高中数学：三角函数恒等变换综合教案

第9讲三角函数恒等变换

［玩前必备］

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

(l)cos(ot+P)—cosQcos£—sin。sic£,

cos(a—p)=cosQcos£+sinQsin£.

(2)sin(a+£)=sinacos£+cosasin£,

sin(ot—p)=sinQcos£-cosQsin£.

,tan。+tan£

(3)tan(a+4)。A，

—、~1—tan。tanB

tana-tan£JI

tan(a—6=]+tanatan^°十夕，°一4均不等于％冗+了，左GZ),

2.二倍角的正弦、余弦和正切公式

(l)sin2a=2sin〃cos/.

(2)cos2a=cos2a-sir?a=2cos2a—1=1—2sin2ci.

7T

2tana1L।兀

=71l

(3)tan2a^tan2+区且左兀十了，2£Z).

3.辅助角公式

asinx+bcosx=yja2+/?2sin(x+,

甘.ba

其中sm°一不济“so—亚‘丁

4.公式的常见变形

(l)tan<z+tan/=tan(a+6)(1—tanatan£)；

tan«—tan£=tan(a-£)(1+tanatan/).

1—cosla

(2)sin9a=,；

1+cos2a

cos9a2;

1.c

sin(/cosot=2sin2a.

［玩转典例］

题型一公式的直接应用

1JT

1.若sin（兀-Q）=1,且/WaWm则sin2a的值为（）

-逑

八A•9BD'*9

「维n逑

9u'9

2.已知tan］。一］*,tan6+，）=,,则tan（a+.）的值为（

）

29

AAR

A，41，29

C41D.1

3.已知sina='|,。金俘，兀)，tan(兀一£)=；,则tan(a一尸)的值为(

）

211

A.TTBHC.yD.~2

sin110°sin20°

4.计算•3的值为________

cos2155°-sin2155

题型二公式的灵活应用

命题点1给值求值

六3

例1(1)设a,£都是锐角，且cosa=半，sin(a+.)=5，则cos£=.

⑵设a为锐角，若.,十&去则sin(2a+§的值为()

.1224

A-25B25

命题点2三角函数式的化简求值

(1+sin9+cos8)(sin1-cos§

例2⑴化简：--------万寸---------(。＜*兀);

l+cos20°.

求值:

(2)2sin200-sin100—tan

（1+sincossincos]

(3)化简：（0＜。＜兀）.

y[2—2cos~0

命题点3公式的逆用与变形

例3⑴已知sinoc+cos4=]，sin夕一cosa=],则sin(a—/3)=.

JT

(2)已知tana—tan^=3,则COS(Q+.)的值为

跟踪训练⑴计算：

cos10°—V3cos(-100°)

.(用数字作答)

，l-sin10。

(2)已知aG(0,与)，£e(0，2,Mcosa=y,cos(a+£)=—告则sin£=

(3)若《sinx+cosx=§,贝!Jtan(r+不J=.

题型三三角恒等变换的应用

例4已知函数/(x)=sin2x—cos4—2馅sinxcosxQSR).

⑴求痣)的值；

(2)求小)的最小正周期及单调递增区间.

跟踪训练2已知函数人尤)=sin2尤+小sinXCOSX.

⑴求黄尤)的最小正周期；

3

(2)若犬尤)在区间［―JT$7d~1上的最大值为*求加的最小值.

［玩转练习］

已知|nj,cosa=—则tan«—a)等于()

1.

11

7B-c--

A.77D.-7

2.已知sina=Z，则sin2a—cos2a的值为()

1「3"1「3

A.-8B--8C'8D8

3cos(a+£)=-V，

3.已知cos”亍a,£都是锐角，则cos£等于（)

6333_3363

A--65B.65c65D65

4.在AABC中,tanAtanB=tanA+tanB+1,贝cosC的值是（）

1

V2

A.-2

2B.2D.

出sin(a-)=—嚅…

5.已知sinQ、“均为锐角,则尸等于（）

5nn

A•五

JIJI

D

C彳T

1

_1+cos2Q-

6-右2则tan2a等于（）

5544

--c--

A.4B.-D.-3

43

7.函数y=sinx(3sinx+4cosx)(x£R)的最大值为M,最小正周期为T,则有序数对(M,T)为

()

A.(5,Ji)B.(4,Ji)

C.(-1,2n)D.(4,2n)

8.如果tana、tan£是方程x2—3%—3=0的两根，则晅尹明=

cos{a—p)

已矢口cos]a—^J+sin4^3则sin（a+葛的值是（

9.a—5)

2sR

A.BRI

5-5

44

c.~5D5

「sinacosa11„,,

10.已知--------=〈，tan(a—6)=;;,则tan£=

1—1cos2a12.

11.已知tanG+a)=T.

⑴求tana的值；

sin2a-cos2

(2)求，的值.

1+cos2a

第10讲三角函数综合

［玩转典例］

题型一三角函数的性质及其应用

例1已矢口函数y(x)=2cosx•sin^x+-^-^—^/3sin2x+sinxcosx+1.

