中考数学总复习专题04 中考几何五大最值问题（全国）（原卷版）

专题04中考几何五大最值问题模型一：将军饮马问题1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.模型二：阿氏圆问题阿氏圆问题问题：求解“”类加权线段和最小值方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值②造：根据线段比，构造母子型相似③算：根据母子型结论，计算定点位置④转：“”转化为“”问题关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数②系数小于1：内部构造母子型③系数大于1：外部构造母子型模型三：胡不归问题识别条件：动点P的运动轨迹是直线（或线段）方法：1、将所求线段和改为的形式（）2、作，使3、过点B作交AC于点P4、的最小值转化为垂线段的长注意：当k＞1时，模型四：隐圆（一）：定点定长作圆点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。（二）：点圆最值已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离为d，O半径为r.位置关系点D在圆O内点D在圆O上点D在圆O外图示DE的最大值d＋r

2r

d＋r此时点E的位置连接DO并延长交O于点E

DE的最小值r－d0d－r此时点E的位置连接OD并延长交O于点E点E与点D重合连接OD交O于点E（三）定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径模型五：费马点【费马点问题】问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？图文解析：如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′．∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长∴当B、P、P′、A′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段.【知识应用】两点之间线段最短.模型一：将军饮马问题1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若△CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（）A．78 B．39 C．42 D．302．已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（）A． B．3 C． D．3．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为

边上一动点，当的值最小时，的度数是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°4．如图，正方形中，点P是上一点，若，，则的最小值是．

5．如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为．

6．如图，正方形中，点是边上一定点，点、、分别是边、、上的动点，若，则四边形的周长最小时．

7．如图，在边长为8的正方形中，点G是边的中点，E、F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为．8．如图，菱形草地中，沿对角线修建60米和80米两条道路，M、N分别是草地边、的中点，在线段BD上有一个流动饮水点，若要使的距离最短，则最短距离是米．9．如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为．10．如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上任意一点，则的最小值是．模型二：阿氏圆问题11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（

）A．7 B．5 C． D．12．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是．13．如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为．14．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为．15．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为．16．如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是．17．如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值．模型三：胡不归问题18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．19．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．1220．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．21．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（

）A． B． C． D．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为．23．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为．24．如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为．26．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是．27．已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标；(3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．模型四：隐圆28．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．29．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（

）A． B． C． D．30．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（

）A． B．2 C． D．31．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．32．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．333．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为．【答案】3【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．34．如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为．35．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为．36．如图，长方形ABCD中，，BC=2，点E是DC边上的动点，现将△BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为．37．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为．38．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．39．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H．连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是．40．如图，的半径为4，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为．41．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为．模型五：费马点39．如图，在中，，P是内一点，求的最小值为．43．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为．44．如图，四边形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM的最小值为．45．【问题背景】17世纪