2022.全国.统考高考真题)记函数/(无)=cos(3x+卬)(3>0,0<<n)的最小正周期为T,若/(T)=

产,久=:为f(x)的零点，则3的最小值为.

专题4.2三角函数的图象与性质【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型梳理

【题型1三角函数的定义域、值域问题】........................................................14

【题型2三角函数的图象识别与应用】..........................................................16

【题型3由部分图象求函数的解析式】..........................................................18

【题型4三角函数图象变换问题】.............................................................22

【题型5三角函数的单调性问题】.............................................................24

【题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】.......................................27

【题型7三角函数的零点问题】...............................................................29

【题型8三角函数的图象与性质的综合应用】...................................................32

►命题规律

1、三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质是高考的热点内容，其中函数产Asin@x+?)的图象变换以及三角函数的周期性、

对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函数

的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或偏下.

►知识梳理

【知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略】

1.三角函数的定义域的求解思路

求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.

2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：

⑴形如y=asin_t+bcosx+c的三角函数化为y=Asm{mx+(p)+c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y=asin2x+Z?sinx+c的三角函数，可先设siiu=f，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

(3)形如y=asinxcosx+b(sin_x士cosx)+c的三角函数，可先设f=sinx±cos无，化为关于t的二次函数求值域(最

值).

【知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】

1.三角函数周期的一般求法

(1)公式法；

(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

⑴对于可化为1Ax)=Asin(ox+0)(或/(X)=ACOS(OX+9))形式的函数，如果求段)的对称轴，只需令

77___.

cox+(p=y+kn(k^7j)(或令qx+9=女兀(左6Z)),求x即可；如果求五工)的对称中心的横坐标，只需令

a>x+(p=kn(k^Z)(或令ox+p=E+E/GZ)),求x即可.

(2)对于可化为/(x)=Atan(0x+9)形式的函数，如果求_/(尤)的对称中心的横坐标,只需令mx+(p=号(kGZ)),

求无即可.

3.三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在产Asin(ox+9)中代入x=0,

若j=0则为奇函数，若j为最大或最小值则为偶函数.

…冗

若y=Asin(0x+p)为奇函数，则<p=kn(keZ)；若y=Asin@x+9)为偶函数，则夕=不+E(左eZ).

【知识点3三角函数的单调性问题的解题思路】

1.三角函数的单调区间的求解方法

求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ox+0)形式，再求y=Asin(ox+0)的单调区间，

只需把(DX+(p看作一个整体代入尸siiu的相应单调区间内即可，注意要先把o化为正数.

2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数。的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数

的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选

择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.

【知识点4三角函数的图象变换问题】

1.三角函数的图象变换问题的求解方法

解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：

（1）定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；

（2）变同名：函数的名称要变得一样；

（3）选方法：即选择变换方法.

►举一反三

【题型1三角函数的定义域、值域问题】

【例1】（2023上•湖南株洲•高一校考阶段练习）函数y=tanx的定义域为（）

A.RB.（x|xezj

C.1+/CTT,fcezjD.标|x力1+

【解题思路】根据正切函数图象与性质，列出不等式，即可求解.

【解答过程】根据正切函数的性质，可得函数丫=12似有意义，则满足x7T+kFkeZ,

所以函数y=tanx的定义域为｛x[x+fcn,fcezj.

故选：C.

【变式1-1]（2023上•陕西咸阳•高三校考阶段练习）函数〃久）=sin卜％+小在[0,3上的值域为（）

A.卜,1]B.卜彳有C.怜1]D.[0,1]

【解题思路】根据xe[o!，可得+日],再结合正弦函数的图象求解即可.

【解答过程】解：由山0外可得2X+频片斗

则/（%）=sin（2x+|）G[-y,1].

故选：A.

【变式1-2]（2023•广东广州・广东实验中学校考一模）已知函数/（*）=2sin（s—9⑷>0）在[。,引上的值

域为[-1,2],则3的取值范围为（）

【解题思路】根据题意可得3X—M[—兄3一*再利用值域可限定衿为一号^+9解得3的取值范

6L626J2266

围为居“

【解答过程】由Xe[。，3及3>0可得3X—e[-6)2w—e],

根据其值域为[-1,2],且2sin(-J=-L

由正弦函数图象性质可得？<-a)-=<n+=,

2266

即可得解得

故选：B.

【变式1-3](2023・四川成都・四川省校考模拟预测)当久吟,机]时，函数-久)=cos(3久+以的值域是

卜1,—日],则机的取值范围是()

。EMD.肾瑞

【解题思路】解法一：画出函数的图象，由久的范围求出3%+/勺范围，根据f(x)的值域可得答案;

解法二：由工的范围求出3x+g的范围，根据y=cosx的图象性质和/(£)的值域可得答案.

【解答过程】解法一：由题意，画出函数的图象，由可知军33%+工工3巾+工，

L6J633

因为/G)=C0S~=~/且/管)=COSTI=—1,

要使/(%)的值域是卜L—界只要告《加工等

即皿喑，卦

解法二：由题]可知土W3%+X工3m+2,

L6J633

由y=cosx的图象性质知，要使/O)的值域是卜—

则豆〈3巾+三？，解之得

36Lyloj

故选：D.