⑴求函数而c)的最小正周期；

(2)当xe(0,习时，求函数於)的最大值及最小值；

(3)写出函数五x)的单调递增区间.

(4)写出函数五x)的对称轴和对称中心.

⑸函数Hx)向右平移t个单位为偶函数，求t的最小正值。

［玩转跟踪］

1.(安徽高考)已知函数«x)=(sinx+cosx)2+cos2x.

(1)求的最小正周期；

JT

(2)求犬x)在区间［0,1上的最大值和最小值.

2.(新课标全国I,8)函数兀r)=cos(ox+°)的部分图象如图所示，则八X)的单调递减区间为()

1

%

兀

--兀+1)左CZKf/A

A.甲

B.(2Z兀——；，2左兀kRZ

左+引C£Z

D.(2Z—2左+§,kb

3.函数/(x)=sin?尤+gcosx-](xe0,—)的最大值是.

4.已知函数/(x)=Asin(5+0)(A>0,g>0,|°|v乃)是奇函数，将y=/(%)的图像上所有点的横坐标伸

长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(%).若g(%)的最小正周期为2兀，且g3]=后,

A.-2B.-V2C,V2D.2

题型二三角函数的图像和图像变换

TTTT

例2设函数/(x)=sin(ox---)+sin(®x---),其中0＜。＜3.

62

已知〃()=0.

(I)求。；

(II)将函数y=/(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向

77JI37r

左平移个单位，得到函数y=g(x)的图象’求g(X)在[-了全上的最小值.

［玩转跟踪］

1.（辽宁卷）将函数y=3sin（2x+1）的图象向右平移?个单位长度，所得图象对应的函数（）

A.在区间应，用上单调递减B.在区间应，窗上单调递增

c.在区间［一5，,上单调递减D.在区间［一去］上单调递增

2兀

2.已知曲线J：y=cosx,C2：y=sin（2x+——），则下面结论正确的是

3

7T

A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移乙个单位长度，得

6

到曲线C2

B.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移M个单位长度，得

12

到曲线C2

1兀

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移一个单位长度，得

26

到曲线C2

把C1上各点的横坐标缩短到原来的L倍，纵坐标不变,JT

D.再把得到的曲线向左平移二个单位长度，得

212

到曲线C2

题型三由图象求7=以山（＜0X+0）的解析式

例3⑴若函数丫=4皿0叶夕）的部分图象如图所示，贝！Iy=.

(2)已知函数/(x)=sin(0x+9)(O>0,|夕|<?)的部分图象如图所示，则y=_/(j+袭)取得最小值时尤的集合

为.

［玩转跟踪］

1.(四川，6)函数兀0=25111(0«+9)［3>0,一了<9<句的部分图象如图”

所示，则①，。的值分别是(

1IF

12

5F

A.2,~n

C.4,

2.已知函数段)=加(0叶9)+年1>0,。>0,刷与的部分图象如图所示，将函数/U)的图象向左平移机(心0)

个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点|对称，则机的值可能为(

题型三三角函数大题

•cos(］十初一sin(x+7i).

(1)求7(%)的最小正周期;

(2)若将犬尤)的图象向右平移袭个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间［0,向上的最大值和最小

值.

［玩转跟踪］

1.(北京，16)函数4x)=3sin12x+总的部分图象如下图所示.

(1)写出五x)的最小正周期及图中犹，加的值；

_JIJI

(2)求火工)在区间一下，一五上的最大值和最小值.

、行

2.(山东，18)设函数/(x)-一小sin2G工一sinoxcos口%(①>0),且y=#x)图象的一个对称中心到最近的

ji

对称轴的距离为彳.

⑴求。的值；

3兀

(2)求1工)在区间［兀，5一］上的最大值和最小值.

［玩转练习］

1.为了得到函数尸sin（2无一袭）的图象，可以将函数y=sin2尤的图象（）

A.向右平移事个单位长度

B.向右平移合个单位长度

C.向左平移奈个单位长度

D.向左平移得个单位长度

2.（洛阳统考）若将函数段）=sin2x+cos2x的图象向右平移夕个单位长度，所得图象关于y轴对称，则夕

的最小正值是（）

3.（合肥模拟涵数於）=cos（ox+§（O>0）的最小正周期是兀，则其图象向右平移打单位长度后对应函数的

单调递减区间是（）

7T兀7L37r

A.一尹祈，/左兀（％£Z）B.彳+析，彳+E（%£Z）

「兀।,7K.,H「5兀।,7i.,.

C.五+fai,直+左兀（女£Z）D.一五+左兀，豆+E（%£Z）

4.函数/U）=sin（0x+9）（o>O,191Vg的部分图象如图所示，则/U）的单调递增区间为（）

A.[—1+4E,l+4fat](AGZ)

B.[―3+8E,1+8E](/GZ)

C.[-l+4?t,l+4^ez)