【题型2三角函数的图象识别与应用】

3■

【例2】（2023•全国•模拟预测）函数〃久）=曲的图象大致为（）

A.B.

c.J小D.

【解题思路】根据函数的奇偶性,并用特值法可判断函数图像.

【解答过程】易知外x）=5皆的定义域为R,

又5=源*=券=/（久），

所以函数f（x）为偶函数，A,B选项错误；

又/'（0）=/5）=。，

屋）=（系「＞。，C选项正确，D选项错误;

故选：C.

【变式2-1］（2023•高一课时练习）如图所示,函数y=cos%|tan%|（04%V如且％W与的图像是（）.

」一二一2

A.1B

【解题思路】取绝对值符号，再根据正弦函数的图象即可得解.

sin%,或

【解答过程】y-cosx|tanx|=

一sin%,<x<n

根据正弦函数的图象，作出函数图象如下图所示,

【变式2-2](2023・四川南充・模拟预测)

【解题思路】根据偶函数排除C、D,再计算f0>0,可排除B,从而可得到答案.

【解答过程】/(%)的定义域为R,

因为〃一%)=谭粽xsinx、

声=/3,

所以八支)在R上为偶函数，可排除C、D；

又，(步>°’可排除B.

故选：A.

【变式2-3](2023•广东・统考模拟预测)已知函数y=/(%)部分图象如图所示，则函数/(%)的解析式可能为

A./(%)=xsin2%B.f(x)=xsinxC./(%)=2因sin%D./(%)=2阳sin2%

【解题思路】利用函数零点排除B,C两个选项，再由奇偶性排除A后可得正确选项.

【解答过程】由图像知/(%)=0,[0,司有三个零点经验证只有AD满足，排除BC选项，

A中函数满足/(一汽)=—xsin(—2%)=xsin2x=f(x)为偶函数,

D中函数满足/(一％)=2|-x|sin(-2x)=-2|x|sin2x=一/(%)为奇函数，

而图像关于原点对称，函数为奇函数，排除A,选D.

故选：D.

【题型3由部分图象求函数的解析式】

【例3】(2023•河南郑州•统考模拟预测)已知函数/(%)=2sin(3%+g)(其中3>0,0<<n)的图象

如图所示，且满足/(0)=/(x0)=一/(久0+；)=1，则/(乃=()

A.2sin(2x+；)B.2sin(2x—

C.2sin(3久+jD.2sin(3x—

【解题思路】根据题意得到函数的最小正周期，然后利用三角函数的周期公式得到3=3,再结合f(0)=1可

得到3屋，进而求解.

【解答过程】设/（x）的最小正周期为T,根据/（和）=—/国+9及函数图象的对称性知，|=（%0+0-%0,

所以丁=空=空，得少=3.

33

由;'（0）=1,得sin（3x0+0）=点因为O<0<n,

由图知0=]故/■（久）=2sin（3%+'）.

故选：C.

【变式3-1]（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）函数f（x）=3sin（（ox+9）（3>0,0<<p<

IT）的部分图象如图所示，则（）

A./（x）=3sin（2x+第

B.f（久）图象的一条对称轴方程是x=

c./（久）图象的对称中心是（kn-1o）,kez

D.函数y=/[+,）是奇函数

【解题思路】根据图象可求得函数f（%）的解析式为/Xx）=3sin（2x+y）,可判断A错误；将％=-号代入

可得f（x）取到最小值，可知B正确；由整体代换法可得/（X）的对称中心是kEZ,即C错误;

根据奇偶性的定义可得D错误.

【解答过程】由函数/。）=3sin（s+0）的图象知；T=今一（一可得T=it；

即空=冗，解得3=2,即/（%）=3sin（2久+0）,

3

又因为/（—；）=3sin（0—=3,可得w—；=1+2/nr,kEZ,即尹=1+2如1,kEZ,

又0V0Vm可得0=1,/（%）=3sin0%+与），故A错误.

对选项B,一加=3sin(->+乎)=3sin(一1=-3取到最小值，故B正确.

对选项C,令2%+羽=卜豆，kEZ,解得久=如，keZ,

428

因此/(%)的对称中心是—卷0),kEZ,故C错误.

对选项D,设g(%)=f(%+=3sin(2x+r+=^sin(2x+=3cos2%,

则g(%)的定义域为R,g(-%)=3cos(-2x)=3cos2x=g(%),所以g(%)为偶函数，即D错误.

故选：B.

【变式3-2](2023上•陕西榆林•高三校考阶段练习)函数人式)=asin(s+⑴)(4>0,3>0,切<的部

A.点管,0)是/⑺的对称中心

B.直线％是f(x)的对称轴

C./(%)的图象向右平移居个单位得y=sin2x的图象

D.“功在区间上单调递减

【解题思路】根据三角函数部分图象求出解析式，利用三角函数的性质即可求解.

【解答过程】由题意可知，4=1,

#=詈/解得7=n，

所以T=K=—,解得3=2,

0)

将(9°)代入/(%)=sin(2%+9)中，得sin(2X£+w)=0,解得9=kn—/ceZ,

因为l9l<]所以一5V卬<±

当k=0时,0=—(

所以/(%)的解析式为/(%)=sin(2久一詈

对于A，/□=sin(2xg-=)=1^0,所以点管,0)不是“x)的对称中心，故A错误；

对于B,/(^)=sin(2x^-2)=0^±l,所以直线％=当不是f(x)的对称轴，故B错误；

对于C,/(x)=sin(2x—三)的图象向右平移居个单位得/(x)=sin[2-一g]=sin(2x-？)=cos2x

的图象，故C错误；

对于D,当久北,用时，—号,T=所以/⑺在区间用菖]上单调递减，故D正确.

故选：D.

【变式3-3](2023•全国•模拟预测)已知函数/(x)=3sin((i)x+9)(xeR,3>0,|初<小的部分图象如图

B.7•倍)=]

C.不等式f0)>|的解集为[6/cit+；,6kTt+£]keZ

D.将f(x)的图象向右平移裔个单位长度后所得函数的图象在[6TT,8诃上单调递增

【解题思路】由图象求出f(%)的表达式后逐一验证选项即可.

【解答过程】由函数图象可知，最小正周期为7=4(--乎)=6m所以3=高=京

将点3)代入/(x)=3sin(cox+<p),得3=3sinQxy+(p\

叉<71-

2所以0=3故/(久)=3sinG%+为，故A错误;

所以/倍)=3sin”手，故B错误;

令f(%)>贝！Jsin(-x+-)>-,所以2kli+-<-%+—<2fcir+—,kEZ,解得6/nr+-<%<6fcir+—,

2\312/26312644

kez,

所以不等式f(x)对的解集为[6E+%6kTT+*]keZ,故C正确;

将/⑺=3sinG%+5的图象向右平移巳个单位长度后，得到/(%)=3sin("+总的图象，令2Mi-已

—XH----W2fcir4—，k.GZ,

3182

解得6kn——<x<6fcit+—,keZ,

令k=l得等WxW等，因为[6n,8Tt]C[詈,等],故D错误.

故选：C.

【题型4三角函数图象变换问题】

【例4】(2023•四川甘孜•统考一模)为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，可以将函数y=V^cos2x的图

象()

A.向右平移g个单位长B.向右平移个单位长

86

C.向左平移5个单位长D.向左平移?个单位长

86

【解题思路】逆用三角函数的和差公式化简丫=$由2%+8$2%,再利用三角函数的平移法则即可得解.

【解答过程】因为y=sin2x+cos2x=V2cos(2x-；)=V2cos2-)

则y=&cos2%向右平移P个单位长可以得到y=sin2x+cos2%的图象.

故选：A.

【变式4-1](2023•四川甘孜・统考一模)已知函数/(久)=Xcos(2x+(p\A>0,㈤<TT)是奇函数，且/偿)=

-1,将/(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的9倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为g(x),则()

A.g(%)=sin4xB.g(%)=sin%

C.g(%)=cos(4%+；)D.g(%)=cos(%+；)

【解题思路】根据题设有9=±5再结合/管)=-1求得4=1,最后根据图象平移写出g(%)解析式.

【解答过程】由/(第)是奇函数，则9=kir+]fcGZ,又191Vm可得0=±]

当9=p/(%)=/cos(2x+9=—i4sin(2x),贝Uf管)=—/sing=A>0,不合题设；

当W=—p/(%)=Acos(2x—=?lsin(2x),则f管)=4sing=—A=-1,故4=1；

所以/(%)=sin(2x),

将/(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的[倍，纵坐标不变，故g(x)=sin(4x).

故选：A.

【变式4-2](2023•四川•校联考模拟预测)函数/(x)=Zsin(3x+s)(其中4>0,3〉0,|在<“的图象

如图所示，为了得到g(x)=cos2x的图象，则只需将〃x)的图象()

A.向右平移m个单位长度B.向右平移三个单位长度

612

C.向左平移2个单位长度D.向左平移《个单位长度

61Z

【解题思路】根据给定的函数图象，求出/(%)的解析式，再逐项判断即得.

【解答过程】由图知，A=lf函数/(霜的最小正周期T=4(1—J)=m于是3=m=2,

即f(%)=sin(2x+cp),显然/©)=—1,即2x"+9=曰+2kn,fcGZ,

而191Vp则k=0,(p=\因此/(%)=sin(2x4-

对于A,将/(%)的图象向右平移沙单位长度，得丫=sin[2(%-()+知=sin2%,

此函数图象与y=g(%)图象不重合，A错误；

对于B,将f(%)的图象向右平移限个单位长度，得、=唠讥2(%-白)+曰=411(2%+6，

此函数图象与y=g(x)图象不重合，B错